RÉSZEKRE BONTOTT SOKASÁG VIZSGÁLATA Gazdaságstatisztika RÉSZEKRE BONTOTT SOKASÁG VIZSGÁLATA 2013. szeptember 25.

Részekre bontott sokaság vizsgálata A vizsgált ismérv szempontjából lényegesen eltérő jellegzetességeket mutató részekre bontott sokaságokat az adott ismérv szempontjából heterogén sokaságoknak nevezzük. Ha felmerül a heterogenitás gyanúja, akkor a sokaságot célszerű részekre bontva elemezni. A részsokaságok kialakításához csoportképző ismérvet kell választani  Cél: megmutassa a részsokaságok közötti heterogenitást.

Fősokaság részsokaság 2. részsokaság M. részsokaság i. részsokaság

Rész- és főátlagok N Fősokaság részsokaság A j-edik részsokaság értékösszege 2. részsokaság M. részsokaság N i. részsokaság

Teljes-, belső- és külső eltérés A szórásszámítás alapja: belső eltérés külső eltérés A teljes eltérés azt mutatja, hogy Yij eltérhet a főátlagtól, mert: az ismérvértékek ingadoznak a részátlag körül => belső eltérések a részátlagok ingadoznak a főátlag körül => külső eltérések Csoportképző ismérv kívüli összes egyéb tényezőnek tulajdonítható Csoportképző ismérvnek tulajdonítható

SST=SSB+SSK SST=SSB+SSK Teljes eltérés-négyzetösszeg: Belső eltérés-négyzetösszeg: Külső eltérés-négyzetösszeg: A három eltérés-négyzetösszeg között bizonyítható az alábbi összefüggés (a statisztika elméletében kitüntetett szerepet játszó azonosság): SST=SSB+SSK

Bizonyítás SSB+SSK Az egyenlet bal oldalát átírva: A számtani átlag megismert tulajdonsága: Így: SSB+SSK =0???

Az Y ismérv SST teljes eltérés-négyzetösszegének, változékonyságának SST, SSB, SSK Az Y ismérv SST teljes eltérés-négyzetösszegének, változékonyságának SSK nagyságú része a részsokaságok képzésére használt csoportképző ismérvnek tulajdonítható, azzal magyarázható. SSK csak a külső eltérésktől függ. Ezzel szemben az SSB nagyságú rész az Y ismérv szóródását előidéző más, kiemelten nem vizsgált tényezők együttes hatásának tudható be. SSB csak a belső eltérésektől függ.

Teljes-, belső- és külső eltérés Fősokaság részsokaság 2. részsokaság dij Bij Kj M. részsokaság i. részsokaság

Teljes-, belső- és külső szórás Teljes eltérés-négyzetösszeg: SST Teljes szórás Részszórás: A j-edik részsokaság szórása Belső szórás A fősokaság egyes egységeihez tartozó Yij ismérvértékek átlagosan mennyivel térnek el a saját részátlaguktól – a részsokaságok összességére vonatkozik Külső szórás A részátlagok átlagosan mennyivel térnek el a főátlagtól Belső eltérés-négyzetösszeg: SSB Külső eltérés-négyzetösszeg: SSK

A teljes-, a belső- és a külső variancia kapcsolata Mivel így

A részvarianciák és a belső variancia kapcsolata A j-edik részsokaság varianciája Ebből A belső variancia Egyes részvarianciák részsokasági elemszámmal súlyozott számtani átlaga

Teljes szórás Fősokaság részsokaság 2. részsokaság M. részsokaság i. részsokaság

Részszórás Fősokaság részsokaság 2. részsokaság M. részsokaság

Belső szórás Fősokaság részsokaság 2. részsokaság M. részsokaság i. részsokaság

Külső szórás Fősokaság részsokaság 2. részsokaság M. részsokaság i. részsokaság

Egyidejűleg vizsgált két ismérv közötti kapcsolat a változók mérési szintje szerint Asszociációs kapcsolat: az egymással kapcsolatban álló ismérvek minőségi vagy területi ismérvek (mindkét változó nominális mérési szintű) Vegyes kapcsolat: az egyik vizsgált ismérv mennyiségi, a másik pedig minőségi vagy területi ismérv (az egyik változó különbségi vagy arányskálán, a másik pedig nominális skálán mérhető) Korrelációs kapcsolat: mindkét vizsgált ismérv mennyiségi ismérv (mindkét változó különbségi vagy arányskálán mérhető) Rangkorrelációs kapcsolat: mindkét változó sorrendi skálán mérhető

Vegyes kapcsolat szorossága, a varianciahányados X: csoportképző minőségi ismérv Y: mennyiségi ismérv X és Y kapcsolatának szorosságát mérő mutatót H2-tel jelöljük, és varianciahányadosnak, vagy szórásnégyzet-hányadosnak nevezzük: A H2 az Y ismérv szórásnégyzetének az X ismérv által magyarázott hányada. H2=0, ha SSK=σ2k=0, vagyis az X ismérv szerint képzett osztályok részátlagai egyformák H2=1, ha σ2k= σ2, azaz σ2B=0, vagyis az X szerint képzett csoportokon belül nem szóródik Y.

A vegyes kapcsolat szorosságának mérése, a szóráshányados H a szóráshányados, ami ugyancsak 0 és 1 között mozog. H=0 értéke a vizsgált két ismérv függetlenségét jelzi, H=1 pedig az X és Y közötti függvényszerű kapcsolatra utal. Nem fejezhető ki százalékosan, hanem kizárólag a kapcsolat szorosságának megítélésére használható a 0-hoz, illetve az 1-hez való közelségét figyelembe véve.

Példa Ismeretes, hogy a budapesti lakótelepeken a lakásárak különböző tényezők következtében lényegesen eltérnek egymástól. Ennek illusztrálása céljából egy hirdetési újságból kigyűjtötték mindazoknak a 3+1 fél szobás lakásoknak az árát, amelyek egy adott napon az újságban Budapest III. kerületében meghirdetésre kerültek. A négy lakótelepről aznap eladásra kínált sokaságokat egy-egy részsokaságnak tekintették. Az adatokat az alábbi táblázat tartalmazza (mFt-ban):

Példa Első feladatunk az, hogy határozzuk meg és hasonlítsuk össze egymással az egyes részsokaságokba tartozó lakások átlagos kínálati árát, és állítsuk elő azokból az adott napon eladásra kínált 45 lakás átlagos árát.

Példa

Példa Varianciahányados: vegyes kapcsolat (mennyiségi ismérv:ár; területi ismérv: lakás elhelyezkedése) A kínálati lakásárak ingadozásának mintegy 71%-a azzal magyarázható, hogy a lakás a négy lakótelep közül melyiken található. Az ingadozás 29%-a pedig egyéb, itt külön nem vizsgált tényezőknek (pl. hányadik emeleten van a lakás, milyen a tájolása, tömegközlekedési viszonyok, a lakótelep infrastruktúrája stb.) tulajdonítható. Szóráshányados: Közepesnél erősebb kapcsolat a két ismérv között.