13. A zillmerezés, mint bruttó Banyár József 13. A zillmerezés, mint bruttó díjtartalék-képzési módszer Jelentősége miatt külön fejezetben és részletesen foglalkozunk a zillmerezés matematikai összefüggéseivel. A zillmerezés általános gyakorlatnak tekinthető Magyarországon, így a rendszeres díjas biztosítások tartalékának kiszámításánál nem vonatkoztathatunk el tőle. A zillmerezés kezdetben csak az első éves díjat érintette, ma már elvileg akár az utolsó éveset is. Ezért külön vizsgáljuk a klasszikus („konzervatív”) felfogást és a mai megközelítést. Banyár József: Életbiztosítás 13. Életbiztosítás 13.

Banyár József: Életbiztosítás 13. Zillmerezés - konzervatív felfogásban Jelölések: z: a biztosítási összeg azon hányada, amellyel az első díjból többet használunk fel a folyamatos költségfedezetnél (elsősorban szerzési jutalékra) P1: az első évi nettó díj, vagyis ami az első évi költségfelhasználás után megmarad a bruttó díjból PZ: a többi év nettó díja, ami már tartalmazza a zillmerezés törlesztését is P: az eredeti nettó díj BP: a bruttó díj VP: az eredeti vállalkozói díj FVP: a folyamatos vállalkozói díj p: az 1. éves kockázatok fedezetéhez szükséges nettó díj A zillmerezés, az első éves díj (vagy az első éves díjtartalék) egy részének a kölcsönvételét jelenti a tartam elején, amit aztán a későbbiekben a vállalkozói díjból törlesztnek évi egyenlő részletekben. Emiatt a konzervatív felfogás fontos eleme, hogy a zillmerezés szigorúan csak éves díjfizetésű biztosításokra vonatkozik. A „konzervatív felfogás” a címben azt jelenti, hogy „természetes” felső határt szabnak a díj kölcsönvételének. Eszerint maximálisan csak az első éves (bruttó) díj akkora részét lehet kölcsönvenni, hogy a díj megmaradó része fedezze a folyamatos költségeket[1]és az első éves haláleseti kifizetéseket. Ennek következtében díjfizetés előtt nulla, díjfizetés után pedig már az induláskor és az első biztosítási évfordulón is nullánál nagyobb a díjtartalék, hiszen az első nettó díj egy része, illetve a második (már nagyobb) nettó díj teljes egészében tartalékba kerül, és esetleg még az első díjból is maradt valami a kárkifizetéseken felül a tartalékban. A megszorításra azért van szükség, mert a „modern” gyakorlatban ezt a korlátot nem tartják be, ami elég gyakran eredményezi azt, hogy az első évfordulós díjtartalék is még nulla (vagyis sem az első, sem a második díjból nem töltődik még a tartalék, az adott évi kockázati kifizetéseket fedező részen túl). [1] Folyamatos költségek alatt itt azt értjük, hogy az eredeti vállalkozói díjrészt két részre osztjuk: a zillmerezés törlesztésére és a folyamatos költségeket fedező részre. Banyár József: Életbiztosítás 13. Életbiztosítás 13.

Banyár József: Életbiztosítás 13. BP = P + VP = P1 + z + FVP = PZ + FVP PZ + FVP = P + z/äx:n + FVP igaz, mert: Már a jelölések alapján világosan fel lehet írni az alábbi egyenleteket: (13.1.) Egy további fontos egyenlőséget helyett: Banyár József: Életbiztosítás 13. Életbiztosítás 13.

Banyár József: Életbiztosítás 13.

Banyár József: Életbiztosítás 13. Bizonyítás: és tehát: vagyis: Banyár József: Életbiztosítás 13. Életbiztosítás 13.

A díjtartalék pontosabban: Banyár József A díjtartalék pontosabban: és ha 1  t Banyár József: Életbiztosítás 13. Életbiztosítás 13.

Banyár József: Életbiztosítás 13. mivel Banyár József: Életbiztosítás 13. Életbiztosítás 13.

Banyár József: Életbiztosítás 13. Díjfizetés utáni helyzetben Banyár József: Életbiztosítás 13. Életbiztosítás 13.

Banyár József: Életbiztosítás 13. A „z” megválasztása p: az első éves kockázatok fedezetéhez szükséges nettó díj A z-t bizonyos határok között szabadon lehet választani. Természetesen pozitív, és egy bizonyos nagysága felett P1 nem fogja fedezni az első éves kockázatokat. Ezért, ha az első éves kockázatok fedezetéhez szükséges nettó díjat p-vel jelöljük, akkor teljesülnie kell az alábbi követelménynek: Banyár József: Életbiztosítás 13. Életbiztosítás 13.

