Matekhét az Istvánban Görbék titkai

Klasszikus görbék, egy feladat 1. Feladat: Adott az F és a T pont, valamint a d egyenes úgy, hogy T illeszkedik d-re. Szerkesztendő kör, amely átmegy F-en és T-ben érinti d-t. 1. A kör T-ben érinti d-t, így középpontja a T-ben d-re állított merőlegesen van; 2. A kör F-en és D-n is átmegy, így középpontja illeszkedik FT felezőmerőlegesére. F P d T Lássuk a szerkesztést dinamikus geometriai szerkesztőprogrammal! Cabri, Cinderella, Euklidesz, GeoGebra.

Klasszikus görbék, a parabola Voyager, d =3,7 m Deep Space Station, Canberra, d =70 m Pireneusok, Le Four Solaire at Font-Romeur, „Naptűzhely” 8 emelet magas, 9000 kis tükörből áll, 9000 Fahrenheit

Klasszikus görbék, újabb feladat 2. Feladat: a sarokba állított bot a felső végével végig az egyik falhoz támasz-kodva, a másik fal mellett lecsúszik. Milyen pályát ír le a bot felezőpontja? Lássuk a szerkesztést dinamikus geometriai szerkesztőprogrammal! A B F O 3. Feladat: a lecsúszó bot milyen görbe által határolt tartományt súrol?

A Ptolemaioszi világkép görbéi Rheinhold's edition of Peurbach's Theoricæ Novæ Planetarum (1542): lásd a O. Gingerich, "Astronomical Paper Instruments with moving parts,„ cikket a R. Anderson, J. Bennett, W. Ryan (eds.), Making Instruments Count (1993) kötetben http://dkcmzc.chemie.uni-mainz.de/~pfeiffer/aag/gut/astimpr.htm 4. Feladat: készítsünk általános epi-, hipociklois rajzoló programot! Cabri, Cinderella, Euklidesz, GeoGebra.

Epiciklus, hipociklus érintője OT vh T vf

Mi látható a csészében? Magyarázat: szoftverrel Arecibo, Puerto Rico, http://www.search.com/reference/Caustic_%28optics%29 Magyarázat: szoftverrel Arecibo, Puerto Rico, National Astronony and Ionosphere Center http://www.naic.edu/

Morley tétele Bármely háromszögben a szögharmadolók met- széspontjai egy szabályos háromszög csúcsai Morley a háromszög mindhárom oldalegye- nesét érintő kardioidok rendszerét vizsgálta. Mi vezette Morleyt ehhez a tételhez? Ha egy pontból két érintőt rajzolunk egy tetszőleges körhöz, akkor a kör középpontja rajta lesz az egyenesek (valamelyik) szögfelezőjén. Morley I.: a kardioidhoz bármely külső pontból három érintő húz- ható és azok szögharmadolóira illeszkedik a kardioid centruma. Vannak olyan kardioidok, amelyeket a háromszög valamelyik oldalegyenese kétszeresen érint. Az ilyen kardioidok centruma a szögharmadolók metszéspontja.

Morley tétele Bármely háromszögben a szögharmadolók met- széspontjai egy szabályos háromszög csúcsai Részletesen lásd: http://matek.fazekas.hu/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/kardioid vagy http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Arki_Tamas/kisgeo/php/article.php?article=morleyproof

Algebrai görbék Kör: x2+y2=1; (x-u)2+(y-v)2=r2; x2+y2+bx+cy+d = 0; Kétvátozós polinom zérushelyeinek halmaza – algebrai görbe Ez a polinom másodfokú – másodrendű görbe Parabola: x2 – y = 0; p(x-u)2 - (y-v) = 0; x2 + bx + cy +d = 0; Egyenes két pontban metszi – másodrendű görbe 5. Feladat: Mutassuk meg, hogy ha két merőleges tengelyű parabola négy pontban metszi egymást, akkor ez a négy pont egy körön van. x2 + bx + cy +d = 0; + y2 + ex + fy +g = 0; x2+y2+(b+e)x+(c+f)y+(d+g) = 0;

Algebrai görbék - számolunk Bezout tétele: egy n-edrendű és egy m-edrendű görbe m·n pontban metszi egymást. Hogyan? Komplex koordinátákkal számolva Multiplicitással számolva Végtelen távoli pontokkal számolva (projektív geometria) Ha a két görbének nincs közös része (komponense) Affin egyenlet: Projektív egyenlet: x2+y2+bx+cy+d = 0; x2+y2+bxz+cyz+dz2 = 0; Homogén egyenlet: (x,y) (x,y,1) Ha (x,y,z) jó, akkor (x, y, z) is jó. (x/z,y/z) (x,y,z) z0 – szokásos pontok (1,2,-5)  (2,4,-10)  (-0.2,-0.4, 1) Körökre Bezout??!! z=0 – ideális pontok Kör ideális pontjai: x2+y2 = 0; x=1, y=i Köri pontok: (1,i,0), (1,-i, 0) Hány pont határoz meg egy kört? Három, fent b, c, d „szabad”.

A harmadrendű görbe 6. Feladat: Adott három pont, A, B és P. Vizsgáljuk az A, B pontokon átmenő körökhöz P-ből húzott érintők érintési pontjainak mértani helyét! GeoGebra. B+C S C (A+B)+C A+B S” A+(B+C) A O S’ B

A Cramer paradoxon Bezout: Két harmadrendű görbe 9 pontban metszi egymást. Együtthatók leszámolása: 9 pont meghatározza a harmadrendű görbét. a1x3+ a2y3+ a3x2y+ a4x2+ a5xy2+ a6y2+ a7xy+ a8x+a9y+ a10 = 0 10 együttható, de egy konstans szorzó nem változtatja meg a megoldáshalmazt S S” O (A+B)+C B A A+B C B+C S’ A+(B+C) Nincs pont 9 dim harmadrendű görbe H1: a piros; 1 pont 8 dim harmadrendű görbe H2: a zöld egyeneshármas; 2 pont 7 dim harmadrendű görbe H3: a szaggatott zöld e-hármas; 7 pont 2 dim harmadrendű görbe 8 pont 1 dim harmadrendű görbe H1= 0, H2= 0 H1+H2 = 0. Chasles tétele: Ha a H3 harmadrendű görbe átmegy a H1, H2 görbék metszéspontjai közül 8-on, akkor a 9-en is átmegy.