A differenciálszámtás alapjai Készítette : Scharle Miklósné

Függvényelemzési szempontok értelmezési tartomány értékkészlet zérushelyek korlátosság monoton növekedés és fogyás szélsőértékek paritás folytonosság konvexitás és konkávitás (ez új lesz)

Függvényvizsgálat érintővel A függvények vizsgálatát megtanuljuk a görbéhez húzott érintő segítségével elvégezni. Az érintővel letapogatjuk a görbét. Az érintő meredeksége sok információt hordoz a fv. menetéről.

Nem. Lehet több közös pontja is. Mi az érintő? Olyan egyenes, aminek 1 közös pontja van a görbével? Nem. Lehet több közös pontja is.

Lehet több közös pontja is. Az érintő olyan egyenes, amihez a görbe hozzásimul.

hozzásimul hozzásimul

H o z z á s i m u l

Mi az érintő? y Az érintő a szelő határhelyzete x

Induljunk ki a szelőből! y y A fv.-görbe szelőjének meredeksége: y-y y x-x x x x

h á n y a d o s á n a k nevezzük. A fv.-görbe szelőjének meredekségét megadó törtet, a fv. d i f f e r e n c i a – h á n y a d o s á n a k nevezzük. y y y-y y x-x x x x

Mi az érintő? Az érintő a szelő határhelyzete. A szelő meredeksége: y-y y x-x Az érintő meredeksége ennek a határértéke. x x x

Milyen meredek az érintő? Az érintő meredeksége: tg y y-y y x-x x x

A differenciálhányados tg A fv.-görbe érintőjének meredekségét megadó értéket a függvény d i f f e r e n c i á l- h á n y a d o s á n a k nevezzük. y y-y y x-x x x

Az érintő meredeksége: tg A f(x) fv.-görbéjének minden pontjában az érintő meredekségét megadó fv.-t az eredeti függvény d e r i v á l t j á n a k nevezzük. Jele: f(x) y y x x

Definíciók Legyen az függvény az hely valamely környezetében értelmezve, és olyan tetszőleges eleme ennek a környezetnek, amelyre . Ekkor az függvényt az függvény helyhez tartozó differenciahányados függvényének nevezzük. Ha létezik az így definiált differenciahányados függvénynek az helyen határértéke, és az véges, akkor azt mondjuk, hogy a függvény az helyen differenciálható.

A értéket az fv. helyhez tartozó differenciálhányadosának nevezzük. Azt a függvényt, amely az fv. értelmezési tartományának minden helyéhez az ottani differenciálhányados értékét rendeli, az eredeti függvény derivált függvényének nevezzük, és -szel jelöljük.

Differenciálási szabályok

Mire jó mindez? Térjünk vissza a függvényvizsgálathoz! Az érintő meredekségével, vagyis a derivált értékének a meghatározásával fogjuk a függvények menetét megismerni. Az érintő, miközben letapogatja a görbét, meredekségével sok információt tud közölni a függvényről.

Monoton növekedés és fogyás Egy függvény szigorúan monoton növekvő, ha a fv.-görbe érintőjének meredeksége - tehát a derivált - p o z i t í v . x

Monoton növekedés és fogyás Egy függvény szigorúan monoton fogyó, ha a fv.-görbe érintőjének meredeksége - tehát a derivált - n e g a t í v. x

Konvex és konkáv görbék Egy görbét konvexnek nevezünk, ha bármely ívének minden pontja az ív végpontjait összekötõ húr alatt, vagy magán a húron van. Ilyenkor az érintő meredeksége nő. x

Konvex és konkáv görbék Egy görbét konkávnak nevezünk, ha bármely ívének minden pontja az ív végpontjait összekötõ húr felett, vagy magán a húron van. Ilyenkor az érintő meredeksége csökken. x

Szélsõértékek Az alábbi ábrán látható függvénynek van egy jól látható maximuma és egy minimuma. Pontosan hol? Erre a kérdésre a differenciálszámítás segítségével válaszolhatunk. 3 5 f(x)= - 0.3x+ 0.1x

Az alábbi ábrán a -0.3x3 + 0.1x5 függvényt láthatjuk.

Az inflexiós pont a görbe olyan P pontja, ahol a görbe konkávból konvexre változik (vagy fordítva). P x Lokális maximuma van a fv.-nek az a helyen, ha megadható az a-nak olyan környezete, amelybe eső x értékekre (ahol a fv. értelmezve van) igaz, hogy f(x) ≤ f(a). y a x

Az inflexiós pont a görbe olyan P pontja, ahol a görbe konvexből konkávra változik (vagy fordítva). P x Lokális minimuma van a fv.-nek az a helyen, ha megadható az a-nak olyan környezete, amelybe eső x értékekre (ahol a fv. értelmezve van) igaz, hogy f(x) ≥ f(a). y a x

Függvény maximuma A maximum elõtt a függvény növekszik, tehát az érintő meredeksége ( vagyis a deriváltja) pozitív, utána pedig csökken. tehát a deriváltja negatív. y Ha elõtte pozitív, utána negatív, akkor pont a maximumban 0. a x

Függvény minimuma A minimum esetében ugyanez a helyzet, csak elõtte negatív az érintő meredeksége ( vagyis a derivált ) utána pozitív. y Tehát ott van differenciálható függvényeknél a szélsõ-érték, ahol a derivált 0. a x

Ilyenkor a derivált az „a” hely környezetében nem vált előjelet. a x Lehet a fv. érintőjének meredeksége (deriváltja) 0 az inflexiós pontokban is. Ilyenkor a derivált az „a” hely környezetében nem vált előjelet.

Ilyenkor a derivált az „a” hely környezetében nem vált előjelet. a x Lehet a fv. érintőjének meredeksége (deriváltja) 0 az inflexiós pontokban is. Ilyenkor a derivált az „a” hely környezetében nem vált előjelet.

Keress az alábbi görbéken minimumokat és maximumokat! Hol fogyók az „y” értékek és hol növekvők? y x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15