Banyár József: Életbiztosítás 13. Ezért: Amiből: Banyár József: Életbiztosítás 13. Életbiztosítás 13.

Banyár József: Életbiztosítás 13. az alábbi értelmet tulajdoníthatjuk az utolsó tört számlálójának: ebből: ezért: Banyár József: Életbiztosítás 13. Életbiztosítás 13.

Banyár József: Életbiztosítás 13. „p” értékei néhány klasszikus biztosításnál Elérési: Kockázati: Banyár József: Életbiztosítás 13. Életbiztosítás 13.

Banyár József: Életbiztosítás 13. Vegyes: ? À terme fix: Banyár József: Életbiztosítás 13. Életbiztosítás 13.

A zillmerezésnél nem képződik negatív díjtartalék! Banyár József Egyszerűbben: ha ha Szokás a fentiekben tárgyalt tartalék-képlet helyett a vele ekvivalens, kicsit egyszerűbben felírható képletet alkalmazni (s mi is ezeket a képleteket írtuk fel a termékek jellemzésekor): , ha (13.18.) , ha (13.19.) Itt hiányzik az első díj megkülönböztetése, és így a képlet akár negatív eredményt is adhat, csak akkor a tartalékot 0-val tesszük egyenlővé. Az egyszerűség mellett, ami e képlet előnye, vannak ennek a felírásnak hátrányai is: A díjfizetés utáni díjtartalék nem olyan magától értetődően határozható meg a díjfizetés előtti tartalékból, mint a „pontos” változatnál. Némelyeket a negatív díjtartalék misztikus jelentésének a kutatására ösztönöz. Mint a fenti gondolatmenetből látható, valójában a zillmerezés esetén nem képződik negatív díjtartalék[1], annak a lehetséges minimális értéke 0, ami az eredeti precíz felírásból látható is. Az egyszerűsített felírási mód miatt tűnik úgy, hogy a zillmerezésnél negatív díjtartalék képződik. [1] Ugyanakkor a negatív díjtartalék – mint láttuk - létező jelenség, csak nem a zillmerezés miatt! Azt is láttuk, hogy a negatív díjtartalék nagy általánosságban szakmai hibának tekinthető. A zillmerezésnél nem képződik negatív díjtartalék! Banyár József: Életbiztosítás 13. Életbiztosítás 13.

Banyár József A „negatív díjtartalék” ugyan félreértés, de mértékének lehet értelmet adni: A „negatív díjtartalék” ugyan félreértés, de mértékének lehet értelmet adni az alábbiak szerint. Számítsuk ki az alábbi képlet értékét! (13.20.) Ez nem más, mint az az összeg (illetve mínusz egyszerese), amit az első díjból a biztosító kölcsönvesz, és amit végül is már a tartam elején, az első díj vállalkozói díjrészéből törleszteni kezd. Érthető is, hiszen ez másképp azt jelenti, hogy: (13.21.) amit már levezetünk. S tudjuk, hogy a díjfizetés utáni induló tartalék-érték azért kisebb a zillmerezett nettó díjnál, mert az első díj egy részét kivesszük a tartalékból ( azaz az első díjból). … az az összeg, amit az első díjból a biztosító kölcsönvesz Banyár József: Életbiztosítás 13. Életbiztosítás 13.

Banyár József: Életbiztosítás 13. Általánosítva: Ha valamely t-re Már a továbbiakra tekintve a fenti összefüggést általánosíthatjuk. Ha valamely t-re a , (13.22.) akkor ez azt jelenti, hogy z értékét olyan magasan állapították meg, hogy az első évi zillmer-díj nem elegendő rá, és további évek zillmer-díjaiból is kell levonni részleteket. Azt, hogy t év elteltével (tehát a (t+1).-edik díjból) még mennyit kellene levonni, azt a díjfizetés előtti díjtartalék 13.22. képlete mutatja. (Természetesen lehet, hogy a (t+1).-edik díj sem elegendő erre, és akkor még egy részletet a (t+2).-edik, stb. díjból is le kell vonni.) … akkor ez azt jelenti, hogy z értékét olyan magasan állapították meg, hogy az első évi zillmer-díj nem elegendő rá Banyár József: Életbiztosítás 13. Életbiztosítás 13.

Banyár József: Életbiztosítás 13. Zillmerezés ma Banyár József: Életbiztosítás 13. Életbiztosítás 13.

