Rezgőmozgás

A rezgőmozgás Felfüggesztett rugóra nehezéket akasztunk és kitérítjük egyensúlyi helyzetéből. Satuba fogott vaslemezt megpendítjük. Ingaóra ingáján lévő nehezék.

A rezgés fogalma •Minden olyan változást, amely az időben valamilyen ismétlődést mutat rezgésnek nevezünk. •A rezgések fajtái: 1. Csillapítatlan rezgőmozgás: Időben állandó a maximális kitérés (idealizált eset). 2. Csillapított rezgőmozgás: A maximális kitérés időben csökken. • Az ismétlődés lehet szabálytalan, vagy szabályos. Csoportosíthatjuk a rezgéseket aszerint is, hogy milyen közegben játszódik le a rezgés. ( mechanikai, elektromos, mágneses rezgések)

Mechanikai rezgés = rezgőmozgás A mechanikai rezgések mindig valamilyen „mozgás” közben játszódnak le. Azokat a mozgásokat, amikor ugyanaz a mozgásszakasz ugyanúgy ismétlődik periodikus mozgásnak nevezzük. A szabályos rezgések mindig periodikus mozgások:

A rezgőmozgás és jellemzői Egy pontszerű test két szélső helyzet közötti periódikus mozgása. A rezgő test pályája bármilyen lehet (pl. a rugóra akasztott test pályája egyenes, az inga körpályán mozog)

A rezgőmozgás és jellemzői Kitérés: Jele: y Rezgőmozgás esetén az elmozdulás. Amplitúdó: Jele: A (ymax) [A] = m Az egyensúlyi helyzet és a szélső helyzet távolsága (a maximális kitérés nagysága). Rezgésidő vagy periódusidő: Jele: T [T] = s Egy periódus (rezgés) megtételéhez szükséges idő. Rezgésszám vagy frekvencia: Jele: f A megtett rezgések számának és az ehhez szükséges időnek a hányadosa. n: rezgések száma Dt: eltelt idő

A rezgőmozgás és körmozgás kapcsolata

Radián A radián v. ívmérték a síkszögek egyik mértékegysége, amelyet a rad  szimbólummal jelölnek. Dimenzió nélküli mértékegység, mivel két hosszúság hányadosa. A radián kifejezés először 1873. június 5-én jelent meg nyomtatásban James Thomson  által felvetett kérdések vizsgálata során. Egy radián az a szög, amely alatt a sugárral megegyező nagyságú ívhossz a középpontból látszik. Másképp a radián a sugárnyi hosszúságú ívhosszhoz tartozó középponti szög. Egy kör középponti szögének radiánban mért értéke kiszámolható, ha a hozzá tartozó ívhosszat elosztjuk a sugárral.  α=360° Kkör=2rπ α=K/r=2rπ/r=2π 360° = 2π≈6,28... radiánnak felel meg

Szögfüggvények, trigonometria A trigonometrikus függvények vagy szögfüggvények eredetileg egy derékszögű háromszög egy szöge és két oldalának hányadosa közötti összefüggést írják le.  Függvény Rövidítés Szinusz sin Koszinusz cos

A rezgőmozgás és jellemzői Kitérés-idő függvény (szinuszgörbe!)

A rezgőmozgás és jellemzői Körfrekvencia: Jele: w [w] = [f] = Hz A ferkvencia 2π szerese. Vizsgáljunk egyetlen rezgést: (1 rezgés megtételéhez szükséges idő) (a frekvencia a periódusidő reciproka) (körfrekvencia és rezgésidő közti összefüggés)

A rezgőmozgás és jellemzői A harmonikus rezgőmozgás rezgésszáma (frekvenciája) és a körmozgás fordulatszáma is egyenlő. Ezekből az adódik, hogy a harmónikus rezgőmozgás kitérése:

A rezgőmozgás változó sebességű mozgás! A rezgő test sebessége A rezgőmozgást végző test sebességének iránya periódikusan változik, a szélső helyzetekben a test sebességének nagysága egy pillanatra nulla. A rezgőmozgás változó sebességű mozgás!

A rezgő test sebessége Vizsgáljuk meg, hogyan függ a harmónikus rezgőmozgást végző test sebessége az időtől.

