Makai M.: Transzport71 A hidrodinamikai egyenletek korrekciója Statisztikus dinamika A tér diszkretizált  a fázistér: a fázistér egy pontja: statisztikus elmélet, ezért a rendszer nem egy  pont, hanem egy p valószínűség, p(  ) megadja az  állapot valószínűségét gyors folyamat: dinamika (ütközések, nemlineáris) lassú folyamat (véletlen folyamat T): megmaradás: n, E, I (impulzus)  cm  x értékkészlete:

Makai M.: Transzport72 A modell állapottere a p valószínűségeknek egy  halmaza  -n. Ha a rendszer állapota p, akkor a makrováltozók az alábbi lassú változók középértékei: energia részecskeszám impulzus

Makai M.: Transzport73 A model információs sokasága  -nak az alábbi M részhalmaza: Amennyiben az {E x }, {N x }, {I x } középértékek halmaza adott, M-ben csak egy állapot van, amely visszaadja ezeket a közép- értékeket. Ezért a középértékeket koordinátaként lehet használ- ni az M halmaz pontjainak leírására. A középértékeket  x -el jelöljük és keverék koordinátáknak nevezzük. M egy pontjának megadásához ismerni kell a {  x,  x,  x }halmazokat is. Ezeket az M halmaz kanonikus koordinátáinak nevezzük. A fenti valószínűségeket a maximális információtartalomból hatá- rozzuk meg, ezért az ütközéseket leíró Q mátrix nem csökkentheti az entrópiát.

Makai M.: Transzport74 A sebességmező I x -hez kapcsolódik: A kanonikus koordinátákkal a sebesség kifejezhető: Ez az alábbi módon látható be (1D eset). Mivel és

Makai M.: Transzport75 Elvégezve a deriválást: Kémiai potenciálsebességmező hőmérséklet Az energia várhatóértéke: Ebben nincsen  kis mennyiség  és  nagy 

Makai M.: Transzport76 Entrópia és nyomás egyensúlyban Termosztatika szerint nyomás ebből Ez a nyomás nem hidrodinamikai nyomás, termodinamikai nyomás. 3D-ben

Makai M.: Transzport77 Ez már egy állapotegyenlet, amit a mikroszkopikus modellből származtattunk. Ha V 0 kicsi, akkor ez a van der Waals egyen- let:

Makai M.: Transzport78 Dinamika, a T mátrix A Boltzmann-egyenletben az ütközéseket a nemlineáris tag tartal- mazza. A statisztikus dinamika lineáris elmélet. Ezt úgy éri el, hogy a dinamika lineáris részét egy T lineáris mátrixszal helyettesíti: T-től megköveteljük, hogy őrizze meg a megfigyelhető makrosz- kopikus mennyiségeket (energia, részecskeszám, impulzus). T nem csökkentheti az entrópiát. Egy ilyen leképezés kizárólag permutációkból állhat, az  E,N,I állapotokat permutálhatja. Fizikai megfontolások alapján T legyen lokális, csak a közvetlen szomszédok között teremtsen kapcsolatot. Az energiaátadásnak két pont között összhangban kell lennie a sebességekkel.

Makai M.: Transzport79  esetén a sebesség k x /m, ennek kellene dt idő alatt egy másik rácspontba mutatnia. Ráadásul, azt szeretnénk, ha az ugrás minden sebesség esetén csak a szomszédos rácspontra történne. Ennek érdekében a determinisztikus mozgás helyett véletlenszerű mozgást veszünk figyelembe. Legyen x-ben egy részecske és legyen a szomszédja üres. Az átugrás gyakorisága Az ugrás után x üres lesz, a szomszédja nem (irány!!!). A részecske, az energia és az impulzus átkerült a szomszédos rácspontba. A helyben maradás valószínűsége: Külső erőtérben a részecske elveszíti kinetikus energiájának a po- tenciálkülönbségnek megfelelő részét, és átugrik az új helyre. Le- gyen Érkezéskor az impulzus legyen k x ’

Makai M.: Transzport710 Az ugrás gyakoriságát a kezdeti és végső impulzusok átlagából határozzuk meg: Ezzel biztosítottuk, hogy megmarad az össztömeg és az összenergia, a momentumtranszfer pedig teljesíti az alábbi összefüggést: Akkor is csak a szomszéd üres helyre ugrik, ha az energiája meg- engedné a nagyobb ugrást. A nagy impulzus tehát csak az ugrás gyakoriságában jelent különbséget. A dinamika az  ’ átme- neteket jelöli ki, ezért levágási frekvenciát szabunk meg. Jelölje a vizsgált átmeneteket a T x mátrix. Ilyen átmenet lehetséges min- den x helyre, legyen ezek összege T. A második főtétel teljesülé-

Makai M.: Transzport711 sét két módon lehet ellenőrizni. Ha T előállítható permutációs mát- rixok összegeként, vagy ha az entrópia nő a makroszkópikus válto- zókból számítva--ez a biztosíték. A hidrodinamikai egyenletek levezetése Legyen  =0. Legyen N,E és P a véletlen részecskeszám, energia és impulzus eloszlása a rácson. Általában jelölje X ezek egyikét. X vár- ható értéke a T operátor (azaz, dt idő alatt végbemenő folyamatok) hatására két változáson mehet át: 1, növekedés vagy csökkenés x+ℓ pozicóval kcsh-ban 2, növekedés vagy csökkenés x-ℓ pozicóval kcsh-ban. Az első tagnak megfelelő változás X x -ben J x /ℓ:

Makai M.: Transzport712 A második tag hasonló módon írható fel J x+ℓ -re. A két tag együttes hatását Írja le, ami egy FD séma. Ebből látható, hogy az egyenletekben X megmaradó mennyiség. A hidrodinamikai határátmenet ℓ  0, de ℓc véges, ahol c egy nagy szám: Itt  0 egy referenciahőmérséklethez tartozó energia, c pedig a hang- sebesség. A zöld egyenlet az X véletlen mennyiség változásait adja meg, a valószínűségek (p x (k)) segítségével, az x helyen, dt idő alatt. A hidrodinamikai egyenletekben makroszkopikus átlagokra kere- sünk egyenleteket. A sűrűséget így érjük: Várható érték

Makai M.: Transzport713 A következő lépés tehát a véletlen változók átlagainak kiszámítása. Az átlagolás  -ra vonatkozik, ebben a hely és az impulzus is sze- repel. Bayes tétele alapján a hely “kizárható”, ha  x = , akkor x-ben nincs részecske, ezért Ennek alapján értékeljük ki újra  X x –et (11. zöld). 1, A feltételes valószínűség a 3. lapon a piros képletből meghatároz- ható:

Makai M.: Transzport714 Az összeget integrállal helyettesítjük, a differenciát derivá- lással. Az első tagban található X és I korrelációja. Bármely X változó átlagának kiszámításakor felhasználható: A 10. alján szereplő képlet várható értékét képezzük: Amennyiben több dimenzió van, a differenciákat minden irányra összegezni kell.

Makai M.: Transzport715 Végül az X x várhatóértékre vonatkozó időbeli változást leíró egyenlet: Ha ezt összevetjük a Boltzmann-egyenletből kapott hidrodinamika egyenlettel, a különbség a jobboldali tagban van. Ebből az egyen- letből megkapjuk a korrigált hidrodinamikai egyenleteket. 1, Sűrűség X x =N x. A jobboldali tag ℓ nagyságrendű, ezért elhagyható. Továbbá, mivel N=1 az  x -  halmazon, nincs a korrelációs tag:

Makai M.: Transzport716 A valószínűségek a 12. oldalon találhatóak, kiértékelendő az alábbi integrál: Az irányokra történő szimmetrizálás után  2 rendig:

Makai M.: Transzport717 A sűrűség (1D): Nem részletezett számítások után az alábbi egyenletet kapjuk: Bevezetjük a diffúziós állandót:

Makai M.: Transzport718 Az ℓ c rendű tagokat megtartva a tömegáramra ezt kapjuk: A kontinuitás egyenlethez kezdeti- és peremértéket kell csatolni. Szokás az u=0 peremérték előírása, az adhézió miatt egy határréteg alakul ki (v.ö. Aszimptotikus analízis makroegyenletével). 2, Energia Most X x =E x. A 14. lap piros egyenlete most ahol

Makai M.: Transzport719 Az első tagból adódó járulékok: Az első kifejezés: energiatranszport konvekció révén. A második az ideális gáz közelítése a nyomásnak. Az integrál kiértékelése: Ez a belső energia konvekciója a részecskék diffúziója révén. Az ℓ ,  határátmenettel Az energiakonvekció és a nyomás Az integrál

Makai M.: Transzport720 3, Impulzus A 14. Oldal piros egyenletében a jobboldal elhagyható, ezért az egyenlet: X x =I, az impulzus egyik komponense a 13 oldal piros egyenletében, ebből számítjuk J i -t. Az első tag: Energia transzport konvekció révén Ideális gáz nyomása

Makai M.: Transzport721 A két tag együtt az entalpia transzportja. Következik a 19 oldalon lévő integrál kiértékelése. Ezekből a következő járulék adódik:

Makai M.: Transzport722  momentumok A 14. Oldal piros egyenletében X x =I x, az impulzus áramot a 13 oldal piros képletéből számítjuk. Az első tag a konvekció. Legyen V i =I i /m: Az integrálból kapjuk a diffúziós tagokat. Meg kell különböztetni az i=j és i  j tagokat: a, i  j, ekkor a jobboldal elhagyható mert rendje ℓ és nincs megszo- rozva c-vel. A baloldalon megmaradó integrál: Ez két tagra esik

Makai M.: Transzport723 Az i=j esetben nem részletezett számítások után az eredmény: Ezzel a makrováltozókra vonatkozó egyenleteket meghatároztuk, most még minden szétszórva van. Ahhoz, hogy össze tudjuk ha- sonlítani a kapott eredményeket a Hilbert modell első tagjaival, rendet kell rakni. Ez nem könnyű, a képletekben található integ- rálokat csak bizonyos közelítésben lehet meghatározni, akkor is csak hosszadalmasan. A szerző szerint az alábbi koherens egyen- leteket lehet levezetni:

Makai M.: Transzport724 Ezeket az egyenleteket kell tehát összevetni a Hilbert-elméletből kapott egyenletekkel.