Fraktálok Szirmay-Kalos László

Fraktálok Hausdorff dimenzió D= (logN) / (log 1/r) N= 1/rD

Koch görbe D= (log4) / (log 3) = 1.26 N = 4, r = 1/3

Nem önhasonló objektumok dimenziója Vonalzó ( l ) db l 1 r =1/3 N = 4 r2 N2 rm Nm Hossz( l ) = l db = l Nm = l (1/r D) m = = l (1/r m) D = 1/ l D -1 D = - log Hossz( l ) / log l + 1

Dimenziómérés = hosszmérés log Hossz( l ) D-1 log l

Fraktálok előállítása Matematikai gépek: Brown mozgás Kaotikus dinamikus rendszerek

Brown mozgás - Wiener féle sztochasztikus folyamat Sztochasztikus folyamat (véletlen függvény) Trajektóriák folytonosak Független növekményű folyamat Növekmények 0 várható értékű normális eloszlás: a független növekményűségből, a szórás az intervallum hosszával arányos

Brown mozgás alkalmazása

Kaotikus dinamikus rendszer: nyulak kis C értékre S n+1= C Sn (1-Sn)

Kaotikus dinamikus rendszer: nyulak közepes C értékre

Kaotikus dinamikus rendszer: nyulak nagy C értékre

Pseudo véletlenszám generátor Iterált függvény: véletlenként hat rn+1= F(rn) F nagy derivált!

Rossz: rn+1= F(rn) 1 1 1 1 1 1 1 (rn,rn+1) pairs 1

Jó F Sűrűn kitölti a négyzetet Mindenütt nagy derivált a [0, 1]-ben van periodicity Aperiodic length

Kongruens generátor F(x) = { g ·x + c } g ·x+c tört része g nagy

Kaotikus rendszerek a síkon F z = x + jy

z  z2 z = r e i r  r 2   2 divergens konvergens 1 Attraktor: H = F(H)

Attraktor előállítása Attraktor a labilis és a stabilis tartomány határa: kitöltött attraktor = amely nem divergens z n+1 = z n2 : ha z <  akkor fekete Attraktorhoz konvergálunk, ha az stabil z n+1 = z n2 attraktora labilis

Inverz iterációs módszer H = F(H)  H = F-1 (H) z n+1 = z n2 z n+1 =  z n r n+1 = r n  n+1 =  n/2 + {0,1}· r n  1  n {0,1}.{0,1}{0,1}... · 1 n n-1 n-2 Nem lehet csak egy értékkel dolgozni ???

Julia halmaz: z  z2 + c

Kitöltött Julia halmaz: algoritmus Im z (X,Y) FilledJuliaDraw ( ) FOR Y = 0 TO Ymax DO FOR X = 0 TO Xmax DO ViewportWindow(X,Y  x, y) z = x + j y FOR i = 0 TO n DO z = z2 + c IF |z| > “infinity” THEN WRITE(X,Y, white) ELSE WRITE(X,Y, black) ENDFOR END Re z

Kitöltött Julia halmaz: kép

Julia halmaz inverz iterációval Im z (X,Y) JuliaDrawInverseIterate ( ) Kezdeti z érték választás FOR i = 0 TO n DO x = Re z, y = Im z IF ClipWindow(x, y) WindowViewport(x, y  X, Y) Pixel(X, Y) = fekete ENDIF z =  z - c if (rand( ) > 0.5) z = -z ENDFOR END Re z Kezdeti z érték: z2 = z - c gyöke

Julia halmaz nem összefüggő, Cantor féle halmaz összefüggő

Julia halmaz összefüggősége H-c c H-c H c z n+1 =  z n-c

Mandelbrot halmaz Azon c komplex számok, amelyekre a z  z2 + c Julia halmaza összefüggő

Mandelbrot halmaz, algoritmus MandelbrotDraw ( ) FOR Y = 0 TO Ymax DO FOR X = 0 TO Xmax DO ViewportWindow(X,Y  x, y) c = x + j y z = 0 FOR i = 0 TO n DO z = z2 + c IF |z| > “infinity” THEN WRITE(X,Y, white) ELSE WRITE(X,Y, black) ENDFOR END

„Színes” Mandelbrot halmaz

Inverz feladat: IFS modellezés x, y H  F Attraktor: H = F(H) F: szabadon vezérelhető, legyen stabil attraktora

F: többértékű lineáris leképzés F = W1  W2  …  Wn W(x,y) = [ax + by + c, dx + ey + f] H = W1(H)  W2 (H)  …  Wn (H) Stabilitás = kontrakció H = F(H)

IFS rajzolás: iterációs algoritmus IFSDraw ( ) Legyen [x,y] = [x,y] A1 + q1 megoldása a kezdő [x,y] FOR i = 0 TO n DO IF ClipWindow(x, y) WindowViewport(x, y  X, Y) Write(X, Y, color); ENDIF Válassz k-t pk valószínűséggel [x,y] = [x,y] Ak + qk ENDFOR END y (X,Y) x Wk

Egyszerű IFS-ek

IFS modellezés

IFS képek