A zillmerezés értelmezése Banyár József A zillmerezés értelmezése Mi történik, ha a z-t úgy állapították meg, hogy „nem fér bele” a bruttó díjba? … ilyenkor a biztosítónak kell valahonnét a hiányzó részt kipótolni Mi történik a szerződés törlésekor 0 díjtartalékos fázisban? Mi történik, ha a biztosító a z megállapításánál nem vette figyelembe azt a korlátot, hogy a z-nek „bele kell férnie” a bruttó díjba, vagyis z-t és a loadingot egymástól függetlenül állapította meg? Ekkor természetesen a z esedékes részletét úgy vonják le a bruttó díjból, mintha az arra elég lenne, pedig valójában a biztosítónak kell valahonnét a hiányzó részt kipótolni. (Erre időnként gyakorlati példa is van biztosítóknál! Jogszabály nem tiltja ezt a gyakorlatot.) Nem biztos, hogy bármi probléma adódik a korlát átlépéséből, mert nem biztos, hogy a biztosító tényleges költségfelhasználása és a z megállapítása szinkronban van. Lehetséges, hogy a biztosító magasabban állapítja meg a z-t, mint amennyi a költségek fedezetéhez szükséges. De ennek vizsgálata már külön tanulmányt érdemel! Mi történik a szerződés törlésekor 0 díjtartalékos fázisban? Különösen érdekes ez az évesnél gyakoribb díjfizetés esetén. A törlés lehetőségéből látszik, hogy milyen nagy jelentősége is volt a klasszikus megközelítésben annak, hogy alapvetően éves díjban gondolkodtak. Ekkor ugyanis a z mögött álló költségek finanszírozása alapvetően a befolyt díjakból történt, tehát a biztosítónak ténylegesen növelte a forrásait a zillmerezés. Manapság, mikor általános a nem éves díjfizetés és a z „természetes határának” a túllépése, a zillmerezés szinte több problémát okoz, mint amennyit megold. A nem éves díjfizetés esetén a zillmerezés ugyanis nem menti meg a biztosítót attól, hogy a saját tőkéjéből finanszírozza – legalábbis egy ideig – a szerzési jutalékot. Ez a probléma csak fokozódik, ha annak mértéke átlépi azt a mértéket, amit az első éves zillmer-díj még fedezni tud. Ilyenkor törlés esetén a biztosítónak nem csak a fegyelmezés miatt kell visszaírnia a jutalékot az ügynöktől, hanem mert az alapvetően a megelőlegezett saját pénze volt. Vagyis a biztosító ilyenkor – a klasszikus esettel ellentétben – olyan z-t használt fel, amely be sem érkezett. A zillmerezés így olyan esetekben, amikor a díjfizetés nem éves, nem tölti be a klasszikus funkcióját. Ekkor az eredeti zillmeri elképzelésekből csak annyi marad érvényes, hogy a zillmerezés némileg javítja a biztosító cash-flow-ját, hiszen az első díjak nagyobb részét fordíthatja a költségek fedezetére. Azonban ilyen esetekben a zillmerezésen kívül még más módszereket is kell alkalmazni a biztosító finanszírozásának megoldásához. Ez fokozottan igaz, ha ráadásul a z átlépi a klasszikus mértéket. Ekkor látszik, hogy milyen nagy jelentősége van az éves díjnak – ez tényleges finanszírozást jelent! Nem éves díjfizetésnél szinte több problémát okoz a zillmerezés, mint amit megold! Banyár József: Életbiztosítás 13. Életbiztosítás 13.

A zillmerezett „negatív díjtartalék” lehetséges számviteli kezelése Banyár József A zillmerezett „negatív díjtartalék” lehetséges számviteli kezelése Ilyen nincs, de adhatunk neki értelmet! A biztosító az első éves díjat 3 részre osztja: Az első évi kockázatra szükséges rész (illetve esetleg ennél valamivel több) kerül a díjtartalékba Végül foglalkozzunk egy keveset a zillmerezett „negatív díjtartalék” lehetséges számviteli kezelésével! Hangoztatva természetesen, hogy a zillmerezés révén „negatív díjtartalék” nem keletkezik, a zillmerezés egyszerűsített képlete révén kiszámított negatív értéknek adhatunk számviteli értelmet – annál is inkább, hogy már tudjuk ennek a jelentését. A zillmerezés indoklása: a biztosítással kapcsolatos kezdeti (főleg szerzési) költségek már a tartam elején felmerülnek, és erre fedezetet az első (illetve első k+1) díjból lecsípett „z” rész adja. Tehát a biztosító megköti a szerződést, bejön az első éves díj, azt 3 részre osztja: Az első évi kockázatra szükséges rész (illetve esetleg ennél valamivel több) kerül a díjtartalékba A biztosítási összeg z-ed része jut a kezdeti költségek fedezetére A folyamatos vállalkozói díj a folyamatos költségeket fedezi. A biztosítási összeg z-ed része jut a kezdeti költségek fedezetére A folyamatos vállalkozói díj a folyamatos költségeket fedezi. Banyár József: Életbiztosítás 13. Életbiztosítás 13.

