A modern fizika matematikája a középiskolában http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/grafspek/ Hraskó András fiz mat fiz mat A prezentáció letölthető a http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/termtud2011/ oldalról

A Minkowski (1+1) sík Alapfeladat: a) Mutassuk meg, hogy az egyenlet p1 esetén hiperbola egyenlete! (1) b) Mutassuk meg, hogy a fenti hiperbolák a- szimptotái a p=0-nak megfelelő x=y egyenesek! c) Tekintsünk egy – az aszimptotákkal nem pár-huzamos – egyenest. Mutassuk meg, hogy az egyenesből az (1) hiperbola által kimetszett húr felezőpontja minden p-re ugyanaz a pont! d) Igazoljuk, hogy az egymással párhuzamos egyeneseken ezek a felezőpontok egy – az origón átmenő – egyenest alkotnak! Megoldás: a)-b) (x-y)(x+y)=p c) y=mx+b (1) Vieta d) y=x/m Eredeti egyenes m meredekségű Az új egyenes 1/m meredekségű

Körök, merőlegesség, tükrözés (1) (1’)  Két egyenes „Minkowski-merőleges” Egymás (Euklideszi) tükörképeik az aszimptotákra való tükrözéskor Tükrözés: az azonos színű pöttyök cseréje: (x1; y1)(x2;y2) = x1y1- x2y2 (x1; y1)(x2;y2) = x1y1+ x2y2 (1;m)(m;1)=0 (1;m)(-m;1)=0 Tovább

Univerzális tételek Tovább a csúcsok helyvektorai Thálesz tétel: Magasságpont létezése: Ha és akkor Valóban, a három egyenlet összege 0=0. Körülírt kör létezése, egyértelműsége: OC=OB és OC=OB BC felezőmerőlegese AC felezőmerőlegese

Az Euklideszi és a Minkowski geometria összjátéka I. Euklideszi geometriai alapkérdés: Adott a síkon egy t transzformáció és egy A pont. Rajzoljuk meg A–n át az összes egyenest és mindegyiket messük el a t-nál származó képével. Mi lesz az így adódó metszéspontok mértani helye? GeoGebra a) t egy forgatás b) t egy csúsztatva tükrözés

Az Euklideszi és a Minkowski geometria összjátéka II. Még egy Euklideszi geometriai feladat: Adott az ABC háromszög és a t tengely. Tükrözzük a BC, CA, AB oldalegye- neseket t-re és húzzunk mindegyikkel párhuzamost az eredeti oldallal szem- közti csúcson - tehát rendre A-n, B-n illetve C-n át. Igazoljuk, hogy az így kapott három egyenes egy ponton megy át. c’ b’ b a c1 Tétel C a) A háromszög Minkowski magasságpontja illeszkedik az Euklideszi körülírt körre. a’ b1 b) A háromszög Euklideszi magasságpontja illeszkedik a Minkowski körülírt körre. a1 A c B t M

Köszönet, linkek Köszönöm a lehetőséget a programbizottságnak. A témákhoz ajánlott könyvek, linkek: I.M. Jaglom: Galilei relativitási elve és egy nemeuklideszi geometria, Gondolat, Bp., 1985 Bjørn Felsager: Introducing Minkowski-geometry using Dynamic Geometry Programs http://www.icme-organisers.dk/tsg10/articulos/Felsager_2_re_revised_paper__2_.doc Reiman István: Az elemi síkgeometria és a kúpszeletek elméletének egy kapcsolatáról http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Reiman_Istvan/Feuerbach/Feuerbach.php Hraskó András: Relativitáselmélet a geometriában http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/relgeo_komalanket2007/relgeo.pdf Hraskó András: Gráfok spektruma http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/grafspek A prezentáció letölthető a http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/termtud2011/ oldalról