Predikátumlogika

A predikátumlogika szükségessége A logikai értelemben vett következtetés elengedhetetlen feltétele a premisszákban és a konklúzióban szereplő logikai alakzatok szintaktikai kapcsolata. Mivel az elemzés alapszintje a logikai grammatikai értelemben vett mondatok kiemelése, csak olyan következtetések esetén működik, ahol a premisszák és a konklúzió között mondatok szintjén fellelhető kapcsolat áll fenn (hiszen a konklúzió csak explicitté teszi azt, amit a premisszák implicit módon tartalmaznak). Pl: {A V B; ~A} => B

A predikátumlogika szükségessége Tekintsük azonban az alábbi következtetést: Minden ember halandó. Szókratész ember. _____________________ Szókratész halandó. Bár a következtetést helyesnek érezzük, helyességét eddigi eszközeinkkel nem tudjuk igazolni. Lássuk miért nem.

A predikátumlogika szükségessége A következtetés szerkezete: Pr {Minden ember halandó; Szókratész ember} => K: Szókratész halandó. Formalizáljuk a mondatokat! {p; q} => r Mivel a következtetésben szereplő mondatok szintaktikailag különböznek egymástól, különböző mondatparaméterekkel vagyunk kénytelenek őket jelölni. Így azonban nincs közös mozzanat!

A predikátumlogika szükségessége Bizonyos következtetések esetén az elemzésnek „mélyebbre” kell hatolnia. Nem elégedhetünk meg tehát a mondatokkal, a mondatok belső logikai szerkezetét is fel kell tárnunk a következtetés helyességének vizsgálata érdekében. Mi van a mondatokban? (Mi lehet? Ismétlés: logikai grammatika) Nos: nevek (individuumnevek), de nem csak ezek, mert pusztán ezekből nem épülhetne fel a mondat (igaz vagy hamis szemantikai értékkel bíró logikai képződmény) szükség van még funktorokra is (de csakis ezekből megint csak nem tudnánk mondatot építeni)

Predikátumlogika A legegyszerűbb esetben nevek és mondatképző funktorok alkotják egy mondat belső logikai szerkezetét. Másként, olyan funktorok képezik a mondat „lelkét”, amelyek bemenete valamely név, kimenete pedig mondat, vagyis predikátumok. Pl. … halandó, … korzikai. … űrhajós Mondatok képződnek (amelyek igazak vagy hamisak lehetnek a tényektől függően), ha ezeket a(z egyargumentumú, „monadikus”) predikátumokat nevekkel töltjük ki. Szókratész halandó. Napóleon korzikai. Tyereskova űrhajós. vagy Zeusz halandó. Newton korzikai. Batu kán űrhajós.

Predikátumlogika A kérdés persze az, hogy mitől függ a képződő mondatok igazsága. Nyilván a tényektől, de logikai szempontból elegendő arra figyelnünk, hogy miként függ össze a predikátum bemenete és kimenete. Nem a név számít, mert ha egy tulajdonnevet felcserélek egy leírással, a mondat igaz marad pl. „A waterlooi csata vesztese korzikai.” (s nyilván ugyanez áll a hamisságra). Ami számít tehát az egyedül a nevek faktuális értéke, vagyis az, hogy a nevek jelöletei, a megjelölt individuumok, individuális létezők beletartoznak-e a szóban forgó predikátum hatókörébe, terjedelmébe (extenziójába). Nézzük másként (tábla)

Predikátumlogika Függvény és extenzió Egy predikátum (informálisan: tulajdonság) igaz egyes individuumokra, másokra pedig nem. Azon individuumokból, amelyekre igaz, halmazt képezhetünk (amelyet egyértelműen definiálnak elemei, az individuumok). E halmazt a predikátum (a függvény) extenziójának vagy igazságtartományának nevezzük. U = a tárgyalásai univerzum (amely nem üres, s amely minden számba veendő individuum halmaza) P extenziója = azon részhalmaz, amelyet U elemeiből képzünk, azon individuumokból, amelyekre P igaz, vagyis {x eleme U és P(x)}, még egyszerűebben {x | P(x)} 8

Predikátumlogika Univerzum (tárgyalási univerzum) Halmazok (osztályok, esetünkben predikátumok) Halmazok metszetei. Legyen a két halmaz „korzikai” és „hadvezér”. (tábla) Hol helyezhetnénk el az individuumot, amelyet a „Napóleon” tulajdonnév vagy „a waterlooi csata vesztese” leírás megjelöl?

