DINAMIKA Tömeg és erő Galileo Galilei (1564-1642) Sir Isaac Newton (1643-1727) Tömeg és erő DINAMIKA

A tehetetlenség törvénye A mozgást mindig viszonyítanunk kell valamihez. Amihez viszonyítjuk a test helyzetét vonatkoztatási rendszernek, nevezzük. Inerciarendszer: viszonyítási rendszer melyben a test mozgásállapota csak valamilyen kölcsönhatás következtében változhat meg. Inerciarendszernek tekintjük a Földet. A mozgás és a nyugalom viszonylagos. /Galilei 1634. / Egy tengeren állandó sebességgel, egyenes vonalon haladó hajóban lévő utasok semmilyen kísérlettel nem tudják eldönteni, hogy a hajó áll, vagy mozog. Nem inerciarendszer a gyorsuló vagy kanyarodó jármű. Az utasok minden féle kölcsönhatás nélkül is megváltoztathatják mozgásállapotukat, azaz eldőlhetnek, ha nem kapaszkodnak.

A tehetetlenség törvénye Minden test megtartja nyugalmi állapotát, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgását mindaddig, míg ennek megváltoztatására valamilyen kölcsönhatás nem készteti. Newton I. törvénye Newton törvényei csak inerciarenszerben érvényesek. A testek tömege mindenütt változatlan marad - állandó. Ugyanaz a test a Világegyetem bármely részén ugyanakkora mértékben áll ellen a mozgását megváltoztató erőnek. A testeknek a mozgásuk megváltoztatásával szemben tanúsított ellenállását tehetetlenségnek nevezzük. Tömeg: a test tehetetlenségének mértéke. Mérése: két test kölcsönhatása során bekövetkező változás alapján, dinamikai mérés /a testek tömege változatlan, súlyuk pedig egy másik testtől is függ, amellyel kölcsönösen vonzóhatásban állnak./

A sűrűség A különféle anyagok részecskéi és szerkezete is különböző. Ez az oka annak, hogy a különféle anyagok egyenlő térfogatú részének különböző a tömege. Az anyagoknak ezt a tulajdonságát sűrűségnek nevezzük. Ha megegyező anyagú, de kétszer, háromszor nagyobb térfogatú, tömör testek tömegét megmérjük, azt tapasztaljuk, hogy az is kétszer, háromszor nagyobb, tömegük és térfogatuk egyenesen arányos: Ez a hányados a sűrűség , jele: ρ= m/V A sűrűség SI mértékegysége: kg/m3 Mérése: tömeg és térfogatmérés m∼V⇒mV= állandó 

Sűrűségmérés Arkhimédész törvénye alapján A folyadékba merülő testre felhajtóerő hat, melynek nagysága egyenlő a test által kiszorított folyadék súlyával. Felhajtó erő: A test térfogata: A test sűrűsége: =>

Lendület A testek mozgásának jellemzésére a sebesség önmagában nem elegendő, célszerű a tömeget is fegyelembe venni. Ha egy test lendülete, azaz mozgásállapota megváltozik, akkor a sebességének iránya vagy nagysága, vagy mindkettő megváltozik. Lendület (Impulzus): A testek mozgásállapotát jellemző fizikai mennyiség. Jele: I I = m ⋅ v A lendület SI mértékegysége: kg*m/s A lendület vektormennyiség. Iránya a sebesség irányába mutat.

Lendületmegmaradás törvénye Zárt rendszer: olyan testekből álló rendszer, amelyik csak egymásra vannak hatással. Zárt rendszert alkotó testek lendületének összege állandó. Lendület-megmaradás törvénye: Zárt rendszer lendülete állandó. A zárt rendszeren belül a lendületváltozások összege nulla. → → → → → n → ∆I1 + ∆I2 + ∆I3 + ….+ ∆In = 0 ∆I = ∑∆Ii = 0 i=1

Lendületmegmaradás törvénye

RUGALMAS ÜTKÖZÉS A testek (pl. golyók) ütközése során fellépő erők kisebb-nagyobb deformációt okoznak.  Az ütközéseket két osztályba soroljuk: rugalmasokra és rugalmatlanokra. Rugalmas azt jelenti, hogy egy deformálódott test pontosan visszanyeri az eredeti alakját. Nem fejlődik hő a test deformációja közben. Rugalmas ütközésben az impulzus megmarad. Ha a rugalmas ütközés centrális, akkor a mozgásban lévő test megáll, és a nyugvó halad tovább. Ezen alapszik a Newton-inga. Nem centrális rugalmas ütközés után az azonos tömegű testek mozgásiránya 90°-ot zár be egymással. 