A díjfizetés valóban éves volt Banyár József Ha az ügyfél az első év folyamán megszünteti a szerződést, akkor a biztosító visszaadhatja a tartalékban aktuálisan bennlévő összeget, és mégis a „pénzénél” lesz, feltéve ha: A díjfizetés valóban éves volt A z-t konzervatív módon állapították meg Ha az ügyfél az első év folyamán megszünteti a szerződést, akkor a biztosító visszaadhatja a tartalékban aktuálisan bennlévő összeget, és mégis a „pénzénél” lesz, feltéve ha: A díjfizetés valóban éves volt A z-t konzervatív módon állapították meg A kezdeti költségek nem haladták meg a biztosítási összeg z-ed részét. Ha a kezdeti költségek meghaladták a biztosítási összeg z-ed részét, akkor a biztosító magára vessen, ha pedig belül maradtak, akkor örüljön. A biztosító mindenesetre feltételezheti, hogy a biztosítási összeg z-ed része leírja a kezdeti költségeket, még ha tudja is, hogy ez csak hozzávetőlegesen igaz. A kezdeti költségek nem haladták meg a biztosítási összeg z-ed részét. Banyár József: Életbiztosítás 13. Életbiztosítás 13.

zillmerezés meghaladja a konzervatív mértéket, Banyár József Ha a díjfizetés nem éves volt és/vagy a zillmerezés meghaladja a konzervatív mértéket, akkor a biztosítás első k éven belüli megszűnése azt eredményezheti, hogy a biztosítási díjakból még nem folyt be a kezdeti költségek fedezete – zillmerezés ide vagy oda Ekkor a taktika: Ha viszont a díjfizetés nem éves volt és/vagy a zillmerezés meghaladja a konzervatív mértéket, akkor a biztosítás első k éven belüli megszűnése azt eredményezheti, hogy a biztosítási díjakból még nem folyt be a kezdeti költségek fedezete – zillmerezés ide vagy oda! Ez a jelenség bizonyos értelemben ellentétes a zillmerezés elvével, ebből is látszik, hogy azt éves díjfizetésre (és k=1-re) találták ki. Ilyen esetben lehetséges alkalmazni a következő taktikát (amit végül is a biztosító akkor is alkalmaz, ha nem zillmerez): feltételezzük, hogy a kezdeti költség megegyezik a zillmerezés révén a tartam elején kiszámítható „negatív díjtartalékkal” ezt az összeget a biztosító a szerzésre kiadta, de a díjakból (nem éves díjfizetés miatt) még nem folyt be hozzá feltételezzük, hogy a kezdeti költség megegyezik a zillmerezés révén a tartam elején kiszámítható „negatív díjtartalékkal” ezt az összeget a biztosító a szerzésre kiadta, de a díjakból (nem éves díjfizetés miatt) még nem folyt be hozzá Banyár József: Életbiztosítás 13. Életbiztosítás 13.