A rezgő test sebessége (az ábrából): vk v A rezgő test sebessége (az ábrából): Egyenletes körmozgás miatt: A kerületi sebesség és a szögsebesség közötti összefüggés: Mivel r = A A harmonikus rezgőmozgást végző test sebessége:

Sebesség – idő függvény: A rezgő test sebessége Sebesség – idő függvény: Pozitív a sebesség: az 1. és 4. negyedperiódusban Negatív a sebesség: az 2. és 3. negyedperiódusban Nulla a sebesség: és ekkor van a test a szélső helyzetben. Maximális a sebesség: és ekkor halad át a test az egyensúlyi helyzeten.

A rezgő test gyorsulása Mivel a rezgőmozgás változó sebességű mozgás, ezért a rezgő test gyorsulása sem nulla. acp – a körpályán mozgó test centripetális gyorsulása a – a rezgő test gyorsulása (az acp x irányú komponense)

A rezgő test gyorsulása A rezgő test gyorsulása (ábráról): Egyenletes körmozgás miatt: Centripetális gyorsulás: Mivel r = A A harmonikus rezgőmozgást végző test gyorsulása:

A rezgő test gyorsulása Gyorsulás – idő függvény (egy szinuszgörbe x tengelyre vonatkozatott tükörképe): Nulla a gyorsulás: és Maximális a gyorsulás: és Tudjuk:

A rezgőmozgás változó sebességű mozgás! A rezgő test sebessége A rezgőmozgást végző test sebességének iránya periódikusan változik, a szélső helyzetekben a test sebességének nagysága egy pillanatra nulla. A rezgőmozgás változó sebességű mozgás!

A rezgő test gyorsulása A harmonikus rezgőmozgást végző test gyorsulása arányos a kitéréssel, de azzal ellentétes irányú.

A rezgőmozgás dinamikai leírása Dinamika alapegyenlete: (a testre ható erők eredője) Tudjuk:

A rezgőmozgás dinamikai leírása A harmonikus rezgőmozgást végző testre ható erők eredője egyenesen arányos a kitéréssel, de azzal ellentétes irányú. (Ha egy egyenes mentén rezgő testre minden helyzetben a kitéréssel egyenesen arányos, de azzal ellentétes irányú erő hat, akkor a mozgás harmonikus rezgőmozgás) Ha a rugón rezgő test pályája egyenes, akkor a test harmonikus rezgőmozgást végez.

A rezgőmozgás dinamikai leírása Rezgésidő meghatározása: A rezgő test rezgésidejét a rugó rugóállandója és a test tömege határozza meg!

Az inga Olyan test, amely tömegközéppontja fölötti pontjánál fogva van felfüggesztve.

Az inga Matematikai inga: Egy nyújthatatlan és elhanyagolhatóan kis tömegű fonalra felfüggesztett pontszerű test. l: az inga hossza m: a test tömege x: egyensúlyi helyzetből mért kitérés

Az inga Ha egy ingát az egyensúlyi helyzetéből kitérítünk, majd kezdősebesség nélkül elengedjük, akkor a test egy függőleges síkban fekvő körpályán periodikus mozgást végez. A testre ható erők: 1. Nehézségi erő: m·g 2. Kötélerő: Fk

Az inga Bontsuk fel a nehézségi erőt két, egymásra merőleges komponensre: F1, F2 Mivel a test sebessége érintő irányú, így a sebességre merőleges Fk és F2 erő nem befolyásolja annak nagyságát. A gyorsulást a nehézségi erő érintőirányú komponense (F1) határozza meg.

2 db hasonló derékszögű háromszög Az inga Nagyon kis kitéréseknél x ~ h 2 db hasonló derékszögű háromszög

Az inga Matematikai inga kis kitéréseinél a testre ható erő és a kitérés egyenesen arányos egymással, de irányuk ellentétes, így a mozgás harmonikus rezgőmozgás. Lengésidő: Az az idő, amely alatt az inga egyik szélső helyzetből ugyanoda visszatér. A matematikai inga lengésideje kis kitéréseknél az inga hosszától és a nehézségi gyorsulástól függ.