Rugalmatlan ütközés Tökéletesen rugalmatlannak nevezzük az ütközést akkor, ha a két test az ütközést követően mint egyetlen új test mozog tovább a kialakult közös sebességgel.  Összes lendület egyenlősége ekkor : 

Az erő fogalma

Az erő definíciója A testek mozgásállapot-változtató hatását erőhatásnak, mennyiségi jellemzőjét erőnek nevezzük. Egy testre ható erő a más testekkel való kölcsönhatás mértékére jellemző fizikai mennyiség. Az erő a lendületváltozás és a változás idejének a hányadosa. Jele: F Mértékegysége: N = 1kg*m/s2 Kiszámítása: Az erőhatás egységnyi nagyságú, mely másodpercenként egységnyi lendületváltozást hoz létre. Isaac Newton 1643-1727

Erő vektormennyiség Az erőhatás nagyságát és irányát meghatározó fizikai mennyiség az erő. Erő támadáspontja Az erőnek nagysága és iránya is van ezért vektormennyiségnek nevezzük és nyilakkal ábrázoljuk. A támadáspont áthelyezhető a hatásvonal bármely pontjára. F Erő nagysága Erő iránya Erő hatásvonala

Newton II. törvénye Egy test pályája csak akkor lehet egyenes, ha a testet érő erők eredője nulla, vagy hatásvonala a megegyezik a pálya egyenesével. A testet gyorsító erő nagysága a test tömegének és gyorsulásának a szorzata. F =∆I/∆t = m*∆v/ ∆t = m* a F = m*a Erő vektor iránya megegyezik a gyorsulás vektor irányával. Newton II. törvénye , a dinamika II. axiómája

Erő-ellenerő Az erőhatás sosem egyoldalú. Mindig kölcsönös, bármelyik test is indította el a folyamatot. Két test kölcsönhatásakor fellépő egyik erőhatás jellemzőjét erőnek a másikat ellenerőnek nevezzük. Ha egy testet egyszerre érő erőhatások kiegyenlítik egymást, a test egyensúlyban van. Newton III. törvénye a hatás-ellenhatás törvénye: Két test kölcsönhatásakor az erő és az ellenerő - egyenlő nagyságú, - ellentétes irányú, - egyik erő az egyik, másik erő a másik testre hat.

kölcsönhatás Amikor valamilyen testek kapcsolatba kerültek más testekkel vagy környezetükkel, akkor azt mondjuk, hogy kölcsönhatás jött létre. Kölcsönhatás alkalmával a test megváltoztathatja a vele kapcsolatba került más test tulajdonságait, miközben a másik test hatására saját jellemzői is megváltozhatnak.  Párkölcsönhatások tapasztalati törvénye: A testek ütközés során bekövetkezett sebességváltozásai mindig ellentétes irányúak. A sebességváltozások nagyságának az aránya mindig ugyanannyi.

