LOGIKA (LOGIC)

TUDÁSREPREZENTÁCIÓ ÉS KÖVETKEZTETÉS Analógia Hogyan oldunk meg egy problémát hagyományos programozással? Hogyan bírható rá egy számítógép, hogy megoldjon egy intelligenciát igénylő problémát? Melyek a legnehezebb lépések? Mi a tudásreprezentáció? pótlék (inkább következtetünk, mint tevékenykedünk) (erős) szemüveg médium mely lehetővé teszi a hatékony számítást az emberi kifejezést (töredékes) elmélet arról, hogy mit nevezünk intelligens gondolkodásnak

TUDÁSREPREZENTÁCIÓ ÉS KÖVETKEZTETÉS Mit várunk el egy reprezentációs nyelvtől? kifejező, tömör egyértelmű hatékony következtetést enged meg Felhasználási cél is fontos! (pl. osztás arab/római számmal) programozási nyelvek, természetes nyelvek, logika

A LOGIKA, MINT REPREZENTÁCIÓS NYELV LOGIKA ELEMEI szintaxis nyelv szimbólumai (kifejezések, amelyekkel bánni tudunk) hogyan lehet mondatokat formálni szemantika a mondatok a világ mely tényeire vonatkoznak a mondatok jelentése következtetés adott szintaxis és szemantika mellett új mondatok származtatása (mechanikus eljárások alkalmazásával)

ÍTÉLETKALKULUS (NULLADRENDŰ LOGIKA)

ÍTÉLETKALKULUS – SZINTAXIS jelkészlet elválasztó jelek: ( ) logikai műveleti jelek:      ítéletváltozók (logikai változók): p, q, r, . . . ítéletkonstansok: T, F szintaxis szabályai atomi formula (atom) minden ítéletkonstans atomi formula minden ítéletváltozó atomi formula formula minden atomi formula egyben formula is ha A és B formulák, akkor (A), (A  B), (A  B), (A  B), (A  B) kifejezések is formulák a formulaképzés szabálya rekurzív

ÍTÉLETKALKULUS – PÉLDA állítások: A1: Ha süt a nap, akkor Péter strandra megy. A2: Ha Péter strandra megy, akkor úszik. A3: Péternek nincs lehetősége otthon úszni. A4: Ha süt a nap, akkor Péter nem marad otthon. A1, A2, A3 állításokból következik-e A4? atomok (atomi formulák): p: süt a nap q: Péter strandra megy r: Péter úszik s: Péter otthon marad eredeti állítások szerkezetét tükrözi formulák: F1: p  q F2: q  r F3: (s  r) F4: p  s

ÍTÉLETKALKULUS – SZEMANTIKA logikai formula (wff): szabályos szimbólumsorozat – igazságértéke ad jelentést (szemantika szabályai szerint) formula interpretációja minden ítéletváltozóhoz igaz (T) vagy hamis (F) érték rendelése minden lehetséges módon interpretált formula kiértékelése műveleti jelek szemantikája alapján (igazságtáblák) p q p p  q p  q p  q p  q T F

IMPLIKÁCIÓ p  q Ha a-disznók-repülnek akkor 2=1.  T   F F   F F hamis előtagból bármi következik? Értelmezés lehet: „Ha p igaz, akkor azt állítom, hogy q is igaz, egyébként q-ról nem állítok semmit.” p  q  p  q

FORMULÁK INTERPRETÁCIÓJA Formula: G: (p  q)  (r  s) Lehetséges interpretációk (összesen 24): I1: (p, q, r, s) = (T, T, F, F) I2: (p, q, r, s) = (F, T, T, F) G formula igazságértéke I1 és I2 interpretációban: G(I1) = F G(I2) = T I2 interpretáció kielégíti G formulát, I2 modellje G-nek

