1. feladat Az ábrán egy épülő ház tetőszerkezetét látjuk. A „mester” szerint ez akkor lesz a legstabilabb, ha a „ferde” CD nyeregtetőt annak F felezőpontjában, rá merőlegesen támasztják alá egy gerendával. Milyen hosszú legyen a g gerenda?

A gerenda egyenesének egyenlete:

2. feladat Egy térképhez rögzített koordináta-rendszerben az A és B falvak koordinátái A(0; 7), B(6; 5). Az országút egyenlete: Hová helyezzék a buszmegállót az országúton, hogy az a két falutól egyenlő távolságra legyen ?

AB felezőmerőlegesének egyenlete:

3. feladat Az ABCD négyzet BC oldalának B-hez közelebbi harmadoló pontja H. A CD oldal C-n túli meg-hosszabbításán legyen E pont, melyre CE egyenlő a négyzet oldalának a felével. Igazoljuk, hogy a BE és AH egyenesek M metszéspontja illeszke-dik a négyzet köré ír-ható körére!

Az AM egyenes egyenlete: A BE egyenes egyenlete:

?

4. feladat Készítsünk virágot ! Legyen A halmaz a sík azon P(x; y) pontjainak a halmaza, mely pontokra A B halmaz a sík azon P(x; y) pontjainak a halmaza, mely pontokra Szemléltesse egy koordinátarendszerben a B \ A halmaz elemeit !

5. feladat Hány db olyan pozitív egész k szám van, melyre az egyenletű körnek nincs közös pontja az x ten-gellyel, de van közös pontja az y tengellyel ?

A kör x tengellyel alkotott metszéspontjaira: Ha a körnek nincs közös pontja az x tengellyel, akkor ez utóbbi egyenlet diszkriminánsa negatív:

Hasonlóképpen; egyenlet diszkriminánsa nem negatív: Tehát a feltételeknek db egész szám felel meg.

6. feladat Egy háromszög két csúcsa: A(0; 2), B(-2; 0), a harma-dik csúcsa az egyenletű körön van. Határozza meg a harmadik csúcs koordinátáit úgy, hogy a háromszög területe maximális legyen!

A háromszög területe akkor maximális, ha a hiányzó C csúcsa a legtávolabb van az AB egyenestől. Ezt a pontot az AB-re merőleges, O-n átmenő egyenes metszi ki a körből.

7. feladat Egy parabola két pontja: A és B. Ezek merőleges vetülete a vezéregyenesen: A* és B*. Igazolja, hogy a fókusz-ponton átmenő, AB-re merőleges egyenes felezi az A*B* szakaszt!

vagy másképpen Ez a vektor a rá merőleges, F-en átmenő egye-nesnek normál-vektora, tehát az egyenes egyen-lete:

A vezéregyenes egyenlete: Tehát a két egyenes metszéspontjára: Ez pedig éppen azt fejezi ki, hogy az F-en át AB-re állított merőleges felezi az A*B* szakaszt.