Differenciálszámítás

Slides:



Advertisements
Hasonló előadás
Függvényvizsgálat A diasorozat az Analízis 2 (Mozaik Kiadó 2005.) c. könyvhöz készült. Készítette: Dr. Ábrahám István.
Advertisements

A gyorsulás fogalma.
A differenciálszámítás alkalmazásai
Elemi függvények deriváltja
Matematikai Analízis elemei
Függvények Egyenlőre csak valós-valós függvényekkel foglalkozunk.
KINEMATIKAI FELADATOK
MI 2003/9 - 1 Alakfelismerés alapproblémája: adott objektumok egy halmaza, továbbá osztályok (kategóriák) egy halmaza. Feladatunk: az objektumokat - valamilyen.
Differenciálszámítás Bevezetés, alapismeretek
Koordináta transzformációk
Regresszió számítás Mérnöki létesítmények ellenőrzése, terveknek megfelelése Geodéziai mérések – pontok helyzete, pontszerű információ Lineáris regresszió.
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSA
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS
Térelemek Kőszegi Irén KÁROLYI MIHÁLY FŐVÁROSI GYAKORLÓ KÉTTANNYELVŰ KÖZGAZDASÁGISZAKKÖZÉPISKOLA
A hasonlóság alkalmazása
TRIGONOMETRIA Érettségi feladatok
Statisztika II. VI. Dr. Szalka Éva, Ph.D..
Elektrotechnika 3. előadás Dr. Hodossy László 2006.
Ideális kontinuumok kinematikája
Differenciál számítás
A lokális szélsőérték és a derivált kapcsolata
A lineáris függvény NULLAHELYE
Gazdálkodási modul Gazdaságtudományi ismeretek I. Közgazdaságtan KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI MSc.
PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Matematika III. előadások MINB083, MILB083 Gépész és Villamosmérnök szak BSc képzés 2007/2008. őszi félév.
Matematika III. előadások MINB083, MILB083
Mérnöki Fizika II előadás
Lineáris függvények.
Lineáris transzformáció sajátértékei és sajátvektorai
Dr. Szalka Éva, Ph.D.1 Statisztika II. VI.. Dr. Szalka Éva, Ph.D.2 Regresszióanalízis.
1 Matematikai Analízis elemei dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém nov. 08.
Matematikai Analízis elemei
Függvények.
Koordináta-geometria
Szögfüggvények általánosítása
Lokális optimalizáció Feladat: f(x) lokális minimumának meghatározása 0.Adott egy kezdeti pont: x 0 1.Jelöljünk ki egy új x i pontot, ahol (lehetőleg)
Optimalizáció modell kalibrációja Adott az M modell, és p a paraméter vektora. Hogyan állítsuk be p -t hogy a modell kimenete az x bemenő adatokon a legjobban.
Ábrahám Gábor Radnóti Miklós Kísérleti Gimnázium Szeged
Matematika I. 1. heti előadás Műszaki Térinformatika 2013/2014. tanév szakirányú továbbképzés tavaszi félév Deák Ottó mestertanár.
A differenciálszámtás alapjai Készítette : Scharle Miklósné
Gazdasági matematika II. AV_PNA202 Matematika II
Katz Sándor: Módszertani szempontból fontos feladatok
XVII. Hajnal Imre Matematika Tesztverseny
Függvények jellemzése
A függvény deriváltja Digitális tananyag.
Határozatlan integrál
A lineáris függvény NULLAHELYE GYAKORLÁS
1. MATEMATIKA ELŐADÁS Halmazok, Függvények.
Rövid összefoglaló a függvényekről
Összegek, területek, térfogatok
Elektronikus tananyag
Készítette: Horváth Viktória
A határérték Digitális tananyag.
A derivált alkalmazása a matematikában
A középiskolai ismeretanyag áttekintésétől a differenciálszámításig
előadások, konzultációk
A derivált alkalmazása
A Függvény teljes kivizsgálása
Integrálszámítás.
előadások, konzultációk
Függvények ábrázolása és jellemzése
Kontinuum modellek 1.  Bevezetés a kontinuum modellekbe  Numerikus számolás alapjai.
Mechanika Műszaki fizika alapjai Dr. Giczi Ferenc
Függvények jellemzése
Matematika I. BGRMA1GNNC BGRMA1GNNB 2. előadás.
IV. konzultáció Analízis Differenciálszámítás II.
Numerikus differenciálás és integrálás
Matematika I. BGRMA1GNNC BGRMA1GNNB 3. előadás.
Matematika I. BGRMA1GNNC BGRMA1GNNB 5. előadás.
A lineáris függvény NULLAHELYE
Szögfüggvények és alkalmazásai Készítette: Hosszú Ildikó Nincs Készen.
Előadás másolata:

