Matematika Számok, számítások

Egyiptomi számrendszer Tízes számrendszer. Minden tíz hatványnak külön írásjele van. Ezeket többszörözik. Később a hieratikus írásnál külön számjegyek, amelyek helyiértéktől függően néznek ki.

Egyiptomi számtan Csak egység számlálójú törteket használtak (kivéve 2/3 és 3/4). A többi törtet ilyenek összegeként írták fel. Pl.: 1/5 duplája az 1/3+1/15-öt. Ezek a felbontások nehéz feladatok, táblázatokat használtak. Szorzást kettőzéssel végezték el. 12*12 = 8*12+4*12 (időnként kiegészítették tízszerezéssel és felezéssel). Osztást is így végezték.

Rhind papirusz 26. feladata Egy mennyiség, ¼-ét hozzáadjuk. 15 lesz. Számolj 4-től. Kiszámolod ¼-ét: 1. Összesen 5. Számolj 5-től, hogy 15-öt találj. 1 5 2 10 3 az eredmény Számolj 3-tól, 4-szer. 1 3 2 6 4 12 12 az eredmény

A mennyiség 12. ¼-e: 3. Összeg: 15. 1 12 ¼ 3 Összesen 15 Mint látható ellenőrzés is tartozik a feladathoz. Nincsenek megfogalmazva az algoritmusok, hanem példákon keresztül tanulják meg.

A feladat módszerei Az algoritmus itt az volt, hogy egy rossz megoldásból kiindulunk. Ez gyakori trükk az ókori számtanban. Kipróbálták 4-re, majd megnézték, hogy mennyivel kell megszorozni 4-et, hogy a jó eredményt kapják. A műveleteknek standard szöveges alakjai vannak. Pl.: „számolj N-től, M-szer” a szorzás. „Számolj N-től, hogy M-et találj” az osztás. A számolási technikákat is leírja a nehezebb részeknél, de nem mindenhol. Például a 4 negyedének a kiszámolását nem részletezi.

Mezopotámiai számrendszer Függőleges ékek egyesek Vízszintes „csőrök” tízesek 60-as és 10-es számrendszer keveréke Helyiértékes számrendszer: Nulláknak üres hely, de a szám végén nincs.

Nulla és a törtek A szeleukida korban már van írásjel a nullának: az, ami a mondat végét is jelenti, vagyis a pont. De még mindig nincs a szám végén nulla. Az előző 743 lehetne akár 12*3600+23*60 is. A törteket is ugyanúgy írták. Vagyis a 743 lehetne akár 12+23/60-ad is, vagy 12/60+23/3600. A törteknek azonban külön írásjelei is voltak, és a végeredményben gyakran ezt használták.

A csillagászati táblázatokkal együtt átvették az indiaiak és a görögök is, innen a szögperc és szögmásodperc átváltás. Ennek hatására alakult ki a mi helyiértékes számrendszerünk is. Még Kopernikusz is használt teljesen szexagezimális számrendszert, az egészekre is. (Ptolemaiosz csak a törtekre). Mezopotámiában is volt más írásmód, például „2 me 25” vagyis „2 száz 25” egy tábla keltezésénél.

Matematikai táblázatok Matematikai szövegek két korszakból maradtak ránk: i.e.18. sz. az óbabiloni korból, és a szeleukida korból (Nagy Sándor után, i.e.3. századtól az i.e.1. századig). Nagyjából kétszáz táblányi táblázat, legtöbbjük Nippurból. Feladatszövegekből száz tábla. Osztó-, szorzó- és reciproktáblázatok

1. Feladat

2. Feladat

Mezopotámiai algoritmusok Táblázatok mellett számoltak is, pl.: 7/20 kiszámításához vették a 20 reciprokát (3/60) majd beszorozták 7-tel: 21/60 Gyök közelítő algoritmus x’=1/2(x+a/x) képlettel írjuk le ma (x’ az új közelítés, x az előző, és a-ból vonunk gyököt. Volt algoritmusuk pitagoraszi számhármasok előállítására is.

Magasabb fokú egyenletek bizonyos fajtáira algoritmusok. Hatvány számítások Az algoritmusok absztraktak: akkor is elvégezték a szorzást, ha a szorzótényező 1 volt, mert az algoritmus így szól.

Kínai számok Jelölt tizedes számrendszer, a mai napig. -2. században a már korábban is használt számlálópálcikák hatására átalakultak a számjegyek. Tízes számrendszer. Mértékrendszer egységesítéssel próbálkoznak, tízes alapú váltással, hogy könnyen lehessen számolni. Tizedes törtek megjelennek a 3. században. Ezek is azt segítik, hogy az egészeknél bevált algoritmusokat használva kellő pontosság elérhető legyen. Európába is innen került át szamarkandi közvetítéssel. Kézjelek tízig egy kézen.

