Kvantitatív módszerek 1. Valószínűségszámítási alapok Dr. Kövesi János

A valószínűségszámítás tárgya Véletlen jelenség fogalma Tömegjelenség fogalma  Készítette: Erdei János

A valószínűség fogalma A n f(A)  Készítette: Erdei János

Az axiómarendszer 1. axióma 0  P(A) 2. axióma P() = 1 3. axióma Ha A1, A2, … An páronként kizárják egymást, akkor P(A1 + A2 + ... An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An) Teljes eseményrendszer: P(A1 + A2 + ... An) = P() = 1  Készítette: Erdei János

A valószínűség meghatározásának módszerei Klasszikus valószínűség-meghatározás Geometriai Valószínűségszámítási tételek Empirikus adatokból Elméleti eloszlások Szubjektív becslés  Készítette: Erdei János

Valószínűségszámítás fő területei  Készítette: Erdei János

Kvantitatív módszerek 2. Valószínűségszámítási tételek Dr. Kövesi János

Valószínűségszámítási tételek P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) Bizonyítás A·B B A  Készítette: Erdei János

Valószínűségszámítási tételek Ha A esemény bekövetkezése ... P(B-A) = P(B) - P(A) és P(A)  P(B) Bizonyítás: B = A + (B-A) P(B) = P(A) + P(B-A)  III. axióma Mivel P(B-A)  0  P(A)  P(B)  Készítette: Erdei János

Valószínűségszámítási tételek 1. Feladat: Mutassuk ki, hogy ... P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) P(AB) = P(A) + P(B) - P(A+B) +1 a lehetséges legnagyobb értéke 0,7 0,9 2. Feladat: Próbagyártás után ... P(A + B) = 0,15 + 0,3 - 0,08 = 0,37 P(A + B) = 0,63  Készítette: Erdei János

Valószínűségszámítási tételek 3. Feladat: Egy iskola tanulóinál ... P(A) = P(A + B) + P(AB) - P(B) = = 0,16 + 0,09 - 0.11 = 0,14  Készítette: Erdei János

A feltételes valószínűség fogalma Definíció: Ha A és B … P(A|B) = P(AB) / P(B) Legyen A és B egy kísérlettel kapcsolatos két esemény, és P(B)  0  Készítette: Erdei János

A feltételes valószínűség fogalma 1. Feladat: Egy termék hibamentesen … 0 t t+t  Készítette: Erdei János

A feltételes valószínűség fogalma 1. Feladat: Egy szállítmány 96%-a … A = a termék I. o.} B = a termék megfelelő} P(AB) = P (A|B) · P(B) = 0,75 · 0,96 = 0,72  Készítette: Erdei János

A feltételes valószínűség fogalma 2. Feladat : Egy telefonfülke előtt állunk … a.) b.) c.)  Készítette: Erdei János

A teljes valószínűség tétele Ha B1, B2, … Bn teljes …. Bizonyítás:  Készítette: Erdei János

A teljes valószínűség tétele 1. Feladat: A magyar nyelvű MBA programban … A = a vizsga sikeres} B1 = a hallgató férfi}  P(B1) = 0,45 B2 = a hallgató nő}  P(B2) = 0,55 P(A) = 0,6 ·0,45 + 0,8 ·0,55 = 0,71  Készítette: Erdei János

A teljes valószínűség tétele 2. Feladat: Három műszak azonos … P(B1) = 0,4 P(A|B1) = 0,95 P(B2) = 0,3 P(A|B2) = 0,93 P(B3) = 0,3 P(A|B3) = 0,90 P(A) = 0,929  Készítette: Erdei János

Bayes-tétel Ha B1, B2, … Bn teljes eseményrendszer ….  Készítette: Erdei János

Bayes-tétel Bizonyítás: P(Bk|A)·P(A) = P(A| Bk) ·P(Bk) P(Bk·A) P(A·Bk) Teljes valószínűség tétele  Készítette: Erdei János

