Integrátorok alkalmazása a számítógépes szimulációban Gräff József
Integrálás vagy differenciálás ti+h = jövő jóslás Integrálás: ti=jelentapasztalatok összegzése
Integrálás vagy differenciálás A differenciahányadosból való „jóslás” stabilitási problémákat okoz Az integrálásnál ritkább az instabilitás Megoldás: a differenciálegyenletek átalakítása, és integrálás
A numerikus integrálási algoritmusok hibafajtái Kerekítési hiba Csonkítási hiba Kumulatív hiba A digitális számítógépek számábrázolási módszeréből adódik.
A numerikus integrálási algoritmusok hibafajtái Kerekítési hiba Csonkítási hiba Kumulatív hiba
A numerikus integrálási algoritmusok hibafajtái Kerekítési hiba Csonkítási hiba Kumulatív hiba A kumulatív (halmozódott) hiba a kerekítési- és a csonkí-tási hiba eredője. Amennyiben ez a hibatípus nem korlátos, akkor az integ-rálási folyamat nem lesz stabil.
A numerikus integrálás alapjai Az integrál tulajdonképpen a függvény alatti terület. Meghatározásának nem analitikus módszerei: Az integrál a terület darabok összege. Téglány Trapéz
A numerikus integrálás alapjai Folytatva a gondolat menetet, vegyük még ti-2 helyen is a függvény értéket!
A numerikus integrálás alapjai Írjuk fel a három ponton átmenő parabola egyenletét Integráljuk a másodfokú polinomot ti és ti+1 között Végül nevezzük el 3. rendű Adams-Moulton integrátornak!
A numerikus integrálás alapjai Írjuk fel a két ponton átmenő egyenes egyenletét Integráljuk a másodfokú polinomot ti+1 és ti között Fontos: csak előző értékekre épít. 2. rendű Adams-Bashfort integrátor.
A numerikus integrálás alapjai Egészen más gondolatmenet: Csak a t szélességű intervallumot használja, de annak belső pontjaira is szüksége van. A függvény közelítésére Taylor polinomot használ. Ezek a Runge-Kutta módszerek. A 4. rendű Runge-Kutta formula speciális esete: Simpson formula.
Numerikus integrálási formulák 4. rendű Runge-Kutta: Simpson-formula:
Integrál formulák származtatása Egyenlő hosszúságú intervallumok A keresett formula alakja: Téglány:
Integrál formulák származtatása Egyenlő hosszúságú intervallumok A keresett formula alakja: Trapéz:
Integrál formulák származtatása Felírjuk a hibát A függvényt Taylor sorával helyettesítjük H rendezése után polinom sort kapunk Az első n+1 elemet 0-nak vesszük lin.egy.rendszer A lin.egy.rendszer megoldásai a c-k H maradékának felhasználásával hibabecslést készítünk
Integrál formulák származtatása Az ismertetett módon 3 féle integrál formula származtatható. Különbség köztük az f(ti ) pontok választásában van. 1. Szimmetrikus formulák Trapéz Simpson Az intervallum belső pontjai
Integrál formulák származtatása Az ismertetett módon 3 féle integrál formula származtatható. Különbség köztük az f(ti ) pontok választásában van. 2. Adams-Bashfort formulák Elsőrendű (téglány) Másodrendű Az intervallum előtti pontok
Integrál formulák származtatása Az ismertetett módon 3 féle integrál formula származtatható. Különbség köztük az f(ti ) pontok választásában van. 2. Adams-Moulton formulák Elsőrendű (téglány) Másodrendű (trapéz) Az intervallum vége és az az előtti pontok
Runge-Kutta formulák Negyedrendű Az alapelv hasonló, de a pontok mindig egy intervallum előre nem ismert pontjai. Negyedrendű
Formulák csoportosítása Egylépéses: Szimmetrikus Runge-Kutta Többlépéses: Adams-Bashfort Adams-Moulton