Szabad rezgés Csillapított rezgés: magára hagyott rezgő rendszer amplitudója csökken, végül leáll. Külső csillapító erők hatására. Csillapítatlan rezgéshez a fellépő fékező hatásokat másik hatásokkal ki kell egyenlíteni. Saját rezgésszám: magára hagyott rezgő rendszer mindig azonos frekvenciával rezeg. (f0 ) a rezgő rendszer tulajdonságaitól függ. (l, g, m, D) Csatolt rezgés: ha a rezgő rendszert állandó külső (periódikusan ismétlődő) gerjesztő hatás éri. A két rezgő rendszer kölcsönösen befolyásolja egymás rezgését. Az amplitúdó és az energia folyamatosan „kicserélődik”.

Kényszerrezgés, rezonancia Kényszerrezgés: ha a rendszer egy külső gerjesztő hatásnak megfelelően kénytelen rezegni. Jellemzői: a test a gerjesztő rendszer frekvenciáján rezeg. fk A rezgő rendszer és gerjesztő rendszer amplitúdója eltér egymástól A rezgések között fáziskésés tapasztalható Változtatva a gerjesztő rendszer frekvenciáját, megkapjuk az amplitúdó-kényszerfrekvencia görbét. Rezonancia: fk=f0 Az amplitúdó akkor maximális, ha a gerjesztő rendszer fk frekvenciája megegyezik a rendszer f0 sajátfrekvenciájával.

Rezonanciakatasztrófa Rezonanciakatasztrófa: ha a csillapító hatások olyan kicsik, hogy nem tudják a rezgést fékezni, akkor a rezgés amplitúdója akkora lesz, hogy a rendszer szétesik. Az eredeti Tacoma-híd ismert volt lengéseiről, himbálódzásáról. "Gallopping Gertie"  A hidat 1940 július 1-én adták át. A híd Tacomát és Gig Harbort kapcsolta össze. A hídavatás után 4 hónappal, 1940 november 7-én 42 mérföld/óra sebességű szélvihar támadt a híd környezetében. A szél által keltett lengéshullámok egyik oldaltól a másikig oda-vissza haladtak egyre erősebbé válva, s a híd leszakadásához vezettek. A Tacoma-híd esetében a széllökések frekvenciája a híd sajátrezgési frekvenciája közelébe esett és néhány órai külső gerjesztés ideje alatt hozta olyan mértékű lengésbe a hidat a szél, hogy az leszakadt.

(Winfried Otto Schumann, Schumann-rezonancia A Föld felszíne és a légkör felső rétege(ionoszféra 85-1000 km között, különböző sűrűségű) közötti elektromágneses sajátfrekvenciákat nevezzük Schumann-rezonanciáknak. Ezeknek a frekvenciáknak a gerjesztő forrása a légkör zivatar-tevékenysége. A legalacsonyabb Schumann rezonanciát a Föld természetes frekvenciájának is nevezik. 7,8Hz ezt az az idő határozza meg, ami alatt az elektromágneses sugárzás a gömb alakú kéreg belső felületén egy teljes fordulatot tesz meg.  (Winfried Otto Schumann, München, 1952) A fény sebessége 299 792,458 km/s, a Föld egyenlítői kerülete 40 075,02 km, így a természetes frekvencia: 299 792,458 / 40 075,02 =7,48 Hz. 1980 óta viszont ez az érték a rengeteg elektroszmog hatásaként lassan emelkedik és jelenleg már több, mint 12 Hz. Ez kevesebb, mint 16 órának felel meg naponta a korábbi 24 helyett, és tovább csökken... Ezért tűnik úgy, hogy gyorsabban telik az idő. A kevesebb óraszám következtében allergia, fejfájás sújt bennünket, mert a rezgések nagyobb száma miatt a szervezetünk túl érzékennyé válik.

Agyi hullámok Az emberi agy elektromos áramainak EEG-vel történő mérései megállapították, hogy agyunk 1-20 Hz közötti elektromágneses hullámokat termel. Az orvostudomány ezt a spektrumot négy főbb tartományra osztja, amelyek különböző tudatállapotokhoz kapcsolódnak: 1. A béta-hullámok (13-20 Hz) a normális ébrenléti állapotra jellemzőek. 2. Az alfa-hullámok (8-12 Hz) a nyugalmas ébrenléti állapotokban lépnek fel (pl. meditáció során, röviddel az elalvás előtt, illetve közvetlenül az ébredés után). 3. A théta-hullámok (4-7 Hz) azokra az alvási fázisokra jellemzőek, amikor álmodunk. 4. A delta-hullámok (1-3 Hz) az álom nélküli mélyalvásban és a komatózus állapotokban dominálnak.