Eredő erő Több erőhatás helyettesíthető egyetlen olyan erőhatással, amelynek ugyanaz a következménye. Ezt az erőt eredő erőnek hívjuk. A nyugalom feltétele, hogy az eredő erő nulla legyen, tehát a testre ható erőhatások kiegyenlíthessék egymást. Közös hatásvonalú erők eredője: nagysága az egyes összetevő erők előjeles összege iránya az eredő erő iránya hatásvonal a közös hatásvonal

Egymást metsző hatásvonalak A több közös támadáspontú erő eredője a paralelogramma módszer többszöri alkalmazásával szerkeszthető. Ha egy anyagi pontot egyidejűleg több erőhatás ér , ezek együttes hatása egyenértékű a vektori eredőjüknek megfelelő hatással:

Paralelogramma módszer Szöget bezáró erők összegzése: A vektorokat közös kezdőpontba rajzoljuk fel, majd a vektorok végpontjain át párhuzamosakat húzunk az összegzésben szereplő másik vektorral. A közös kezdőpontból a párhuzamosok metszéspontjába mutató vektor az összegzés eredménye. (Fontos: az eredő erő nagyságát csak arányos szerkesztéssel lehet meghatározni.)

Erőhatások függetlenségének elve Az anyagi pontot egy időben érő erőhatások egymást nem befolyásolják, következményük zavartalanul érvényesül. Newton negyedik törvénye erőhatások függetlenségének elve Ha egy testet érő több erő vektori összege nulla, akkor csak az anyagi pontnak tekinthető test marad biztosan nyugalomban, a kiterjedt test forgásállapota megváltozna.

Mozgások dinamikai feltétele Az egyenes vonalú egyenletes mozgás dinamikai feltétele: egy test akkor végez egyenes vonalú egyenletes mozgást, ha a ráható erők eredője 0. A test akkor marad egyenes vonalú pályán ha a ráható erők eredőjének hatásvonala egybe esik a pálya egyenesével. 2. Az egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás dinamikai feltétele: Egyenes vonalú egyenletesen változó a mozgás, ha a test állandó gyorsulással halad,  a ráható erők eredője állandó. Mozgás a sebességgel párhuzamos erő hatása alatt:a sebességgel párhuzamos eredő erő a sebesség irányát nem, csak a sebesség nagyságát változtatja. 3. Az egyenletes körmozgás dinamikai feltétele: Az egyenletes körmozgás dinamikai feltétele az, hogy a testre ható erők eredője a körpálya középpontja felé mutató hatásvonalú centripetális erő legyen. Fcp=m*acp= m*v2/r =m*ω2*r=m*4π2/T2*r

Kényszererő Szabad mozgás: olyan test mozgása, amelynek lehetséges pályáját nem korlátozzák az őt érő erőhatások. Szabad erő: szabad mozgást kialakító erő. pl. nehézségi erő A bolygók szabad mozgást végeznek, mert lehetséges pályájukat nem korlátozzák az őket érő erők. A fonálinga lengése kényszermozgás, mert a nyújthatatlan fonál egy általa meghatározott görbére kényszeríti a test mozgását. A kényszerítő hatást kifejtő testet (pl. fonalat) kényszernek, az általa kifejtett erőt pedig kényszererőnek (K) szokás nevezni.

Kényszererő nagysága Válasszuk a g irányát pozitív iránynak. Ha a lift a gyorsulással emelkedik: K = -m*(g+a) /itt a gyorsulás negatív/ Ha a lift a gyorsulással süllyed: K = -m*(g-a) /itt a gyorsulás pozitív/ Lejtőn mozgó testre ható erők A háromszögek hasonlósága miatt: Fe:Fn = h:l  Fe=h/l*Fn Paralelogramma szemközti oldalainak Egyenlősége miatt: K:Fn = a:l  K = a/l*Fn

Tehetetlenségi erők Ha egy vonat indul, fékez vagy kanyarodik, azaz ha a vonatnak a Földhöz mint inerciarendszerhez viszonyítva bármilyen gyorsulása van, azt az utas észreveszi és megkülönbözteti. A gyorsuló vonatkoztatási rendszerek nem inerciarendszerek, benne egy test akkor van nyugalomban, ha a ráható erők eredője nem nulla. Úgy értelmezhetjük a jelenséget, hogy a környezettel kölcsönhatásban fellépő valódi erőn kívül – egy feltételezett (fiktív), ún. tehetetlenségi erő (Ft) is érné a testet: Ft = m*a Olyan erő, amelyet létezőnek tekinthet egy megfigyelő, akinek vonatkoztatási rendszere gyorsul egy inerciális vonatkoztatási rendszerhez képest. A tehetetlenségi erő, mint láttuk, nem valódi erő, hisz nincs olyan test, ami kifejti, nem kölcsönhatásban lép fel, ezért nincs ellenereje. Az egyenletesen forgó vonatkoztatási rendszer is gyorsuló rendszer.

