A betatron Az időben változó mágneses tér zárt elektromos erővonalakat hoz létre. A térben indukált feszültség egy ott levő töltött részecskét (pl. elektront) gyorsítani képes, miközben a rá merőleges mágneses tér körpályára kényszeríti.

Kérdés: lehet-e ugyanazzal a növekvő mágnese térrel, amelynek változása az elektromos teret létrehozza, és így az elektront gyorsítja, az elektront állandó sugarú pályára kényszeríteni, és így igen nagy sebességűre felgyorsítani. A lehetőséget az a meggondolás valószínűsíti, hogy az elektron sebessége egyre nagyobb lesz, de közben egyre növekszik a mágneses tér is.

Ha a sebesség arányosan nő a mágneses térrel, az állandó sugarú pályán való mozgás lehetővé válik. Ha viszont a részecske állandó sugarú pályán mozog, minden egyes körülfutáskor a menetfeszültségnek megfelelő energiára tesz szert. A mágneses tér növekedésének ideje alatt a részecske több milliószor is körüljárhat, miközben energiája ennek megfelelően a menetfeszültség több milliószorosának megfelelő értékig nőhet.

Ezt a gondolatot valósította meg Kerst a betatronban, melyben azonban a mágneses tér nem homogén, csak tengelyszimmetrikus. Tegyük fel, hogy az elektron valóban az ro sugarú körpályán fog mozogni. A továbbiakban megvizsgáljuk, mi ennek a feltétele.

(ha a kezdősebesség v=0m/s és az ro sugarú körrel körülzárt fluxus) A menetfeszültség nagysága az indukciótörvényből: A térerősség: Az impulzus nagyságát csak az elektromos tér változtatja meg: (Az összefüggés relatívisztikusan is igaz.) Integrálással kapjuk, hogy: (ha a kezdősebesség v=0m/s és az ro sugarú körrel körülzárt fluxus)

A mágnese tér radiális eloszlása A v sebességű, ro sugarú pályán levő Bo indukció az elektront sugarú pályára kényszeríti. Az elektron csak akkor képes az ro sugáron maradni, ha r=ro Ha bevezetjük a Bk közepes indukciót a egyenlettel, akkor a feltétel : vagyis: A mágnese tér radiális eloszlása

Ha tehát a pálya mentén mért indukció a közepes indukció fele, a Bo mágneses tér állandó sugarú körpályára kényszeríti az elektront. Ez azt jelenti, hogy B-nek mint r függvényének növekvő r-rel csökkennie kell, ezért a mágnes pólusait az alábbi ábra szerint képezik ki.

Az elektron tehát az ro sugarú pályán kering, miközben mozgásmennyisége a korábbiak szerint levezetett törvény szerint a fluxussal arányosan nő. Mivel a fluxus rendszerint szinuszosan változik, így a gyorsításra közelítőleg T/4 idő áll rendelkezésre . (az ábrán az A-B szakasz).