ALAPVETŐ TULAJDONSÁGOK ÉS RELÁCIÓK Igazság Egy formula igaz, ha az, amit leír, valóban előfordul a világban. Egy formula igazsága függ a világ állapotától, és az interpretációtól (szemantikától) Érvényes formula (tautológia) A formula igazsága nem függ sem a világ állapotától, sem a szemantikától. minden interpretációban igaz, minden modellben benne van T x Kielégíthetetlen formula Kielégíthetetlen egy formula, ha a világ soha nem olyan, mint amilyennek leírja. minden interpretációban hamis, nincs modellje x F

ALAPVETŐ TULAJDONSÁGOK ÉS RELÁCIÓK Kielégíthető formula van olyan interpretációja, amelyben igaz az értéke, van modellje Kapcsolat a 3 formulaosztály között: x érvényes  x kielégíthetetlen x érvényes  x kielégíthető  Logikai kifejezések modellje (x  y)  M  x  M és y  M (x  y)  M  x  M vagy y  M x  M  x  M

FORMULÁK EKVIVALENCIÁJA Két formula ekvivalens, ha minden interpretációban ugyanaz a logikai értékük. Nevezetes ekvivalenciák, logikai törvények: A  B = (A  B)  (B  A) A  B = A  B A  B = B  A kommutatív A  B = B  A (A  B)  C = A  (B  C) (A  B)  C = A  (B  C) asszociatív A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) disztributív

FORMULÁK EKVIVALENCIÁJA Logikai törvények A  F = A A  T = A A  T = T A  F = F A  A = T A  A = F (A) = A kettős tagadás (A  B) = A  B (A  B) = A  B deMorgan A  (A  B) = A A  (A  B) = A abszorpció, elnyelés A  A = A A  A = A idempotencia

LOGIKAI KÖVETKEZMÉNY A W W formula A formulának logikai következménye, ha W igaz minden olyan interpretációban, amelyben A igaz. MI-ben: A1 , . . . , An W bizonyos formulákról tudjuk, hogy igazak (A1, . . . , An) ha W ezek logikai következménye, W is igaz esetek végignézése nélkül hogy lehet eldönteni?? a  (a  b) b a b a  b a  (a  b) T F

LOGIKAI KÖVETKEZMÉNY Logikai következmény fogalmának értelmezése az érvényesség fogalmával: A1 , . . . , An W iff (A1  . . .  An)  W érvényes. Logikai következmény fogalmának értelmezése a kielégíthetetlenség fogalmával: A1 , . . . , An W iff A1  . . .  An W kielégíthetetlen. Elnevezések: (A1  . . .  An)  W tétel A1  . . .  An tétel axiómái, feltételei W következmény, konklúzió

TÉTELBIZONYÍTÁS IGAZSÁGTÁBLÁVAL F1: p  q F2: q F3: p ?: F1  F2 F3 lehetőségek: beláthatjuk, hogy minden olyan interpretációban, amelyben F1F2 igaz, igaz F3 is bebizonyíthatjuk, hogy F1F2F3 érvényes beláthatjuk, hogy F1F2F3 kielégíthetetlen p q F1 F2 F1F2 F3 F1F2F3 F1F2F3 T F    a b c

TÉTELBIZONYÍTÁS QUINE ALGORITMUSSAL a formula egy változójának interpretálása (T, F)  két új formula eljárás folytatása mindaddig, míg a bináris fa levelein csak igazságértékek találhatók ha minden levél T, érvényes a formula (((p  q)  r)  (p  q))  (p r) ((q  r)  q)  r T r  r T T T p=T p=F q=T q=F r=T r=F

TÉTELBIZONYÍTÁS FORMÁLIS LEVEZETÉSSEL Formula formális levezetése egy axiómahalmazból axiómahalmaz (egyszerű, érvényes formulák) levezetési (következtetési) szabályok (érvényes formulákból érvényes formulát hoznak létre) p q Kleen: A  (B  A) (A  (B  C))  ((A  B)  (A  C)) (A  B)  ((A  B)  A) levezetési szabály: modus ponens Modus ponens: A, A  B B A  B A B Ha az A és az A→B formula érvényes, akkor a B formula is érvényes.

