Lagrange-interpoláció 27 Láttuk, hogy ha két legfeljebb n – edfokú polinom n+1 helyen ugyanazt az értéket veszi fel, akkor megegyezik. Legyen R egységelemes integritási tartomány A továbbiakban legyenek: c0, c1, …, cn  R különböző elemek és d0, d1, …, dn  R tetszőleges elemek. Ekkor legfeljebb egy olyan legfeljebb n – edfokú f polinom létezik R felett, amelyre f(cj) = dj, j = 0, 1, 2, …, n.

H a R test, akkor mindig létezik is ilyen f polinom. Lagrange j – edik interpolációs polinom: Ekkor: 28

Titokmegosztás Lagrange-interpolációval 29 Legyen m, n  N+, m < n. Titok: t  N, t < T. Cél: t titkot bontsuk fel n részre bármelyik m részből helyreállítható legyen, de kevesebből semmi információt ne adjon. Módszer: válasszunk egy p prímet, amelyre p > T és p > n, továbbá véletlenszerűen együtthatókat: a1, a2, ..., am–1  Zp.

Tekintsük a következő Zp[x] – beli polinomot: Az y1, y2, ... , yn, titokrészek a g(x) polinom helyettesítési értékei az 1, 2, …, n helyen. Működés: g(x) rekonstruálható Lagrange-interpolációval m db titokrészből  t titkot a konstans tag. 30

Tétel(Parciális törtekre bontás) Def. Valamely K test esetén a K[x] integritási tartomány hányadostestét racionális függvénytestnek nevezzük és K(x)-szel jelöljük. Tétel(Parciális törtekre bontás) polinomok, amelyekkel a hányadostestben 31

n = 2-re: bővített euklidészi algoritmus  Biz. (indukció) n = 1-re trivi n = 2-re: bővített euklidészi algoritmus  32

polinomokra fennáll, hogy 33 Tfh n – 1 – ig kész, tehát a polinomokra fennáll, hogy Továbbá az n = 2 esetből kapjuk, hogy: f* - gal szorozva:

Ha h  K[x] , akkor léteznek olyan hj  K[x] polinomok, amelyekre 34 Következmény Ha h  K[x] , akkor léteznek olyan hj  K[x] polinomok, amelyekre szoroztunk h – val Következmény Az előző felbontás így is elvégezhető: maradékosan osztottuk a számlálókat a nevezőkkel ahol p  K[x] , és deg(hj) < deg(gj), ha j = 1, 2, …, n.

35

Többváltozós (határozatlanú) polinomok Legyen R gyűrű és n természetes szám. n = 0 esetén legyen n = 1 már láttuk, n > 1 esetén 36

A konstans polinomokat itt is R elemeivel azonosíthatjuk. 37 A konstans polinomokat itt is R elemeivel azonosíthatjuk. Monom: fok együttható

Egyértelmű, ha elhagyjuk a 0 együtthatójú tagokat. Hagyományos felírás: Egyértelmű, ha elhagyjuk a 0 együtthatójú tagokat. deg(f) = m, 0 polinom fokszáma –1 (–∞ ) konstans polinom és lineáris polinom fogalma mint egyváltozósnál… Homogén polinom, ha minden tag fokszáma ugyanaz. 38

39 Műveletek: ha