Predikátumlogika Visszaköszönnek tehát a kijelentéslogika logika jelei. non-A --- A komplementerhalmaza A és B (konjunkció, logikai szorzás) ---- A metszet B A vagy B (alternáció, logikai összeadás) ---- A unió B ha A, akkor B (kondicionális, implikáció) --- A valódi részhalmaza B-nek

Predikátumlogika Ha most visszatekintünk a bevezető példára (Szókratész), érdekes dolgokra bukkanunk. Nézzük az első premisszát Nemcsak egyetlen individuumról van szó, hanem „minden” individuumról, amely valamely osztályba tartozik Nem is az individuumok a lényegesek, hanem az osztályok viszonyai. Nevezetesen: az első premissza azt állítja, hogy minden egyes individuum, aki az első osztály („Ember”) tagja, vagyis eleme, az egyúttal a második osztályba is besorolandó. Ha valami eleme E-nek, akkor eleme H-nak is. Ez megint ismerős: kondicionális.

Predikátumlogika Nem mondja azonban meg kiről van szó, csak annyit mond, ez minden elemre áll. S innen már boldogulhatunk: ha egyszer minden elemre áll, amely az első halmaz eleme, hogy ha ilyen, akkor a második halmaz eleme is, akkor nyilván ez igaz Szókratészre is, ha egyszer a második premissza azt állítja, hogy ő az első osztály tagja. Joggal következtethetünk tehát a konklúzióra. Ez azonban az igazoláshoz még kevés. Újabb fogalmakat kell mozgosítanunk.

Változók és kvantorok Nézzük az alábbi mondat logikai szerkezetét: „Tyereskova űrhajós.” Jelöljük a-val azt az individuumot, amelyet a ‘Tyereskova’ tulajdonnév megnevez és F-fel (hagyományosan) a predikátumot, amelyre temészetes nyelven az ‘űrhajós’ szóval utalunk. A szerkezet így: F(a) Ha most azt állítjuk, hogy „Farkas Bertalan űrhajós”, akkor, mivel egy másik individuumról van szó, a mondatot egy másik névparaméter segítségével kell formalizálnunk . F(b)

Változók és kvantorok Az a, b, c stb. kisbetűket névparamétereknek nevezzük. Ilyen paraméterek segítségével egyszerűen felsorolhatjuk az összes individuumot, amely egy tulajdonság, egy predikátum mint osztály alá sorolható. Az űrhajósok osztálya = {a, b, c, d, e …} Mi történik azonban, amikor az osztály összes tagjáról állítunk valamit, például azt, hogy bátor emberek? Soroljuk fel az összeset, egyenként? Egyszerűbb egy műnévmás, egy absztrakt változó bevezetése, amely hagyományosan az x (y, z…).

Változók és kvantorok Így már egyszerűen kifejezhetjük, ha arra gondolunk, egy halmaz minden (bármely tetszőlegesen kiválasztott) elemére igaz egy tulajdonság. Minden x-re igaz, hogy F(x), azaz bármelyik elemre, az extenzió tetszőlegesen kiválasztott elemére. Látható, hogy a mondat alapszerkezete is megpillantható így (predikátum és individuumjelölő jel), így egyszerűen ki tudjuk majd fejezni a kijelentéslogika eszközeivel a mondatok relációit és csak be kell helyettesíteni a szóban forgó individuum nevét a következtetés során. Vissza a példához.

