2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE

2.1. A hidrogénatom Schrödinger-egyenlete

A hidrogénatom klasszikus mechanikai modellje Pozitív töltésű részecske, amely körül egy negatív töltésű részecske kering.

A kvantummechanika Schrödinger-egyenlete általános formában

A hidrogénatom Schrödinger-egyenlete Megj.: alsó indexben e és p elektronra és protonra utal, e az elektron töltése (-1,602x10-19 C), r az elektron protontól való távolsága, vákuum permittivitás (8,854x10-12 Fm-1).

A hidrogénatom Schrödinger-egyenlete megoldható! A megoldás trükkje: polárkoordináta rendszert alkalmazunk.

r : vezérsugár : hajlásszög : azimut

Polárkoordináták transzformációja Descartes-koordinátákba

A Schrödinger-egyenlet megoldása Sajátérték. n: főkvantumszám 1, 2, 3...

A Schrödinger-egyenlet megoldása Sajátfüggvények.

A Schrödinger-egyenlet megoldása Degenerált állapotok.

A sajátfüggvények alakja radiális rész anguláris (szögtől függő) rész

Lineár-kombinációk (ábrázolhatóság miatt)

A hidrogénatom komplex hullámfüggvényei

A hidrogénatom valós hullámfüggvényei

A hidrogénatom Rn,l radiális hullámfüggvényei

A hidrogénatom anguláris hullámfüggvényei

A hidrogénatom anguláris hullámfüggvényei

2.2 A hidrogénatom színképe

Kiválasztási szabályok A 4. Axiómából kiindulva lehet hozzájuk jutni.

1. szabály Energiamegmaradás

Átmeneti momentum dipólus-momentum operátor és állapotfüggvény 1-es index: kiindulási állapotban 2-es index: végállapotban

1 pozitív és 1 negatív töltés Dipólus momentum d 1 pozitív és 1 negatív töltés + - q : a töltés d: a távolság; a pozitív töltéstől a negatív töltés irányába mutat

Több töltés esetén q : a töltés

Hidrogénatomra vonatkozó kiválasztási szabályok bármennyi bármennyi

A hidrogénatom színképe diszkrét vonalak!

Az atomos hidrogén spektruma

A hidrogénatom energiaszintjei

A hidrogénatom megengedett átmenetei

A hidrogénatom vonalszériái

2.3 A hidrogénatom elektronjának pálya-impulzusmomentuma

A hidrogénatom klasszikus mechanikai modellje Pozitív töltésű részecske, amely körül egy negatív töltésű részecske kering.

A klasszikus mechanikában

három komponensének sajátértéke egyidejűleg nem „mérhető”.

Helyette „mérhető” és operátorok sajátértékei. Az utóbbiakra felírt sajátérték egyenletek megoldhatók.

sajátértékek mellékkvantumszám P absz. érték, hossza

sajátértéke m: mágneses kvantumszám P vetülete a z tengelyen

Minden P sajátértékhez Pz sajátérték tartozik.

Az -hoz tartozó pályaimpulzusmomentum térbeli kvantáltsága

2.4 Az elektron pálya-mágnesesmomentuma

A hidrogénatom klasszikus mechanikai modellje Pozitív töltésű részecske, amely körül egy negatív töltésű részecske kering.

A klasszikus fizikában I : a köráram erőssége A : a körbejárt felület : a felületre merőleges egységvektor

Próbáljuk meg összefüggésbe hozni az impulzusmomentummal!

Az impulzusmomentum képletének átalakítása hasonló módon

A mágneses momentum operátora

és operátorok sajátértékegyenletei oldhatók meg.

M abszolút értéke Bohr-magneton

A mágneses momentum z irányú vetülete m : mágneses kvantumszám

Mágneses térben levő részecske potenciális energiája Klasszikus fizika: Kvantummechanika : mágneses indukció

Zeeman-effektus

2.5 Az elektronspin

Stern-Gerlach-kísérlet

Ezüst-atom sugár kísérlet (hidrogénatommal a kísérlet nehezebb, de az eredmény ugyanaz.) Alapáll.: n =1; és m csak 0 lehet! nem térül el Eredmény: két irányba eltérül!!

Értelmezés Alapállapotban is van impulzusmomentum, amelyből mágneses momentum adódik. Ez az impulzusmomentum a spin.

Spin operátor Jele: Sajátérték egyenletet lehet felírni absz. értékére és z irányú vetületre.

sajátértéke Ps : spinhez tartozó imp. momentum : spinre utaló mellékkvantumszám abszolút érték

sajátértéke : z irányú komponens

Spinből származó mágneses momentum abszolút érték z irányú komponens ge : Lande-faktor hidrogénatomban ge=2,0023

A spin operátorok sajátfüggvénye (közös a két operátoré)

A spin létezése nem kvantummechanikai axióma. Spin értelmezése: Paul Dirac (1902-1984)

Relativitáselmélet Olyan mozgások leírása, ahol a sebesség összemérhető a fénysebességgel. Az elektron sebessége is összemérhető a fénysebességgel. Dirac-egyenlet: Schrödinger egyenlet módosítva a relativitáselmélettel.

A hidrogénatom Dirac-egyenletének megoldása E függ n-től nagyon és j-től picit belső kvantumszám : az elektronpálya impulzusmomentuma : a spin impulzusmomentuma ha s pálya p pálya d pálya

Spin-pálya felhasadás p pálya d pálya Ha 0-től eltér a mellékkvantumszám, a belső kvantumszámnál az energiaszintek kétfelé hasasnak

A spin-pálya csatolás miatt felhasadnak az energiaszintek

Kiválasztási szabály

A Dirac-egyenlet sajátfüggvényei „spin-koordinátor”