A Birodalmi lépegetőtől… Egy játék matematikája

Egyszer volt… Ha megnőnek a gyerekek, akkor a matematikusnak marad a solitaire :( Van k darab doboz 1-től k-ig megszámozva, néhányukban golyók, összesen n darab. Van még egy urna, amely kezdetben üres. Az a cél, hogy a golyókat összegyűjtsük az urnába. Ehhez az egyes dobozokat ki lehet üríteni, az i-ediket akkor, ha éppen i darab golyó van benne. Ennek során a golyókat egyesével elpotyogtatjuk az i-nel kisebb sorszámú dobozokba, az utolsót pedig betesszük az urnába. Ha ezután megint van kiüríthető doboz, akkor folytatjuk. Ha az összes golyó az urnába kerül, akkor nyertünk. Ha ez sikerül, akkor az n golyó elrendezéséről, vagy röviden elrendezésről beszélünk.

IDE JÖNNE AZ ELSŐ ANIMÁCIÓ Geogebra -- Maya2.ggb De még fogalmam sincs, hogy lehet beilleszteni

Ha az i-edik doboz kiüríthető, akkor azt mondjuk, hogy ez a doboz teli van. A játék láthatóan determinisztikus, minden egyes lépésben a legkisebb sorszámú teli dobozt kell kiüríteni. MIRE JÓ AKKOR EZ A JÁTÉK ??? Mondjuk be lehet bizonyítani, például teljes indukcióval,hogy 1.Tétel n darab golyó egyértelműen rendezhető el alkalmas számú k(n) darab dobozba. Például k(41)=10, ahogy láttuk. De aztán újabb kérdések jönnek: 1.kérdés: Hány dobozba lehet elrendezni mondjuk 100, 1000,… golyót? Válasz: az indukciós bizonyítás alapján egyszerű program írható, amely egyesével tölti fel a golyókat: mindig a legkisebb sorszámú üres dobozt telíti, miközben a kisebb sorszámú dobozok tartalma 1-gyel csökken. Így k(100)=16, k(1 000) =55, k(10 4 )=176, k(10 5 )=560, k(10 6 ) = 1771,… Gyanús!!! A kapott értékek tízes alapú logaritmusai nagyságrendenként kb. 0.5-del nőnek. Ez azt jelzi, hogy a dobozszám a golyószám egy hatványával arányos!

2. kérdés Hány golyó rendezhető el 10, 100, 1000, stb dobozban? Az 1. tétel megfordítása nem igaz, pontosabban: adott k-hoz vannak olyan 0 < m(k) < M(k) egészek, hogy minden n  [m(k); M(k)] esetén el lehet rendezni n darab golyót k darab dobozban. Az intervallum mérete r(k) = M(k)-m(k)+1. Állítás: (könnyű) r(k) páros. Az előző programot egy kicsit megpatkolva m(10) = 34 és M(10) = 41, így r(10) = 8. m(100) = 3 234, M(100)= 3 281, r(100) = 48 m(1000)= , M(1 000)= , r(1 000)=1 192 Gyanús!!! A dobozszámot 10-szeresére növelve az elrendezhető golyók száma ~ 100-szorosára nő

Az eddigiek azt sugallják, hogy k 2 ~ n

Jelölések x = (x 1, x 2,…, x k, 0, 0,…) -- nemnegatív egész vektor (k az utolsó nem üres doboz sorszáma) T i = ∑ m≥i x m -- az i-edik farokösszeg Elrendezési tétel Na végre!!!! x akkor és csak akkor elrendezés, ha a)i ≤ x i : i =1, 2,…, továbbá b)i | T i : i = 1, 2,…, Jelölések t i = T i / i : pozitív egész ha i ≤ k; ennyiszer nyúlunk legalább i sorszámú dobozhoz a kiürítés során. n = t 1 > t 2 > … > t k > t k+1 = 0 =,… d i = t i -t i+1 : pozitív egész ha i ≤ k; ennyiszer ürítjük ki az i-edik dobozt. Állítás: d i nem növő (Elég szemléleletes -- kisebb sorszámú urnákat gyakrabban kell kiüríteni.)