Változók és kvantorok „Minden ember halandó”. Ezt így formalizálhatjuk: Minden x-re igaz, hogy (ha E(x), akkor H(x)) Ebből könnyen lebonthatjuk, hogy ha egyszer minden x-re igaz, akkor igaz Szókratészre is, hogy „Ha Szókratész ember (p = E(a)), akkor Szókratész halandó.(q = H(a))” (ez egy rejtett premissza) És ezek után már nem nehéz belátni (modus ponens alapján), hogy Szókratész ember (E(a)) ______________________ Szókratész halandó (H(a))

Változók és kvantorok Mivel a formalizáláshoz felhasznált logikai elem „minden”-re vonatkozik (amely egy osztály eleme), univerzális állításnak nevezzük az olyan mondatokat, amelyek tartalmazzák. Az angol „All” (minden) kifejezésből jelölése egy feje tetejére állított „A” (tábla) „kvantor” – speciális logikai operátor, változók lekötésére, „mennyiségelő”, hiszen azt mondja meg, mennyit kell vennünk egy osztály elemei közül. Ám csak mindre utalhatunk „meghatározatlanul” (B. Russell)?

Változók és kvantorok Másként, csak annyit tartalmaz-e egy univerzális állítás, hogy egy halmaz mindegyik eleméről állít valamit? Nézzük: Minden x-re igaz, hogy (Tűzoltó(x)) Mi a terjedelme? Ez az egész univerzumra nyilván hamis, de hamis Magyarország lakosságára vagy Budapestre is, egyre szűkítjük, specifikáljuk a kört, mígnem az összes individuum ott lesz a halmazban, akikre igaz az, hogy ők tűzoltók. Ám pusztán ennyit közöl az állítás információként? Vagy megtudunk még valamit? Hát igen: megtudtuk, hogy ebben a halmazban nincs olyan individuum, aki ne lenne tűzoltó.

Változók és kvantorok Márpedig ez egészen más információ, amelyet érdemes egy új kvantor segítségével kifejezni. Ez az állítás „nincs olyan x, hogy …” egy másik kvantor, az ún. egzisztenciális kvantor segítségével fejezhető ki. Az egzisztenciális kvantor formálisan szintén változót lekötő operátor. Egzisztencia, létezés – vagyis az ilyen típusú állítások valamely létezést állítanak vagy tagadnak, még pontosabban, nem egy létezőről állítják, hogy nem létezik (ami ellentmondás lenne), hanem arról informálnak, hogy egy osztálynak van-e eleme vagy nincsen. Jelölése, az angol „Existence” szóból, feje tetejére állított „E” (tábla)

Kvantorok összefüggései Természetes nyelven már ki is fejeztük, hogy függhetnek össze az univerzális és egzisztenciális állítások: (tábla)

Formalizálás univerzális és egzisztenciális kvantorral. Feladat Formalizálás univerzális és egzisztenciális kvantorral. Ruzsa, 92: 1.2.3/5. 21

Venn diagram két predikátumra Univerzális kondicionális és egzisztenciális konjunkció kölcsönös kifejezése és ábrázolása Ismétlés: univerzális formula kifejezése egzisztenciális formulával kondicionális kifejezése negációval és konjunkcióval halmazok uniója, metszete, komplementere, valódi részhalmaz reláció kondicionális kontrapozíciója 22

Venn diagram két predikátumra F G 23

Venn diagram két predikátumra 1.1. Minden x-re (ha F, akkor G) <=> Nincs olyan x (F és nem-G) 24

Venn diagram két predikátumra 1.2. Minden x-re (ha F, akkor nem-G) <=> Nincs olyan x (F és G) 25

Venn diagram két predikátumra 1.3. Minden x-re (ha nem-F, akkor G) <=> Nincs olyan x (nem-F és nem-G) 26

Venn diagram két predikátumra 1.4. Minden x-re (ha nem-F, akkor nem-G) <=> Nincs olyan x (nem-F és G) 27