Lo Shu - Bűvös négyzet 4 9 2 3 5 7 8 1 6 Teknős hátán jelent meg Yü-nek. Yi-jingben szerepel Lehet, hogy köze van a kút földrendszerhez? 8 család műveli a földet a középső parcella az áldozati adó gabona 1 4 6 2 9 7 3 5 8

Számlálótábla és számlálópálcák Számlálópálcákkal számjegyenként rakják ki a számot, és minden helyiérték el van forgatva az előzőhöz képest, hogy ne legyen félreérthető. Lényegében százas számrendszer az eredmény. Számlálótábla négyzetrácsos, a számok leírása egyszerű, 0-nál üres négyzet van. Műveletek elvégzését segíti, hasonlóan ahhoz, amikor mi négyzethálós papíron összeadunk, kivonunk, szorzunk.

π Gyakorlatban 3-mal számoltak. Egy időben, akár egy szövegben, eltérő értékek használata. Liu Hui a 3. században 192 oldalú szabályos sokszöggel közelítette a π-t. 3.14 Az 5. században pedig 24576 oldalú szabályos sokszöggel 3.1415926-ot kaptak.

Suan Jing -250 körül született a „Matematika kilenc fejezetben”, de később többször átdolgozták. Legfontosabb Liu Hui, a 3. századból, aki egy tizedik könyvet csatolt hozzá. 246 feladatot tartalmaz, mind „szöveges feladat”, kérdésből, válaszból, és a számolás módjából áll. Bizonyítás természetesen nincs. Hivatalnokok vizsgatankönyve, ezért a gyakorlatban használható feladatokat eljárásokat tanítja.

Szöveges feladatok vannak természetesen. „Egy mező szélessége 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8 bu. A mező területe 1 mu. Mekkora a hosszúság?” Vannak egyértelműen csak a matematikáról szóló feladatok: „3+1/3 ember között kell szétosztani 6+1/3+3/4 pénzérmét. Kérdés: Mennyit kapnak egyenként?”

Feladat megoldás 5 pénzt kell elosztani 5 ember közt úgy, hogy a részek egy számtani sorozat szomszédos elemei legyenek, és az első két ember összesen ugyanannyit kapjon, mint a többi három összesen. Oldjuk meg ezt a feladatot!

Kínai módszer: rakjunk ki egyesekből a számlálótáblára egy ötös piramist. Az első két sor összege 9, az utolsó háromé 6, ez nem jó, javítsuk ki. Ha minden sorhoz 3-at adunk akkor 15 lesz az első kettő és az utolsó három összege. Most az összeg viszont harminc, nekünk viszont öt kell, osszuk le mindegyiket hattal.

Suan Jing A 8. fejezetben fang-zheng szabály, amely determináns segítségével old meg lineáris egyenletrendszereket. A determináns felírás megegyezik a számlálótáblás felírással. Európában csak a 17. században jelenik meg Leibnitznél a determináns és a mátrix. A 9. fejezetben Pitagoraszi számhármasokat előállító „algoritmus” Másodfokú egyenletet hasonlóan oldották meg, mint ahogy mi most.

Kínai matematikusok A hivatalnokok tankönyveit ismerjük, de azokról, akik kifejlesztették az ott tanított algoritmusokat keveset. Matematikusokról csak későbbről maradtak fent anyagaink. A csillagászatnál használt matematikával csak a asztrológiai hivatal foglalkozott. A kínai matematikusok egyedül dolgoztak, hobbiból, eredményeik gyakran elfelejtődtek, kevés forrás maradt meg.

Maradékszámítás nagyon fejlett. Főleg naptár számítás motiválhatta Maradékszámítás nagyon fejlett. Főleg naptár számítás motiválhatta. Kínai maradék tétel név még a mi gimnáziumunkba is eljutott, de igazából sok sok tételt lehetne kínainak hívni. Qin Jiushao (1247) általános megoldást ír le a kongruenciás egyenletekre, még arra az esetre is, amikor nem relatív prímek.

Magasabb fokú egyenletek megoldási algoritmusa, amely megegyezik az 1819-es Horner formulával. Az előbb említett Qin Jiushao például tizedfokú polinom gyökét állítja elő. Többismeretlenes egyenleteket is magasabb fokú polinomra alakítottak át. Wang Xiaodong már a 7. század, harmad- és negyedfokú egyenleteket old meg. Nála jelent meg a számtani sorozat összegképlete az arányosság helyett.

További eredmények Zhu Shijie (1299) Pascal háromszög. Yang Hui (1261, 1275) binomiális együttható. Másodfokú egyenletek elméletét fejti ki. Magyarázatokat hiányolja a régi kínai matematikusoknál. Páratlan számok összegképletét megadja, négyzetszámok, háromszögszámok összegképletét nála is megtaláljuk, de korábbi.