LEVEZETÉSI SZABÁLYOK Érvényes kártyák: mássalhangzó magánhangzó és páros szám Modus ponens: A  B, A B (K, E) Modus tollens: A  B, B A (7) mássalhangzó  érvényes magánhangzó  páros  érvényes magánhangzó  érvényes  páros

LEVEZETÉSI SZABÁLYOK a  b a, a  b b levezetési szabályok? F a  b a, a  b b levezetési szabályok? Helyes következtetés: Def. Ha p q, akkor p q az előállított formula logikai következmény legyen a  b b nem helyes (igazságtáblából) a  b a, modus ponens helyes (igazságtáblából) Teljes következtetés: Def. Ha p q, akkor p q mindent előállítson, ami logikailag következik modus ponens nem teljes a  b a  s b  s s ?? a b a  b T F a b a  b T F

LEVEZETÉSI SZABÁLYOK Rezolúció: a  b a  b c  a c  a c  b c  b a1  ...  am  b1  ...  bk c1  ...  cn  d1  ...  dl ahol dj = ai a1  ...  ai  ...  am  c1  ...  cn b1 ...  bk d1  ...  dj  ...  dl a1  ...  am  b1  ...  bk c1  ...  cn  d1  ...  dl ahol dj = ai a1 …  ai …  am  c1 ...  cn  b1...  bk d1 ...  dj ...  dl

TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL Rezolúciós eljárás: cáfoló eljárás (ellentmondással történő bizonyítás), mellyel egy konjunktív normálforma ill. egy klózhalmaz kielégíthetetlenségét bizonyítjuk. Konjunktív normálforma: speciális részformulák (klózok) konjunkciója klóz: literálok diszjunkciója ill. egy literál literál: egy ítéletváltozó vagy annak negáltja (p  q)  (q  r)  (s  r)  p  s Implikációs normálforma: klóz: implikáció – bal oldalon atomok konjunkciója, jobb oldalon atomok diszjukciója (p  q)  (q  r)  (s  r  F)  (T  p)  (T  s)

TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL minden formula átalakítható normálformára Transzformációs szabályok: A  B = (A  B)  (B  A) ( kiküszöbölése) A  B = A  B ( kiküszöbölése) (A  B) = A  B ( hatáskörének redukálása) (A  B) = A  B ( hatáskörének redukálása) A = A ( hatáskörének redukálása) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) (klózok konjunkciójának létrehozása) (((p  q)  (q  r)  (s  r))  (p  s)) (((p  q)  (q  r)  (s  r))  (p  s)) b.) ((p  q)  (q  r)  (s  r)  (p  s)) d.) (p  q)  (q  r)  (s  r)  (p  s) c.) e.) (p  q)  (q  r)  (s  r)  p  s c.) d.) e.)

TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL klóz alak, klóz halmaz: C1: p  q C2: q  r C3: s  r C4: p C5: s Lássuk be, hogy C1 . . . C5 klózhalmaz kielégíthetetlen indirekt bizonyítás: tfh létezik modellje (minden klóz igaz) C4 igaz, ha p = T C5 igaz, ha s = T C1 igaz, ha q = T (mivel p = F, C4-ből) C3 igaz, ha r = F (mivel s = F, C5-ből) C2 igaz, ha q = F (mivel r = F, C3- és C5-ből) ellentmondás!

TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL A bizonyítási eljárás szemléltetése: C1: p  q C2: q  r C3: s  r C4: p C5: s rezolúciós gráf, cáfolati gráf új klóz előállítása: rezolúcióval p  q s  r q  r q p s r q q r q NIL q NIL r q

TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL A1, A2, …, An B ?? A1  A2  …  An   B kielégíthetetlen igazolása rezolúciós eljárással A rezolúciós eljárás lépései: Cél tagadása, az axiómákhoz való hozzáadása Az A1  A2  …  An   B formula klóz formára hozása (kiindulási klózhalmaz) Az üres klóz (NIL) előállításáig: a klózhalmazból két rezolválható klóz választása, a kiválasztott klózok rezolvensének képzése, a rezolvens klóz hozzáadása a klózhalmazba.

TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL rezolválható klózok: komplemens literálpárt tartalmaznak komplemens literálpár: egy logikai változó és a negáltja együtt rezolvens klóz: komplemens literálok elhagyása után maradó részek diszjunkcióval összekapcsolva üres klóz: NIL, minden reprezentációban hamis rezolúció tulajdonságai: algoritmusa nemdeterminisztikus C1: p  q p  r C2: q  r p  s C3: s  r s C4: p NIL C5: s helyes (logikai következmény) teljes (minden logikai következmény belátható rezolúcióval)

PREDIKÁTUMKALKULUS (ELSŐRENDŰ LOGIKA)

PREDIKÁTUMKALKULUS Alapok: az elsőrendű logika felosztja a világot objektumokra, az objektumok tulajdonságaira, az objektumok közti relációkra. igaz vagy hamis állítások reprezentálása a kijelentések egy alaphalmaz elemeire vonatkoznak konstansok, változók, függvények, predikátumok minden, létezik

PREDIKÁTUMKALKULUS - SZINTAXIS jelkészlet elválasztó jelek: , ( ) logikai műveleti jelek:      kvantorok:   objektumváltozók, változók: x, y, z, . . . objektumkonstansok, konstansok: a, b, c, . . . függvényszimbólumok: f, g, h, . . . ítéletváltozók (logikai változók): p, q, r, . . . ítéletkonstansok: T, F predikátumszimbólumok: P, Q, R, . . .

PREDIKÁTUMKALKULUS - SZINTAXIS szintaxis szabályai term minden objektumkonstans term minden objektumváltozó term ha f n-argumentumú függvényszimbólum és t1, ... ,tn termek, akkor f(t1, ... ,tn) is term atomi formula minden ítéletkonstans atomi formula minden ítéletváltozó atomi formula ha P n-argumentumú predikátumszimbólum és t1, ... ,tn termek, akkor P(t1, ... ,tn) atomi formula

PREDIKÁTUMKALKULUS - SZINTAXIS szintaxis szabályai formula (jól formált formula, wff) minden atomi formula egyben formula is ha A és B formulák, akkor a A, (A  B), (A  B), (A  B), (A  B) kifejezések is formulák ha A egy formula és x egy változó, akkor a x A, x A kifejezések is formulák wff? szereti(Kati, kutyája(Kati)  macskája(Kati)) szereti(Kati, f drága(f)) szereti(Kati, x) x szereti(Kati, x) x szereti(Kati, x) x [P(x, y)  y Q(x, y)]

PREDIKÁTUMKALKULUS - PÉLDA állítások: A1: Van olyan páciens, aki minden doktorban megbízik. A2: A kuruzslókban egyetlen páciens sem bízik meg. A3: Egyetlen doktor sem kuruzsló. A1 és A2 állításokból következik-e A3? predikátumok: P(x): x egy páciens D(y): y egy doktor K(z): z egy kuruzsló M(x,y): x megbízik y-ban formulák: F1: x {P(x)  y [D(y)  M(x,y)]} F2: x {P(x)  y [K(y)  M(x, y)]} vagy F2: x y {[P(x)  K(y)]  M(x, y)} F3: x [D(x)  K(x)]

PREDIKÁTUMKALKULUS - SZEMANTIKA interpretáció értelmezés alaphalmazának megválasztása (U  ) hozzárendelések: minden konstans szimbólumnak egy elem megfeleltetése U-ból minden n-argumentumú függvényszimbólumhoz egy Un  U leképezés rendelése minden n-argumentumú predikátumszimbólumnak egy Un  {T, F} leképezés megfeleltetése Példa: x [P(f(x,x),a)  P(x,a)] U: természetes számok a: 1 f(x,x): x2 P(x,y): x=y x [(x2=1)  (x=1)]

