Hőeloszlás háromszögelt síkrészeken Május, 2002 Bálint Miklós Vilmos Zsombori

Áttekintés a témakör meghatározása síkbeli NURBS görbék véges elem módszer Delaunay háromszögelés következtetések

Fizikai szimulációk Test Forma Anyag és más jellemzők Jelenség Átmeneti Egyensúly Model Megoldás Analítikus Numerikus CAD rendszer Felosztás Anyag def. FEMBEMFDM Vizualizáció Eredmény

FEM – egyenlet, módszer egyenlet: módszer: véges elemek (FEM) átalakítjuk integrálegyenletté alkalmazzuk a Green formulát - > redukálja a deriváltak rendjét diszkretizáljuk a teret - > háromszögelés, bázisfüggvények számolása integrálunk a háromszögeken - > számoljuk a merev mátrixokat (element stiffness matrices) összerakjuk a rendszert alkalmazzuk a határfeltételeket

FEM – a mi esetünk °integrálegyenlet: °Green formula után: °a tartományt felosztjuk háromszögekre:

FEM – elemek °háromszög - koordináta rendszer, bázisfüggvények °integrálás, merev mátrix

FEM – összerakás, határfeltétel °összerakás - > ritka mátrix °határfeltételek - > redukálódik az egyenletrendszer rendje °megoldás: direkt - „pontos”, „lassú” iteratív – „közelítő”, „gyorsabb”

FEM – eredmény °és végül az eredmény: K x =10E-10; K y =10E+10 K x =10E+10; K y =10E-10

NURBok – görbék °síktartományok - > görbék határolják °görbék - > függvények: explicit implicit parametrikus °cél: egy olyan görbe, amely „mímel” minden formát, flexibilis kezelhetőséget nyújt, lehet kontrolálni a folytonosságát ill. görbületét, formája nem változik meg, ha elemi grafikai műveleteknek tesszük ki, „gyorsan” evaluálódik.

NURBok – jellemzők °NURB görbék: (non uniform rational B-splines) °meghatározzák: az alakját – kontrol pontok (b i ) a folytonosságát – knot-ok (x i ) a görbületét – egy pozitív egész szám - > a görbe rendje (k) °tulajdonságok: polinomiális – bármely pontot a görbéről k darab k-1-ed fokú polinom kiértékelésével kapunk rational vagyis racionális – minden kontrol ponthoz hozzá van rendelve egy súly, amely szerint e pont befolyásolja a görbének a rá eső részét a kontrol pontok befolyása a görbére lokális non uniform vagyis nem egyenletes – ez a knot vektorra vonatkozik; így a görbét át tudjuk vezetni bizonyos pontokon, ill. a görbén „sarkakat” létrehozni

NURBok – bázisfüggvények °bázisfüggvények: °kiértékelés: ; egyenlet: °kontrolpontok lokalitása:

NURBok – egyenletes nem-egyenletes °egyenletes kvadrikus bázisfüggvények: °nem-egyenletes kvadrikus bázisfüggvények:

Felosztás °Háromszögelés °Feltételek Alak - minimál szög minél nagyobb: konvergencia Nagyság: egyenesen befolyásolja a hibát Számosság: megoldás sebessége °Cél Jó alakú háromszögek Kontrolálható számosság Kontrolálható eloszlás

Felosztás °Delaunay háromszögelés bemenet: ponthamaz minden háromszög köré írt kör “üres” legnagyobb minimál szög °algoritmus alaplművelet: flip inkremetális

Felosztás °kötött Delaunay háromszögelés bemenet: egyenes élű sík gráf (PSLG) módositott “üres” kör bemenet élek részei a háromszögelésnek °algoritmus Divide-et-impera minden élnek megfelel egy jól meghatározott Delaunay csúcs csak a tartomány belsejét dolgozzuk fel

Felosztás °Általános Delaunay finomítás Steiner pontok birtokolt bemenet él - > élosztás kisszögű háromszög - > háromszögosztás minimál szög garantált (felhasználó) °Sajátos igények Bizonyos területen kisebb háromszögek határon: tompaszög belsőben: közeli pontok

Következtetések °Közelítési hibák térbeli diszkretizálás: háromszögelés lineáris interpoláció °Továbbfejlesztések pontosság - > kvadrikus/kubikus elem bázisokkal (6x6/10x10 merev mátrixok, Gauss kvadratúrák) - > csökken a sebesség időfüggő egyenlet u.a. a mesh generátor, solver + időbeli diszkretizáció (FDM) más egyenlet u.a. a mesh generátor, továbfejlesztett solver 3-Dimenzió uj mesh generátor, kevés módosítás a solver-ben sebesség párhuzamosítás multigrid használatával