Indiai számok Első emlékek -3. századból, Asóka idejéből származnak (Indiában az írás későn terjedt el). Ekkor rögtön két számrendszerük van: egy mezopotámiai eredetű és egy bráhmi. Bráhmi írás szemjegyeiből alakult ki az indiai, abból az arab, abból pedig a mi „arab” számjegyeink.

Árjabhatta (az első név szerint ismert hindu matematikus, 5. sz Árjabhatta (az első név szerint ismert hindu matematikus, 5. sz.) betűkkel jelöli a számokat. A mássalhangzók a számok, a magánhangzók a helyiértéket jelölik, de százasával. Mintha az „a” jelölné az egyeseket és tizeseket, az „i” a százasokat és ezreseket. Tehát (latin abc-re átírva) bada =13, fi = 400. Kínaira hasonlít, és a százas csoportosítás, és az jobbról balra írás is kínai eredetre utal.

Tanítványa Bhászkara (i. sz Tanítványa Bhászkara (i.sz. 520) már elhagyta a helyiérték jelölőket, és betűk helyett a bráhmi számjegyeket használta. Két évtized múlva fordították meg a balról jobbra irányba a számokat. A nullát jelentő szunja szó már létezett, de jelölését vagy a görögöktől (hatvanas számrendszert használó Szaszanidáktól) vagy a kínaiaktól vették át. Így állt össze, a mi általunk is használt tízes alapú, helyiértékes, nullával rendelkező számírás.

Matematikai könyvek Indiai matematika két fő mozgatója az áldozati oltár kimérésének feladata, és a csillagászati számítások elvégzése volt. Szulvaszútra, avagy a mérőzsinór szútrája (-5. század körül keletkezett). Derékszög kijelölésére használható kötélhosszak (vagyis pitagoraszi számhármasok), szerkesztési feladatok találhatóak benne.

Matematikai könyvek Szúrja sziddhánta: a nap rendszere (i.sz. 3. század, de van aki i.e.2. századra datálja, van aki i.sz.8.-ra) sok görög, mezopotámiai, esetleg kínai hatás ismerhető fel benne. Ptolemaiosz almagesztjére sok részlete emlékeztet. Itt jelenik meg a szinusz ma ismert formájában (Ptolemaiosz még húrok hosszát, és nem a félhúrokat írta fel). Hindu „jiva” húr szót arabok „jibá”-nak fordították, de sémi nyelv lévén nem jelölték a magánhangzókat, tehát „jb”-t írtak. A latinra elfordítótták, „jaib”-nak olvasták, ami öblöt jelent. Így lett szinusz, ami latinul ölt, öblöt jelent. Magyarítva pedig kebel lett (koszinuszból pedig pótkebel).

Árjabhatta Legtöbb könyv vegyes tartalmú, nem csak matematika van bennük. Matematikai tartalmuk is vegyes. Árjabhatta (500 körül) négyzet és köbvonás Terület és térfogatszámítás Számtani sorozatok, kamatszámítás Másodfokú egyenlet megoldása Gömbi trigonometria Felváltva használ pontos és közelítő értékeket.

Brahmagupta (598-660) Verses formában írt (mint a többiek is), 20 kötetet, amiből 12 matematika tárgyú. Elsőként ismerteti részletesen előjeles műveletek szabályait (vagyonnak illetve adósságnak nevezve őket) Nála 0:0=0, és voltak 0 nevezőjű törtek is. A diophantoszi egyenletek általános megoldását kidolgozta. A másodfokú diophantoszi egyenlet megoldását Ácsárja Bhászkara oldotta meg a 12. században.

Ácsarja Bhászkara Leánya a legenda szerint férj nélkül maradt, és neki írta Lilávati című matematika könyvét. Egy feladat innen: az oszlop tetején páva ül, az oszlop tövében egy kígyó lakik. A kígyó jön haza,mikor is a páva megpillantja háromszor olyan messzire, mint az oszlop magassága. A páva egyenes vonalban lecsapott a kígyóra, mielőtt az beért volna az odvába és elkapta. Ha a páva és a kígyó ugyanolyan gyorsak, milyen messze voltak az oszlop tövétől a találkozás pillanatában?

Bizonyítás hiánya A bizonyítás igénye görög jellegzetesség. Máshol a tekintélyelv uralkodik: adott az eljárás, így kell csinálni Egyiptomban például Thottnak, a tudományok istenének tulajdonították az algoritmusokat. Görögöknél lehet, hogy a demokrácia hatására jelent meg a logika, a retorika és a bizonyítás. Demonstráció megmutatást jelentett a görögöknél.

Görögöknél pont a bizonyíthatóság adja a matematika tekintélyét. Kínában a leghíresebb matematika könyv a Suan Jing (kilenc fejezetes könyv). -250 körüli. Ez a könyv a hivatalnokok vizsgakönyve, ezért gyakorlati élethez kapcsolódó példákat tartalmaz. Liu Hui (+2. sz.) bizonyítja egyes algoritmusait a Suan Jingnek.