A Coriolis-erő jelenségét elsőnek  Gaspard-Gustave Coriolis írta le 1835-ben. A Coriolis-erő az egyenletes szögsebességgel forgó koordinátarendszerekben ható fiktív (tehetetlenségi) erő.  Ez az erő csak mozgó testekre hat. Iránya a sebességre merőleges, ezért eltérítő erő. A földi mozgásokat ennek megfelelően az északi félgömbön mindig jobbra, a délin balra téríti el.   Giovanni Battista Riccioli,  Kopernikusz, az eretnek, az ő nézetei ellen hadakozott és 1651.-ben kiadott művében  bizonyítékokat hoz, amelyek a Föld mozdulatlanságát voltak hivatottak alátámasztani. Ha az egyenlítő környékéről északi vagy déli irányba kilövünk egy ágyúgolyót, az enyhén kitérne kelet vagy nyugat felé .

Rugalmas erő, rugó erő Rugalmas erőnek nevezzük a rugalmas testek alakváltozása közben fellépő erőt. A rugalmas erő nagysága egyenesen arányos a hosszváltozással. A rugalmas erő iránya ellentétes a hosszváltozással. Fr ~ -Δx Fr/Δx= áll.  Az arányossági tényezőt jelöljük D-vel. D a rugóállandó, amely megadja, hogy mekkora erővel lehet a rugót 1 méterrel megnyújtani. A rugóállandót direkciós erőnek is nevezik. A mértékegysége: N/m A rugalmas erő nagysága: Fr = -D Δx

Lineáris erőtörvény Fr = -D Δx A lineáris erőtörvény kimondja, hogy egy rugalmas test alakváltozása arányos azzal az erővel, mely az alakváltozást okozza. A törvényt a 17. században élt fizikusról, Robert Hooke-ról nevezték el. Fr = -D Δx Azokat az anyagokat, melyek a Hooke-törvényt követik, lineáris-rugalmas, vagy Hooke-anyagoknak nevezik. Robert Hooke  angol tudós (1635. július 18. – 1703. március 3.) 1665-ben Ő alkotta meg a sejt (latinul cellula) fogalmát, mivel a növények sejtjei emlékeztették a szerzetesek celláira.

Rugalmas alakváltozás A fémkristályokban helyet foglaló atomok helyét rácserők határozzák meg. Ha a rácsra külső erő hat, akkor a kristályrács eltorzul: megnyúlik és megrövidül. Az egymástól távolabbra került atomok között vonzóerő, az egymáshoz közelebb kerülő atomok között pedig taszítóerő ébred. Ezek az erők tartanak egyensúlyt a külső terhelő erővel. Szakítódiagram: A szakítószilárdság, σm , Rm egy kötél, huzal, tartógerenda, vagy más hasonló szerkezeti elem elszakításához szükséges mechanikai feszültség. Szakítószilárdság  hőmérséklet függvényé-ben változik, általában növekvő hőmérsékletnél csökken. 

Súrlódás, közegellenállás Ha vízszintes felületen elgurítok egy labdát, kis idő múlva megáll. Mozgásállapot-változás jön létre, valamilyen erő hatására. Ha vízszintes felületen húzunk egy ládát, akkor is erőt kell kifejtenünk. Ha ellökünk egy testet, akkor csúszás közben csökken a sebessége. Tehát a csúszó testekre hat egy fékezőerő.

SÚRLÓDÁSI ERŐk TAPADÁSI CSÚSZÁSI Ha ellökünk egy testet, csúszás közben csökken a sebessége. A csúszó testekre hat egy fékezőerő, mely hátrafelé húzza a testeket. Nyugalomban lévő testek között hat, ha azokat el akarjuk mozdítani egymáson. A súrlódást az okozza, hogy az érintkező felületeket nem lehet tökéletesen simára csiszolni, és az egyenetlenségek egymásba akadnak.