Differenciálszámítás 2. MATEMATIKA ELŐADÁS Differenciálszámítás

Miért hasznos a differenciálszámítás? Példa: Sebesség = út/idő Átlagsebesség Pillanatnyi sebesség

Út-idő mérése diszkrét pontokban Mekkora az átlagsebesség a 3-4. s között?   Mekkora az átlagsebesség a 3-5. s között?   s=16m s=7m Geometriai jelentés α t=1s t=2s   A sebesség a vízszintessel bezárt szög tangensét, a meredekséget mutatja meg. t

Az út és idő között ismert a függvénykapcsolat példa: s   A sebesség még mindig átlagsebesség (a szelő meredeksége), a kifejezés a differenciahányados. f(x2) Ha x2 nagyon megközelíti x1-et f(x1) a differenciahányados határértéke a differenciálhányados, a derivált, amely megmutatja a pillanatnyi sebességet (az érintő meredekségét) x1-ben. t x1 x2

A differenciálás alkalmazása Határozzuk meg az y=x2 függvény grafikonjának meredekségét x=3 pontban f(x)=x2 Képezzük a függvény deriváltfüggvényét vagy deriváltját f(x)=x2 f’(x)=2x Helyettesítsük be az érintési pont x koordinátáját f’(x=3)=2•3=6 Az f(x)=x2 függvény grafikonjának meredeksége az x=3 helyen 6. tgα=6

Deriválási szabályok

Példák f:4x5-3x4+7x3-2x+1 g:log25x h: sinx-3cosx i: 3x2sinx

Alkalmazás Példa: Mekkora az f(x) függvény meredeksége az x=3 helyen? f:4x5-3x4+7x3-2x+1 f’:20x4-12x3+21x2-2 f’:20(3)4-12(3)3+21(3)2-2 f’(x=3)=1483 tgα=1483

Összetett függvény f(g(x)) f=sin(x) g=3x2 f(g(x))=sin(3x2) Összetett függvény deriválása (f(g(x)))’=f’(g(x))•g’(x) Példa : (sin(3x2))’=cos(3x2)•6x

Második derivált Példa: f(x)=5x3 f’(x)=5·3x2=15x2 f’’(x)=15·2x=30x Alkalmazás (pl): s(t)=5x3 v(t)=15x2 a(t)=30x F=m·a F kiszámítható

Szélsőérték meghatározása Példa: f(x)=2x3-21x2+60x+3 Hol van az f(x) fv. szélsőértéke? f(x) függvény szélsőértéke ott található, ahol f’(x)=0 f’(x)=6x2-42x+60 6x2-42x+60=0 x1=5, x2=2 Minimum vagy maximum? f’(x)=6x2-42x+60 f’’(x)=12x-42 f”(5)=18 Minimum! f”(2)=-18 Maximum!

f(x)=2x3-21x2+60x+3

Gyakorló feladatok Hol vannak a szélsőértékei az f:2x3-3x2-24x függvénynek? Határozzuk meg az f:ln(3x) és a g:sin(x2) függvényekhez húzott érintő meredekségét az x=4 helyen Mi lesz a második deriváltja a x3sinx függvénynek?

Teljes függvényvizsgálat Kérdések: Hol vannak a függvény szélsőértékei? Ezek minimumok vagy maximumok? Milyen tendenciát jelenít meg a függvény? Hol szigorúan monoton a függvény? Hol konvex-konkáv a függvény? Hol van a függvény inflexiós pontja?

Alapkijelentések Ha f’ pozitív, a függvény szigorúan monoton növő Ha f’ negatív, a függvény szigorúan monoton csökkenő Ha f’=0 a függvénynek szélsőértéke van Ha ebben a pontban f” pozitív Ha ebben a pontban f” negatív lokális minimum lokális maximum Ha f” pozitív, a függvény konvex Ha f” negatív, a függvény konkáv Ha f”=0 a függvénynek inflexiós pontja van (és f”=0 környezetében a fv előjelet vált) Ezen a helyen a legnagyobb-legkisebb a függvény meredeksége

Példa:

Apáczai Kiadó MATEMATIKA a középiskolák 11. évfolyama számára Emelt szintű, kiegészítő tananyag Alkotószerkesztő: Csatár Katalin

Illesztés pontokra - regresszió