Valószínűségszámítás Vázlatok

Sztochasztika - Görög eredetű: „Sejtés művészete.” Fő problémaköre: Véletlentől függő problémát egy modellel írunk le, melynek kimenetele ugyancsak a véletlentől függ, tehát determinisztikusan nem meghatározható. STATISZTIKA VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS

LEÍRÓ STATISZTIKA Kérdésfelvetés Alkalmas adatgyűjtés megtervezése, végrehajtása Adatok rendszerezése és ábrázolása Abszolút és relatív gyakoriság Osztályba sorolás

Középértékek Módusz: Medián: Kvartilis Leggyakoribb érték. alsó: felső: Leggyakoribb érték. Középső érték. ( Rendezhető halmazok esetén.) mediántól balra levő rész közepe mediántól jobbra levő rész közepe

Számtani közép: Mértani közép: Harmonikus közép:

Terjedelem: legnagyobb és legkisebb érték különbsége Átlagos abszolút eltérés: m: számtani közép vagy medián Empírikus szórás:

„Szár-levél” (Stengel-Blatt) diagram Adatok rendezése „Szár-levél” (Stengel-Blatt) diagram Százezresek Tízezresek 0 4588 1 0023336 2 7 4 566

MARKOV-tulajdonság Legyen tetszőleges nemnegatív számokból álló sokaság. A az átlaguknál nagyobb szám. Ekkor a sokaságban legfeljebb szám nagyobb A-nál.

CSEBISEV-tulajdonság Legyen az számsokaság átlaga , szórása D. Ekkor minden szám esetén legfeljebb azoknak az számoknak a száma, amelyeknek -tól vett abszolút eltérése legalább .

VÉLETLEN MODELLEK Érmedobás Visszatevéses urnamodell A relatív gyakoriság eloszlása lesz binomiális, mégpedig azzal a p paraméterrel, amelyet az eredmény valószínűségének nevezünk. Visszatevés nélküli urnamodell Hipergeometrikus eloszlás . (Közelítése binomiális eloszlással.)

BINOMIÁLIS ELOSZLÁS n = 10, p = 0,5

Abraham Moivre-Pierre Laplace Gauss-féle haranggörbe VÁRHATÓ ÉRTÉK várható érték eloszlás maximuma legvalószínűbb érték SZÓRÁS eltolva (-np-vel) normálva (osztva -val) Abraham Moivre-Pierre Laplace Laplace-feltétel: n.p

Normális eloszlás -táblázat a görbe alatti terület meghatározására GAUSS-FÉLE HARANGGÖRBE A görbe szimmetrikus a függőleges [(z)] tengelyre. A görbe alatti teljes terület 1.

-2 0 2 (-2) 1-(2)=(-2) (z)

Hipergeometrikus eloszlás N elemből K adott tulajdonságú, n kiválasztottban mekkora az esélye annak, hogy éppen k adott tulajdonságú elem , ha x: az adott tulajdonsággal rendelkező elemek száma a mintában. Megállapodás: Közelítő binomiális eloszlással, ha az elemszám legalább egy nagyságrenddel nagyobb a húzásszámnál.

Becsült intervallum Ismert paraméterű alapsokaságból következtetünk az ismeretlen paraméterű mintára.  pontossággal becsült intervallum, ahol A minta abszolút gyakoriságára vonatkozó intervallum.  Relatív gyakoriságra vonatkozó becsült intervallum.  - pontossággal:

HIPOTÉZIS-TESZT  pontossággal megfelelő eredmény SOKASÁG /2  SOKASÁG MINTA  pontossággal megfelelő eredmény nem megcáfolható KÉTOLDALI TESZTELÉS EGYOLDALI TESZTELÉS

a helyes hipotézist elvetjük HIBAFORRÁSOK ELSŐFAJÚ HIBA a helyes hipotézist elvetjük „ termelői rizikó” MÁSODFAJÚ HIBA a hibás hipotézist nem utasítjuk el „ fogyasztói rizikó”

KONFIDENCIA-INTERVALLUM Ismert paraméterű mintából következtetünk az ismeretlen paraméterű alapsokaságra. h’: a megfigyelt minta relatív gyakorisága Egy  konfidencia-intervallumon mindazon értékek halmazát értjük, amelyre a h’ mintabeli relatív gyakoriság esetén a hipotézisünk nem elvethető legalábbis valószínűséggel.

Köszönöm a figyelmet! Rójáné Oláh Erika