CSÚSZÁSI súrlódás Egymáshoz képest mozgó testek felületei által egymásra kifejtett erők felülettel párhuzamos komponensét csúszási súrlódási erőnek nevezzük. Egyenletes mozgásnál a súrlódási erő egyenlő nagyságú és ellentétes irányú a húzóerővel. Fs/Fny = áll. = μ Fs= μ*Fny μ : Csúszási súrlódási együttható A súrlódási erő fiktív erő, nem tudjuk mérni, de azt az erőt igen, amelyik kiegyenlíti.

Súrlódási erő nagysága A nyomóerő nem függ attól, hogy melyik oldalára állítottuk a testet.  Ha nagyobb a felület, akkor több egyenetlenség akad egymásba, de nem nyomódnak annyira össze. Ha csökkenteni akarjuk a súrlódást, akkor kenőanyagot teszünk a felületek közé. A kenőanyag kitölti az egyenetlenségeket, és távol tartja egymástól a testeket. A felület csiszolásával csak bizonyos határig csökkenthető a súrlódás. Ha túl simára csiszolnánk a testeket, akkor egyre jobban érvényesülne a felületek részecskéi közötti vonzás.

Tapadási erő Tapadási súrlódásról akkor beszélünk, ha a testek egymáshoz képest nem mozognak. Egy szekrényt odébb akarok tolni, akkor egy bizonyos nagyságú erőnél nagyobbat kell kifejtenem, különben a szekrény nem mozdul el. A test a súlyával nyomja a talajt, ezért a hatás-ellenhatás törvénye miatt a talaj által a testre ható nyomóerő (tartó erő) akkora, mint a gravitációs erő.  Nem mozdul. Még mindig nem mozdul.  Elindul.

Tapadási erő nagysága A vizsgálatok szerint a tapadási súrlódási erő maximális értéke arányos az érintkező felületek között merőlegesen ható nyomóerővel, függ érintkező felületek anyagi minőségtől, de nem függ az érintkező felületek nagyságától.  μt : tapadási súrlódási együttható μt > μ A nyugalomban levő kocsi megmozdítása (a tapadási súrlódás legyőzése) nagyobb erőt kíván, mint a kocsi lassú tolása

Gördülési súrlódás A testek egymáson könnyebben mozgathatók, ha egymáson el tudnak gördülni. Ilyenkor a felületek egyenetlenségei — mint a fogaskerekek — kiemelkednek egymásból anélkül, hogy letörnének, vagy az egész testnek meg kellene emelkedni, hogy elmozdulhasson. μg < μ A gördülési súrlódási erő egyenesen arányos a felületeket merőlegesen összenyomó erővel, az arányossági tényező az érintkező felületek minőségére jellemző gördülési súrlódási együttható.

Súrlódás hasznos vagy káros? A súrlódás lehet hasznos vagy káros. Hasznos: Járás, Öltözködés, Írás, Fékezés, Smirgli, Gyufa, Öngyújtó. Az átfagyott kezünket megmelegíthetjük, ha összedörzsöljük őket. Az autó kanyarodásakor a súrlódási erő tartja a járművet a kanyarban. Mivel az autó kereke és az úttest közé kerülő víz jelentősen csökkenti a súrlódást, ezért a járművek gumiján olyan bordázatot alakítanak ki, amely kivezeti a vizet a kerék alól… Káros: Alkatrészek kopása, felmelegedése, Sztatikus feltöltődés, Cipőnk talpa elkopik, Kötélmászáskor a kötélről lecsúszva kezünk felmelegszik…

közegellenáLlás A folyadékban vagy gázban mozgó testre erő hat. A mozgás irányába eső erő a közegellenállás, a rá merőleges erő neve felhajtóerő. A közegellenállás igyekszik csökkenteni a test és a közeg egymáshoz viszonyított sebességét. A közegellenállás a közegellenállási erővel jellemezhető.