Banyár József: Életbiztosítás 13. feltételezi, hogy akkor tekinthető befolytnak a kezdeti költségekre kiadott összeg, ha a zillmerezett díjtartalék már "magától” pozitív lesz addig, és olyan mértékig, ameddig még ez a díjtartalék negatív, a negatív részt eredmény-semlegesítő tényezőként (aktív időbeli elhatárolásként) veszi számba, hiszen ez olyan kiadás, ami rövidesen megtérül ha mégsem térült volna meg (még „negatív szakaszban” megszűnt egy szerződés), akkor a megszűnt szerződés negatív díjtartalékára feloldják az aktív időbeli elhatárolást (tehát veszteségként írják le) feltételezi, hogy akkor tekinthető befolytnak a kezdeti költségekre kiadott összeg, ha a zillmerezett díjtartalék már "magától” pozitív lesz addig, és olyan mértékig, ameddig még ez a díjtartalék negatív, a negatív részt eredmény-semlegesítő tényezőként (aktív időbeli elhatárolásként) veszi számba, hiszen ez olyan kiadás, ami rövidesen megtérül ha mégsem térült volna meg (még „negatív szakaszban” megszűnt egy szerződés), akkor a megszűnt szerződés negatív díjtartalékára feloldják az aktív időbeli elhatárolást (tehát veszteségként írják le) a veszteséget csökkenteni lehet az ügynöktől eredményesen visszaírt szerzési jutalékkal. A fenti esetben a kulcs az volt, hogy azonosítottuk (az egyszerűség kedvéért) a kezdeti költségeket a negatív díjtartalékkal, és azok megtérülését a díjtartalék negativitásának megszűnésével. Ha nem zillmereztünk volna, akkor a kezdeti költségek a vállalkozói díjrészből sokkal kisebb részletekben és hosszabb ideig térültek volna meg. Ebben az esetben az elhatárolást sokkal hosszabb ideig kell fenntartani (ha engedi a számviteli szabályozás). Fontos megjegyezni, hogy a fenti eljárás abban az esetben jogos, ha az alkalmazott díjtartalék képletünk érzékeny a ténylegesen bejövő nettó díjakra (s nem nagyon általános lineáris közelítést alkalmaznak év közben, mondjuk éves díjfizetés esetén is). a veszteséget csökkenteni lehet az ügynöktől eredményesen visszaírt szerzési jutalékkal. Banyár József: Életbiztosítás 13. Életbiztosítás 13.

Tételek PZ, Px+1:n-1, P1, és z értékei Banyár József Tételek PZ, Px+1:n-1, P1, és z értékei közötti kapcsolatra 1. Tétel: Ha P1=p, akkor PZ = Px+1:n-1 . 2. Tétel: Ha PZ = Px+1:n-1 , akkor P1 = p. 3. Tétel: Ha , akkor p = P1 , akkor 4. Tétel: Ha Banyár József: Életbiztosítás 13. Életbiztosítás 13.

. Bizonyítások. (Zillmerezés konzervatív felfogásban) Banyár József Bizonyítások. (Zillmerezés konzervatív felfogásban) PZ, Px+1:n-1 , P1, p, z és az első évfordulós díjtartalék viszonya 1. Tétel: Ha P1=p, akkor PZ = Px+1:n-1 . . Bizonyítás: A fentiek alapján egyszerűen belátható Mivel p-re igaz, hogy: z-re igaz, hogy: amiből: Banyár József: Életbiztosítás 13. Életbiztosítás 13.

Banyár József: Életbiztosítás 13. PZ-re fennáll, hogy: felhasználva -t P helyébe A/ä -t, P1 helyébe a P1 = p feltevés alapján (13.81.)-t, a nevező helyébe pedig (13.84.)-et helyettesítve: Banyár József: Életbiztosítás 13. Életbiztosítás 13.

Banyár József: Életbiztosítás 13. Q.E.D. Ami lényeges: z-re nem csak az eredeti nettó díj első évi kockázata feletti részt, hanem ennél többet lehet felhasználni Banyár József: Életbiztosítás 13. Életbiztosítás 13.

Banyár József: Életbiztosítás 13. Igaz az 1. Tétel fordítottja is: 2. Tétel: Ha PZ = Px+1:n-1 , akkor P1 = p Bizonyítás: Mivel tudjuk, hogy és P1 = PZ – z , ezért azt kell bizonyítani, hogy: Banyár József: Életbiztosítás 13. Életbiztosítás 13.

Banyár József: Életbiztosítás 13. Ha Akkor: ezt visszahelyettesítve: teljesül, amit bizonyítani kellett. Q.E.D. Tehát az 1. és a 2. Tétel együtt azt mondja ki, hogy, ha PZ = Px+1:n-1 , akkor P1 = p és fordítva. Banyár József: Életbiztosítás 13. Életbiztosítás 13.

Banyár József: Életbiztosítás 13. 3. Tétel: Ha , akkor p = P1 Bizonyítás: Tudjuk, hogy és Ha , akkor Banyár József: Életbiztosítás 13. Életbiztosítás 13.

Banyár József: Életbiztosítás 13. Ezt behelyettesítve: Tehát igaz az állítás. Q.E.D. Banyár József: Életbiztosítás 13. Életbiztosítás 13.

Banyár József: Életbiztosítás 13. 4. Tétel: Ha , akkor Bizonyítás: Tudjuk, hogy A 3. Tétel alapján, ha , akkor p = P1, tehát ekkor: , vagyis: Banyár József: Életbiztosítás 13. Életbiztosítás 13.

Banyár József: Életbiztosítás 13. Q.E.D. Banyár József: Életbiztosítás 13. Életbiztosítás 13.