PREDIKÁTUMKALKULUS - SZEMANTIKA kiértékelés ha A, B formulák igazságértéke ismert, akkor A, (A  B), (A  B), (A  B), (A  B) formulák igazságértékének meghatározása (igazságtábla) x A igazságértéke T, ha A formula minden xU esetén T, egyébként F x A igazságértéke T, ha A formula legalább egy xU esetén T,

PREDIKÁTUMKALKULUS - SZEMANTIKA Kielégíthető formula: van modellje. x [(x2 = 1)  (x = 1)] U: természetes számok  modellje U: egész számok  nem modellje Érvényes formula (tautológia): minden modellben benne van. x p(x)  y p(y) Kielégíthetetlen formula (ellentmondás): nincs modellje. x p(x)  y p(y) formulák kiértékelése az összes lehetséges interpretációban???

FORMULÁK EKVIVALENCIÁJA Logikai törvények: . Qx A(x)  B = Qx (A(x)  B) Q:  vagy  Qx A(x)  B = Qx (A(x)  B) (x A(x)) = x A(x) (x A(x)) = x A(x) x A(x)  x B(x) = x (A(x)  B(x)) x A(x)  x B(x) = x (A(x)  B(x)) Qx A(x)  Qx B(x) = Qx Qy (A(x)  B(y)) Qx A(x)  Qx B(x) = Qx Qy (A(x)  B(y)) (14) x A(x)  x B(x)  x (A(x)  B(x)) !! x A(x)  x B(x) = x A(x)  y B(y) = x y (A(x)  B(y)) - (15) x A(x)  x B(x)  x (A(x)  B(x)) !! x A(x)  x B(x) = x A(x)  y B(y) = x y (A(x)  B(y)) - (15)

F1 és F2 formulákból következik-e F3? LOGIKAI KÖVETKEZMÉNY F1: x (P(x)  Q(x)) F2: P(a) F3: Q(a) F1 és F2 formulákból következik-e F3? Logikai következmény definíciója alapján: F1 igaz minden x-re, speciálisan a-ra is F2 igaz  F3 is igaz (implikáció) Cáfoló módszer (kielégíthetetlenség): F1  F2  F3 kielégíthetetlen

TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL a1  . . .  am  b1  . . .  bk c1  . . .  cn  d1  . . .  dl ahol dj = ai a1  . .  ai . .  am  c1  . .  cn  b1 . .  bk d1  . .  dj  . .  dl Problémák: normálformára hozás kvantorok kezelése egyesítés

NORMÁLFORMÁRA HOZÁS A  B = (A  B)  (B  A) ( kiküszöbölése) A  B = A  B ( kiküszöbölése) (A  B) = A  B ( hatáskörének redukálása) (A  B) = A  B A = A x A(x) = x A(x) x A(x) = x A(x) változók standardizálása - változók átnevezése, hogy az egyes kvantorok által lekötött változók különbözzenek (nem csak formulán belül!) x (P(x)  x Q(x)) x (P(x)  y Q(y))

NORMÁLFORMÁRA HOZÁS egzisztenciális kvantorok kiküszöbölése x P(x) h háza(h, János) P(a) háza(Sk_1, János) Skolem konstans x y P(x,y) sz h háza(h, sz) x P(x, g(x)) sz háza(Sk_2(sz), sz) x1, . . . ,xn y P(y) x1, . . . ,xn P(g(x1, . . . ,xn)) Skolem függvény y x P(x, y) h sz háza(h, sz) x P(x, b) sz háza(Sk_3, sz)

NORMÁLFORMÁRA HOZÁS prenex formára hozás csak -k maradtak (a változókat standardizáltuk)  kiemelése x1 . . . xn A(x1, . . . ,xn) univerzális kvantorok elhagyása klózok kialakítása csak  és  műveletek A  (B  C) = (A  B)  (A  C) klózok konjunkciójának létrehozása konjunkciók elhagyása (klózhalmaz)

