A határérték Digitális tananyag

Határérték A határérték fogalma A határértékek kiszámítása Határértékek a végtelenben Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A határérték Az f(x) határértéke, ha x tart az a számhoz egyenlő az L számmal, ha f(x) értéke L-hez közelít, miközben x közelít a-hoz. a L Tóth István – Műszaki Iskola Ada

1. példa Készítsünk táblázatot! x 2,5 2,9 2,99 2,999 3,001 3,01 3,1 3,5 2x 5 5,8 5,98 5,998 6,002 6,02 6,2 7 6 Tóth István – Műszaki Iskola Ada

2. példa A kifejezés nem értelmezett x=4-re! x 3,5 3,9 3,99 3,999 4,001 4,01 4,1 4,5 f(x) 1 A függvény határértékét vizsgálhatjuk olyan x0 pontban is, ahol a függvény nem értelmezett (de a pont környezetében igen). Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Feladatok Táblázat segítségével becsüld meg a határértékeket: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A „táblázatos” módszer hiányossága x f(x) ±1 0,049876 ±0,5 0,049969 ±0,1 0,049999 ±0,01 0,050000 ±0,0005 0,080000 ±0,0001 0,000000 ±0,00001 ±0,000001 Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Egyszerűbb határértékek Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A határérték szabályai Ha léteznek a következő határértékek: és Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A szabályok alkalmazása 1. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A szabályok alkalmazása 2. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Behelyettesítés Vegyük észre: sok esetben elegendő, ha a közelítés határát behelyettesítjük a függvény képletébe! 1. 2. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Ellenpélda A hányadosra vonatkozó szabályt használva azt kapjuk, hogy: Tehát a számláló és a nevező is 0-val egyenlő. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Az ellenpélda megoldása Az f függvényt olyan g függvénnyel helyettesítjük, amely a közelítés határát kivéve mindenütt egyenlő az f függvénnyel. az f függvény a helyettesítő g függvény Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Gyakorló feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Nem tudunk tényezőkre bontani, egyszerűsíteni Ismét egy példa Nem tudunk tényezőkre bontani, egyszerűsíteni Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Gyakorló feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Nem minden határérték létezik... x →2 2 ←x x 1,9 1,99 1,999 1,9999 2,0001 2,001 2,01 2,1 f(x) -20 -200 -2000 -20000 20000 2000 200 20 f(x) →-∞ ∞ ←f(x) Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Bal és jobb oldali határérték A bal oldali határérték keresésekor azt vizsgáljuk, mihez közelít az f függvény értéke, miközben a független változó (x) értékei bal oldalról tartanak a közelítés határához. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Bal és jobb oldali határérték A jobb oldali határérték keresésekor azt vizsgáljuk, mihez közelít az f függvény értéke, miközben a független változó (x) értékei jobb oldalról tartanak a közelítés határához. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Példa Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Gyakorlás Keresd meg a határértékeket: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A határérték létezése A határérték létezik, ha léteznek a és határértékek és ezek egyenlő valós számok. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A határérték ε-δ definíciója értéke az L valós szám, ha minden ε pozitív valós számhoz található olyan δ pozitív valós szám, hogy az egyenlőtlenségből következzék Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Példa Igazoljuk: Tegyük fel, hogy ε egy adott pozitív szám. Ekkor: tehát ε értékére 3·δ értéket kell vennünk, azaz Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Néhány fontosabb határérték Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Példa 1 Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Néhány fontosabb határérték Feladatok: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Néhány fontosabb határérték Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Határértékek a végtelenben Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Határértékek a végtelenben Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Példa Feladatok: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Egyszerűbben Például: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

További példák, feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

További példák, feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

További példák, feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Fontos határérték Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Alkalmazás A határérték-számítás az elkövetkező anyagrészek alapja. A továbbiakban az alapfogalmakat a határérték segítségével vezetjük be. Folytonosság Aszimptoták Differenciálszámítás Integrálszámítás Tóth István – Műszaki Iskola Ada