Kvantitatív módszerek 7. Becslés Dr. Kövesi János

Mintavételi alapelvek Sokaság Minta Mintavétel Következtetés  E M L É K E Z T E T Ő F(x), M(  ), D(  ) …. g’(x), x, s, s*

Becslés A becslés elmélete Tulajdonságok - Konzisztens - Torzítatlan - Hatásos - Elégséges 

Torzítatlanság Példa: Határozzuk meg hatoldalú szabályos dobókockával történő dobások várható értékét és szórását!  = a dobott szám p k =1/6, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 M(  ) = 1/6  ( ) = 21/6 = 3,5 D 2 (  ) = 1/6  ( ) – (21/6) 2 = = 91/6 - (21/6) 2 = 546/36-441/36 = 105/36 D(  )  1,7078 Példa: Határozzuk meg hatoldalú szabályos dobókockával történő dobások várható értékét és szórását!  = a dobott szám p k =1/6, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 M(  ) = 1/6  ( ) = 21/6 = 3,5 D 2 (  ) = 1/6  ( ) – (21/6) 2 = = 91/6 - (21/6) 2 = 546/36-441/36 = 105/36 D(  )  1,7078  103

Konzisztens becslés  104

Hatásosság  105

Pontbecslés  Binomiális eloszlás  Poisson-eloszlás  Exponenciális eloszlás  Normális eloszlás lásd a következő oldalon  -ln[1-F(x)] x  107

Gauss-papír Pontbecslés folytatása   Normális eloszlás   4858  -   4565  

Intervallum becslés  Minta-2 Minta-1 Minta-3 mintáról mintára változik maga is valósz. változó adott elméleti eloszlással, szórással stb. jellemezhető 108

Intervallum becslés Az elméleti jellemzők ismeretében így a becslés egy adott nagyságú értékközzel, intervallummal adható meg. Ez az un. konfidencia intervallum - megbízhatóság ill. kockázat - mintanagyság - ingadozás  kétoldali egyoldali Az intervallum többnyire kétoldali, de ritkábban használjuk az egyoldali becslést is. 108

Várható érték becslése normális eloszlású Ha ismert az alapeloszlás szórása (  ), akkor Ha nem ismert az alapeloszlás szórása (  ), akkor Student(t) eloszlású DF szabadsági fok 

 becslése (  ismert) u  = a standard normális eloszlás értéke  108

Feladat Készítsünk becslést kétoldali esetben …. (EGIS) n = 59  = 16.72%  = 0,95  = 0,05 Kétoldali !  /2 = 0,025 kétoldali  (u) = 0,975 3,57 -4,27 <  < 3,57+4,27 -0,7% <  < 7,84% 3,57 -4,27 <  < 3,57+4,27 -0,7% <  < 7,84%   /2 111

Feladat folyt. n Adjunk n Adjunk egyoldali egyoldali becslést a hozam várható értékére!   111

Feladat folyt.  = 0,05  (u) = 0,95  < 3,57 + 3,58 = 7,15% Tehát a hozam 95%-os valószínűséggel legfeljebb 7,15%.  111

 becslése (  nem ismert) t  = t-eloszlás értéke, amely  -tól és DF-től függ  DF a szabadságfok, DF = n-1 111

Feladat Az előző feladat adatai alapján ….(EGIS) s* = 16,72% DF= n-1= 58 n = 59 s* = 16,72% DF= n-1= 58  = 0,95  = 0,05 3,57 -4,35 <  <3,57+4,35 -0,78% <  < 7,92% 3,57 -4,35 <  <3,57+4,35 -0,78% <  < 7,92%  t  /2 = 2,0 112

Összehasonlítás -0,7 <  < 7,84  ismert  nem ismert -0,78 <  < 7,92 8,54 % 8,7 % Tehát pontatlanabb a becslés az ismeretlen  miatt! 

Feladat Egyoldali intervallum…. s* = 16,72% n = 59 s* = 16,72%  = 0,95  = 0,05 t  = 1,671  Egyoldali 112

Feladat Készítsünk becslést kétoldali esetben …. n = 9  = 2 mm  = 0,95  = 0,05 Kétoldali !  /2 = 0,025 kétoldali  (u) = 0, ,2 -1,3 <  <101,2+1,3 99,9 <  <102,5 101,2 -1,3 <  <101,2+1,3 99,9 <  <102,5  /2 

Feladat n Tegyük fel, hogy az alsó határ (A) végleges selejtet jelent. Becsüljük meg, a  A értékét 95%-os valószínűséggel! n Egyoldali n Egyoldali !!!  

Feladat  = 0,05  (u) = 0,95 A = 101,2 - 1,1 =100,1 Tehát  95%-os valószínűséggel legalább 100,1 mm. 

Feladat Az előző feladat adatai alapján … s = 2 mm n = 9 s = 2 mm  = 0,95  = 0,05 101,2 -1,65 <  <101,2+1,65 99,5 <  < 102,85 101,2 -1,65 <  <101,2+1,65 99,5 <  < 102,85  t  /2 = 2,31

Összehasonlítás 99,9 <  < 102,5  ismert  nem ismert 99,5 <  < 102,85 2,6 mm 3,3 mm Tehát kb. 30%-kal pontatlanabb a becslés az ismeretlen  miatt! 

Feladat Egyoldali intervallum…. s = 2 mm n = 9 s = 2 mm  = 0,95  = 0,05 t  = 1,86  Egyoldali

Feladat A műanyagrudacskák n=25 elemű …. n = 25 s = 0,06 mm  = 0,05 DF = n-1= = 24 t  = 2,06 (kétoldali) 

Feladat A műanyagrudacskák n=25 elemű …. n = 25 s = 0,06 mm  = 0,01 DF = n-1= = 24 t  = 2,8 (kétoldali) 

Feladat A szárazelemek behozatalára vonatkozó … 19, 18, 22, 20 és 17 órát működtek n = 5 s = ? óra s = 1,7 óra 

Feladat s = 1,72 óra  = 0,05  = 0,01  = 0,001 t  = 2,78 t  = 4,60 t  = 8,61 16,8 <  < 21,6 15,3 <  < 23,1 11,9 <  < 26,5 Ha csökkentjük  értékét, azaz növeljük a megbízhatóságot, nő az intervallum,  de nő a  is!

Feladat Zománcedények peremezéséhez …. az intervallum félszélessége  =  2 N/mm 2  = 7 N/mm 2 Ha  = 99%   =0,01 u  /2 =2,58 

Feladat Ha  = 90%   =0,1 u  =1,64 !! db db 