EGYESÍTÉS/UNIFIKÁCIÓ x szereti(Fifi, x) y szereti(y, alma) szereti(Fifi, alma) kötési/helyettesítési lista: véges  halmaz, amelyben minden vi változó, minden ti term és vi-k különbözőek  = {v1t1, . . . , vntn}  = {xalma, yFifi} kötés/helyettesítés: p p formula helyettesítése -val S(x, g(x, y)){x1, z345} = S(1, g(1, y)) p és q egyesíthető -val: p = q legáltalánosabb egyesítő: legrövidebb kötési lista, amely egyesít 2 formulát

EGYESÍTÉSI ALGORITMUS H = { P(x, u, f(g(x))), P(a, y, f(y)) } x, y, u: változók, a: konstans, f, g: függvény szimbólum, P: predikátum szimbólum különbségi halmaz: D D = { x, a }  = { xa } H = { P(a, u, f(g(a))), P(a, y, f(y)) } D = { u, y }  = { xa, uy } H = { P(a, y, f(g(a))), P(a, y, f(y)) } D = { g(a), y }  = { xa, uy, yg(a) } H = { P(a, g(a), f(g(a))), P(a, g(a), f(g(a))) } x = f(x) ??? f(f(f…. OCCUR CHECK – ELŐFORDULÁS-ELLENŐRZÉS

TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL A1: Van olyan páciens, aki minden doktorban megbízik. A2: A kuruzslókban egyetlen páciens sem bízik meg. A3: Egyetlen doktor sem kuruzsló. F1: x {P(x)  y [D(y)  M(x,y)]} F2: x {P(x)  y [K(y)  M(x, y)]} F3: x [D(x)  K(x)] F3 negáltja: x [D(x)  K(x)] klóz forma: K1: P(a) K2: D(y) M(a, y) K3: P(x) K(y) M(x, y) K4: D(b) K5: K(b) F1-ből, a: skolem konstans F2-ből F3-ból, b: skolem konstans

TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL P(a) D(y) M(a,y) P(x) K(y) M(x,y) D(b) K(b) x|a K(y) M(a,y) y|b M(a,b) NIL y|b M(a,b) a1  ...  am  b1  ...  bk c1  ...  cn  d1  ...  dl ahol dj = ai [a1 ...  ai ...  am  c1 ...  cn  b1...  bk d1 ...  dj ...  dl]

REZOLÚCIÓ - PÉLDA V-t meggyilkolták gyanúsítottak: X, Y, Z X: "ártatlan vagyok" ártatlan(X)  ártatlan(X) "Y barátja V-nek" ártatlan(X)  barát(Y, V) (1) "Z gyűlölte V-t" ártatlan(X)  szereti(Z, V) (2) Y: "nem voltam a városban" ártatlan(Y)  városban(Y) (3) "nem ismerem V-t" ártatlan(Y)  ismeri(Y, V) (4) Z: "ártatlan vagyok„ ártatlan(Z)  ártatlan(Z) "X és Y V-vel volt" ártatlan(Z)  vele(X, V) (5) ártatlan(Z)  vele(Y, V) (6)

REZOLÚCIÓ - PÉLDA "V-t a városban ölték meg" vele(gy, V)  városban(gy) (7) "barát  ismeri" barát(i, j)  ismeri(i, j) (8) "szereti  ismeri" szereti(i, j)  ismeri(i, j) (9) mindenki igazat mond a gyilkos hazudhat ártatlan(X)  ártatlan(Y) (10) ártatlan(X)  ártatlan(Z) (11) ártatlan(Y)  ártatlan(Z) (12) Kérdés: ártatlan(gy) ártatlan(gy)  ártatlan(gy) (13)

REZOLÚCIÓ - PÉLDA á(X)  b(Y,V) b(i, j)  i(i,j) á(Z)  ve(Y,V) ve(gy,V)  vá(gy) á(X)  i(Y,V) á(Y)  i(Y,V) á(Z)  vá(Y) á(Y)  vá(Y) á(X)  á(Y) á(X)  á(Z) á(Z)  á(Y) á(Y)  á(Z) á(Y) á(gy)á(gy) NIL á(Y)