Bayes-tétel 1. Feladat: Alkatrész-ellátásnál …. A = az alkatrész hibás} B1 = ”A”-tól jött}  P(A|B1) = 0,1 B2 = ”B”-től jött}  P(A|B2) = 0,2  Készítette: Erdei János

Bayes-tétel 2. Feladat: Egy üzemből kikerülő …. A = a termék I.o. minősítést kap} B1 = a termék I.o.}  P(B1) = 0,75 B2 = a termék nem I.o.}  P(B2) = 0,25 P (A|B1) = 0,98 P (A|B2) = 0,05  Készítette: Erdei János

Bayes-tétel 3. Feladat: Egy folyóban bekövetkező …. Bi = az i-edik üzemet terheli a felelősség} (A |Bi) = halpusztulás következett be, feltéve, hogy Bi volt a szennyező} P(B1)=0,2 P(B2)=0,5 P(B3)=0,3 P(A |B1)=0,6 P(A |B2)=0,15 P(A |B3)=0,25  Készítette: Erdei János

Bayes-tétel 3. Feladat: folyt. P(A)=0,2·0,6+0,5·0,15+0,3 ·0,25 = 0,27 P(B1|A)=0,44 P(B2|A)=0,28 P(B3|A)=0,28 3. Feladat: folyt. 1,1 MFt 700 eFt 700 eFt  Készítette: Erdei János

Események függetlensége Definíció:  Készítette: Erdei János

Kvantitatív módszerek 3. Leíró statisztika Dr. Kövesi János

Statisztikai leírás alapjai A statisztikai leírás célja, módszerei Statisztikai leírás mutatói Középértékek Ingadozásmutatók Egyéb mutatók Grafikus kép  Készítette: Erdei János

Adatok rendezése, ábrázolása Osztálybasorolás Gyakoriságok (fi) megállapítása Relatív gyakoriság (gi) megállapítása Összegzett (kumulált) gyakoriságok ill. relatív gyakoriságok Gyakorisági táblázat Grafikus ábrázolás  Készítette: Erdei János

Feladat - 1 Egy folyamatos üzemben …. Gyakorisági táblázat készítése  - Legkisebb és legnagyobb értékek megkeresése - Gyakoriságok meghatározása 0  1  :  Készítette: Erdei János

Feladat - 1 A gyakorisági táblázat:  Készítette: Erdei János

Feladat - 1 Adatok ábrázolása:  Készítette: Erdei János

Feladat - 1 A gyakorisági táblázat folytatása:  Készítette: Erdei János

Feladat - 1 Kumulált relatív gyakoriság ábrázolása:  leállások száma Készítette: Erdei János

Feladat - 2 Gyakorisági táblázat készítése:  Műszeralkatrészek átmérőjét …. Gyakorisági táblázat készítése: - Minimum és maximum értékek keresése - Terjedelem meghatározása: R = 8,50 - 8,13 = 0,37 - Osztályok számának meghatározás 8,13 - Osztályhatárok, -közepek számolása 8,50 - Gyakoriságok meghatározása - Táblázat és a hisztogram elkészítése  Készítette: Erdei János

Gyakorisági hisztogram  Készítette: Erdei János

Kumulált relatív gyakoriság Osztályközök [mm]  Készítette: Erdei János

Középértékmutatók  Módusz  Medián 2 3 3 5 7 8 9 5 3 7 2 8 3 9 Mo  Medián 2 3 3 5 7 8 9 5 3 7 2 8 3 9  Számtani átlag  Harmonikus átlag  Mértani átlag  Négyzetes átlag  Kvantilisek  Készítette: Erdei János

Ingadozás mérőszámai n v. n-1 ?! R  Terjedelem  Átlagos abszolút eltérés  Tapasztalati szórás  Korrigált tapasztalati szórás  Relatív szórás  Készítette: Erdei János

Készítette: Erdei János