Közegegellenállási erő nagysága A közegellenállási erő a mérések alapján függ: Test és a közeg egymáshoz viszonyított sebességének négyzetével Fkö ~ v2 relatív sebesség Közeg sűrűségétől Fkö ~ ρ a test homlokfelületétől Fkö ~ A a test alakjától Fkö ~ c Fkö = ½ * c*A*ρ* v2 C = közegellenállási tényező Kis sebességek esetén (nem jön létre a test körül áramlás) a Fkö ~ v

Közegellenállás hatásai

Forgómozgás dinamikai vizsgálata Tehetetlenségi nyomaték A testek forgással szemben mutatott „ellenállása” a  tehetetlenségének mértéke, tehetetlenségi nyomaték. /a forgást végző merev test forgási tehetetlensége/ Jele: Θ (théta), mértékegysége: kgm2 A tehetetlenségi nyomaték egy forgást végző testnél ugyanazt jelenti, amit egy egyenes vonalon haladó testnél a tömeg (m) jelent. Egy test tehetetlenségi nyomatékának meghatározása: Θ ~ m, ~ l2 m az anyagi pont tömege, l a forgástengelytől mért távolsága Θ ~ m l2

Θ = ?

Jele: N mértékegysége: kgm2/s A perdület Egyenes vonalú mozgást dinamikai szempontból a lendülettel jellemezhetjük. I=m*v A rögzített tengely körül forgó merev test forgásállapotát dinamikai szempontból a tehetetlenségi nyomaték és a szögsebesség szorzatával jellemezhetjük. Ez a perdület: Jele: N mértékegysége: kgm2/s N = Θ* ω Perdületmegmaradás törvénye: Zárt rendszer perdülete állandó.

forgatónyomaték Egy erőhatás tengelytől való forgatóképességét megadó fizikai mennyiség. A forgásállapot-változást létrehozó hatást jellemző mennyiség: forgatónyomatéknak  Jele: M mértékegysége: Nm M = ΔN/ Δ t a perdületváltozás sebessége Forgásállapot-változást akkor hozhat létre az erőhatás, ha hatásvonala nem megy át a forgástengelyen, és nem is párhuzamos azzal.

Forgási egyensúly Egy rögzített tengelyen levő merev testet is érhet több erőhatás.  A fellépő erők erősíthetik, gyengíthetik, vagy ki is egyenlíthetik egymás forgásállapot-változtató hatását. Amikor a testet érő ilyen hatások kiegyenlítik egymást, a test forgásállapota nem változik. A két testnek a forgatónyomatéka egyenlő nagyságú és ellentétes irányú , tehát kiegyenlíti egymást: forgási egyensúly Forgató nyomaték meghatározása: Forgatónyomaték = erő * erőkar M = F * k Az egyensúly feltétele: F1*k1 = - F2*k2

Egyszerű gépek Azokat az egyszerű eszközöket (kötél, rúd, csiga, lejtő, ék stb.), amelyekkel kedvezőbbé lehet tenni az erőhatás nagyságát, irányát. A tengely körül elforgatható rúdnak emelő A tömegmérés régi eszközei legtöbbször kétoldalú emelők elvén működnek. Ilyen pl. az egyenlőkarú mérleg, a tizedes mázsa, a piaci (másként római) mérleg.

csigasor A csigasor kis húzóerővel nagy terhet emel. A csigasort állócsigák és mozgócsigák alkotják. F = G / 2n ahol n az álló és mozgócsigák száma

Archimedesi csigasor A csigasor kis húzóerővel nagy terhet emel. Az archimédeszi csigasort egy álló és több mozgócsiga alkotja. Minden mozgócsiga felezi a teher egyensúlyozásához szükséges erőt. Az egyensúly feltétele: F = G / 2n ahol n a mozgócsigák száma

