Populáció genetika Farkas János 2005.

Források Csákány Antal – Dr. Vajda Ferenc: Játékok számítógéppel Szlávi Péter – Zsakó László: Modellcsalád s populációgenetikában Horváth László –Szlávi Péter – Zsakó László: Modellezés & Szimuláció

A fenti formula egy differenciálegyenletet határoz meg. Egyetlen faj esete Jelöljük x(t) -vel egyetlen faj egyedeinek számát a t idő függvényében, akkor az időegység alatt keletkező új egyedek száma: Ez azt jelenti, hogy az új egyedek száma a már életben levő egyedek számával arányos (a). A fenti formula egy differenciálegyenletet határoz meg.

Mindkét oldalt e alapra emelve: Egyetlen faj esete A megoldandó egyenlet egy elsőrendű, szétválasztható változójú differenciálegyenlet, amelynek megoldása: Mindkét oldalt e alapra emelve:

A C konstans a t = 0 feltételből számítható ki Egyetlen faj esete A C konstans a t = 0 feltételből számítható ki Itt x0 a faj egyedeinek induló létszámát jelenti. Látható, ha a pozítív állandó, akkor a faj létszáma exponenciálisan növekszik. Az exponenciális növekedésnek azonban általában vannak korlátai: túlnépesedés, táplálék véges mennyisége, kihalás, ellenség, stb.

Egyetlen faj esete Ezeket a hatásokat jobban figyelembe veszi a következő modell: ahol a és b a folyamat állandó paraméterei. Bár a fenti differenciálegyenlet nemlineáris, szerencsére mégis van analitikus megoldása, így viszonylag könnyen megoldható.

Több faj esete Ha a rendszer egyidejűleg több fajt is tartalmaz, és a fajok versengenek a táplálékforrásokért, akkor két faj esetén a modell: Itt x1(t) és x2(t) jelöli a két különböző fajt. Ezeket az egyenleteket Volterra egyenleteknek nevezik.

Ha az egyik faj a másikból él, akkor két faj esetén a modell: Több faj esete Ha az egyik faj a másikból él, akkor két faj esetén a modell: Ebben az esetben az x1 faj x2 jelenléte nélkül exponenciálisan elszaporodna, x2 pedig x1 jelenléte nélkül kihalna, az x2 tehát „megeszi” x1-et, x1 szolgál táplálékul x2-nek.

Több faj esete - finomítások Tovább finomítható a modell, ha figyelembe veszünk olyan külső tényezőket, amelyek a fajok létszámának alakulását befolyásolhatják. Ilyenek például a termény betakarítás, vadászat, stb. Ekkor egy n fajt tartalmazó rendszerben az i – edik fajra általánosan a következő összefüggés írható fel:

Több faj esete - finomítások Az összefüggés utolsó tagja a kívülről történő beavatkozást jelenti. (Ez nem csak csökkentő célzatú lehet, hanem pozitív irányú változást is jelenthet, pl. ivadéktelepítés, tenyészállatok beszerzése, stb.)

Nyulak és rókák esete A nyulak a rókák nélkül elszaporodnának, a rókák nyulak nélkül kihalnának. A két faj egyedeinek – itt a nyulak számára végzetes – találkozásainak száma a két faj létszámának szorzatától függ. (Ilyen az autóknál a koccanások száma is, amely az autók számának négyzetével arányos)

Nyúl – róka modell A programból jól leolvasható, hogy a nyulak elszaporodását a rókák számának növekedése követi, majd a nyulak kezdenek fogyni, ez azonban a rókák pusztulását eredményezi és így tovább.

Őz - szarvas modell - leírás Egy táblázaton őzek és szarvasok szaporodását figyelhetjük meg. Megadhatjuk kezdeti arányukat, szaporodásuk szabályait (egy párnak mennyi utódja lesz évente [maximum 5]), mozgási területüket, táplálékigényüket. Az egyedszám felső határa a rendelkezésre álló tápláléktól függ, alsó határa pedig attól, hogy van-e két egyed elérhető távolságban (tudnak-e szaporodni). A populációk számát állandóan csökkenti a természetes öregedés, a táplálékhiány, a ragadozók és a vadászok. Ezen paraméterek változtatásával figyeljük meg a két faj létszámának változását.

Őz - szarvas modell - paraméterek Egy szarvas szülőpárnak hány utódja születik (1) Egy őz szülőpárnak hány utódja születik (2) Egy szarvas várható életkora (10) Egy őz várható életkora (6) Egy szarvas mozgási területe mekkora (40 km2) Egy őz mozgási területe mekkora (20 km2) Ebből mekkora a táplálkozási területe (10 km2) Ebből mekkora a táplálkozási területe (3 km2) 100 egyedből hányat lőnek le a vadászok (40) 100 egyedből hányat lőnek le a vadászok (30) 100 egyedből hányat esznek meg a ragadozók (5) 100 egyedből hányat esznek meg a ragadozók (10) Hány szarvas legyen kezdetben (max. 160) Hány őz legyen kezdetben (max. 40)

Zsákmányszerzés modell - leírás A programmal egy ragadozó-zsákmány kölcsönhatást figyelhetünk meg. Megadhatjuk mindkettő születésének és halálozásának szabályait, illetve egymásra hatásukat. (Jel: R - ragadozó, Z - zsákmány). Tapasztalhatjuk, hogy a ragadozókra káros hatással van, ha lassú a szaporodásuk, illetve kevés és lassan szaporodik a zsákmány (kihal vagy nagy az ingadozás). Ha mindkettő gyorsan szaporodik, az nagy instabilitást eredményez. Nagyon sok esetben a két populáció egyedszámának periodikus ingadozását figyelhetjük meg. Ha a két faj kezdeti létszámát arányosan csökkentjük, akkor ez elég hosszú időn át a zsákmány szaporodásának fog kedvezni ( VOLTERRA-elv ).

Zsákmányszerzés - paraméterek Mennyi ragadozó legyen (1-200) Mennyi zsákmány legyen (1-500) Ragadozó évi utódszáma Zsákmány évi utódszáma Ragadozó évi halálozási gyakorisága (0-1) Zsákmány évi halálozási gyakorisága (0-1) Táplálkozási együttható (0-8)

Parazitizmus modell - leírás A programmal egy parazita - gazdaállat kölcsönhatást figyelhetünk meg. Megadhatjuk, hogy a parazita a gazdaállaton milyen ütemben szaporodik (szaporodni csak a gazdaállaton tud), magányosan milyen eséllyel hal meg, a gazdaállat születésének és halálozásának szabályait, mennyire fertőz és mennyivel növeli a halálozási rátát a parazita. Jelölés: P, G, illetve számjegy a fertőzöttekre. Tapasztalhatjuk: kis fertőzöttség stabilan megmarad, nagy pedig periodikus ingadozást okoz. Ha a fertőzés nagyon növeli a halálozást, mégsem szűnik meg, ha a parazita gyorsan szaporodik. A parazita hiába szaporodik gyorsan, ha kevés esélye van fertőzésre, egyébként kipusztíthatja a gazdapopulációt.

Parazitizmus - paraméterek Mennyi állat legyen (1-500) Ebből mennyi fertőzött (1-323) Parazita szaporodási együtthatója (1- …) Gazdaállat évi utódszáma Parazita halálozási gyakorisága (0-1) Gazdaállat halálozási gyakorisága (0-1) Ezt mennyivel növeli meg egy parazita Fertőzési fok (0-1)