Venn diagram két predikátumra 2.1. Nem minden x-re (ha F, akkor G) <=> Van olyan x (F és nem-G) 28

Venn diagram két predikátumra 2.2. Nem minden x-re (ha F, akkor nem-G) <=> Van olyan x (F és G) 29

Venn diagram két predikátumra 2.3. Nem minden x-re (ha nem-F, akkor G) <=> Van olyan x (nem-F és nem-G) 30

Venn diagram két predikátumra 2.4. Nem minden x-re (ha nem-F, akkor nem-G) <=> Van olyan x (nem-F és G) 31

Univerzalitás, egzisztencialitás és kijelentéslogika Miért kondicionálissal fejezzük ki az univerzális összefüggést és miért konjunkcióval az egzisztenciálisat? A két vagy több predikátumot tartalmazó univerzális állítás halmazok relációira vonatkozik, sokszor oly módon, hogy a halmazok összes tagjához tapasztalatilag nem férünk hozzá. Jogosan nem használhatjuk tehát a konjunkciót, hiszen annak tapasztalati megállapítása, hogy F(x) és emellett G(x) csakis erre az egyedi esetre állítható. A kondicionális viszont éppen azt fejezi ki, hogy általános összefüggést állapítunk meg: ha F(x), akkor G(x). Természetesen lehetséges, hogy nincs igazunk, de ha az univerális kondicionális igaz, akkor nincs és nem is lehetséges olyan elem, amely F lenne, anélkül, hogy G lenne. Ezért a tagadott egzisztenciális konjunkció az univerzális kondicionális ekvivalense. E kérdés az indukció tudományelméleti problematikájához kapcsolódik. 32

Venn diagram három predikátumra F, G, H 33

A következtetés ellenőrzése Venn-diagrammal Nézzünk egy nehezebb példát, amelyben három predikátum szerepel! (Ruzsa 2001: 119) Minden gitáros tagja a szakkörnek. A szakkörben nincs sakkozó gitáros. Alajos gitáros. ___________________ K: Alajos szakköri tag, de nem sakkozó. (tábla) 34

A kijelentéslogika és predikátumok összefüggései Valamivel bonyolultabb a predikátumok összefüggéseit kifejező állítások ekvivalenciaviszonyainak felderítése, de a kijelentéslogika törvényei mentén ez is könnyen elvégezhető. Minden F, az G. vagyis minden x-re igaz, hogy ha F(x), akkor G(x) az univerzális és egzisztenciális állítások összefüggése miatt egzisztenciális kvantorral kifejezve a mondatot, a kvantort és a hatókörébe eső állítást is tagadnunk kell. (tábla)

A kijelentéslogika és peredikátumok összefüggései A kijelentéslogikai összefüggés miatt a tagadott kondicionálist könnyen kifejezhetjük konjunkció segítségével. Így az összefüggés: minden ami F, az G <=> nincs olyan, hogy F, de nem G. (tábla)

Venn diagrammok Kíséreljük meg ábrázolni is a szóban forgó halmazokat, megjelölve egy halmaz ürességét (nem tartalmaz elemet), vagy azt a tényt, ha tartalmaz legalább egyet! (Tábla)

A következtetés ellenőrzése Venn-diagrammal És most nézzük meg a kiinduló következtetést! Minden ember halandó (minden x-re igaz, hogy ha E, akkor H) ábrázolva (tábla) Szókratész ember. (van olyan x, hogy Ex) ábrázolva tábla s ebből már belátható, hogy Szókratész tényleg halandó (mert csak oly módon lehet E eleme, hogy H elemi is.)

Univerzális és egzisztenciális kvantor Ha Luke padawan, akkor van mestere. padawan(Luke) → van mestere (Luke) Minden x-re [padawan(x) → van mestere(x)] mestere(y)(Luke) van olyan, hogy y [mestere(y)(Luke)] Minden x-re [padawan(x) → van olyan y, hogy(mestere(y)(x)] 39