Merev testre ható erők A párhuzamos hatásvonalú erők támadáspontját a hatásvonaluk mentén nem lehet egy közös pontba áthelyezni (mert hatásvonaluk nem metszi egymást), így eredőjük nem határozható meg a paralelogramma módszerrel. Párhuzamos hatásvonalú, egyező irányú erők eredője – nagysága a két összetevő erő nagyságának összege (Feredő = F1 + F2). – iránya a két összetevő erő irányával egyezik meg. – hatásvonala a két összetevő erő hatásvonalával párhuzamos, és azok között, a nagyobb erő hatásvonalához közelebb helyezkedik el k1:k2=F2:F1

A két párhuzamos hatásvonalú és ellentétes irányú erő eredőjének – nagysága a két összetevő erő nagyságának különbsége  (Feredő=F2−F1) – iránya a nagyobb összetevő erő irányával egyezik meg – hatásvonala a két összetevő erő hatásvonalával párhuzamos, azokon kívül, a nagyobb erő felől helyezkedik el.  k1:k2=F2:F1

Az erőpár Két erőt, ha hatásvonaluk párhuzamos, irányuk ellentétes, nagyságuk egyenlő és ugyanarra a testre hatnak, erőpárnak nevezzük. Az erőpár forgatónyomatéka nem függ attól, hogy az általuk meghatározott síkra merőleges forgástengely hol van. a). A forgástengely a két erő hatásvonala közé esik : Ha az erőpár által meghatározott síkra merőleges forgástengely a két erő hatásvonala között van, akkor az erőpárt alkotó két erő ugyanabba az irányba forgatja a testet, tehát azonos előjelűek, és így forgatónyomatékaik összeadódnak: M=M1+M2=F⋅k1+F⋅k2 /k1=x , k2=d-x/ =F*d b). Ha a forgástengely kívül esik a két erő által bezárt síkon, akkor a két erő ellenkező irányban forgat így a forgatónyomatékok különbségével kell számolni: M=M1-M2 = F*x- F*(x+d) M=F*d

Merev test egyensúlya Ha egy merev test egyensúlyának feltételét akarjuk megadni, nem hagyhatjuk figyelmen kívül a ráható erők forgató hatását sem. A merev testek egyensúlyának feltételei: A csak haladó mozgást végző test (pl. anyagi pont) egyensúlyának az a feltétele, hogy a testet érő erők eredője nulla legyen Feredő=F1+F2+F3+...+Fn=0 A forgási egyensúlynak az a feltétele, hogy a testet érő erők (bármely tengelyre vonatkozó)forgatónyomatékainak összege nulla legyen. M=M1+M2+M3+...+Mn=0 A merev test akkor van egyensúlyban, ha a testre ható erők eredője és ezen erők forgatónyomatékainak összege is nulla.

Tömegközéppont és súlypont A testeknél azt a pontot, amely körül szabad mozgásuk közben forognak, a test tömegközéppontjának nevezzük. A zárt rendszer tömegközéppontja vagy nyugalomban van, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végez. A testek (rendszerek) tömegközéppontjának mozgását csak külső erőhatások változtathatják meg. Tömegközéppont-tétel: Minden test (anyagi rendszer) tömegközéppontja úgy mozog, mintha a test összes anyaga ebbe volna sűrítve, és a testet érő külső erők támadáspontja a tömegközéppont volna.

A tömegközéppont helyének meghatározása Bármely pontjánál fogva felemelt testre két külső erő hat, a nehézségi erő és a tartóerő.  Ezek hatásvonalai függőlegesek és egybeesnek. Ezen egyenesen van tehát az erők támadáspontja, és a test tömegközéppontja is. Ha egy testet más-más pontjánál fogva felfüggesztünk, és minden ilyen esetben megjelöljük rajta a felfüggesztési pontokon átmenő függőleges egyeneseket, akkor ezek közös metszéspontja kijelöli a test tömegközéppontjának a helyét.

Súlypont Az egyensúlyban levő, alátámasztott vagy felfüggesztett testek súlyának hatásvonala is egybeesik a nehézségi erő és a tartóerő közös hatásvonalával. E három erő közös hatásvonalát ezért súlyvonalnak is szokás nevezni. A súlyvonalak közös metszéspontja: súlypont