A Kerr-téridő geodetikusai Elméleti Fizikai Iskola Budapest 2008.08.25-30.

Bevezetés A Kerr-metrika A geodetikus egyenletek - megoldásuk – szeparáció - Killing-tenzor - geodetikus teljesség Geodetikus görbék vizsgálata - Kepler-pályák – időszerű - Null pályák - Gravitációs lencsék – Einstein-gyűrűk

Ívelem - Kerr-Newman tömeg imp.mom/tömeg töltés Tengelyszimmetrikus, töltött forrás gravitációs mezejét írja le tömeg imp.mom/tömeg töltés Boyer-Lindquist koordináták: További paraméterek (összesen 7) az Einstein-Maxwell egyenletek általános, Petrov D típusú megoldásában: kozmológiai állandó, gyorsulás, mágneses töltés, NUT paraméter

Ívelem 1. Horizont: ∆ gyökei 2. Gyűrűszingularitás: Tartományok a téridőben 1. Horizont: ∆ gyökei 0 = a Schwarzschild, 0, 2m 0 < a2 < m2 lassan forgó Kerr 0 < r± = m ± (m2 - a2)1/2 < 2m a2 = m2 extrém Kerr r = m kétszeres gyök a2 > m2 gyorsan forgó Kerr nincs valós gyök 2. Gyűrűszingularitás: A görbületi invariánsok, pl. a = 0.8 e = 0

A geodetikus egyenlet Kerr-koordináták: (a sokaság nagyobb részét fedik le) Töltött részecske mozgása a KN téridőben (Carter, 1968) μ: tömeg, ε: töltés τ sajátidő szerinti kovariáns derivált A Lagrange-függvény: · a λ (affin) paraméter szerinti derivált A geodetikus egyenletek esetén teljesülnek, ami a normálási feltétellel ekvivalens

A geodetikus egyenlet Az impulzus és a Hamilton-függvény: H nem függ λ-tól, ezért megmaradó (a részecske nyugalmi tömege) A legegyszerűbb vektorpotenciál, amiből ugyanaz a térerősség-tenzor származik: Az impulzus és az inverz metrika:

A geodetikus egyenlet A Hamilton-függvény: Megmaradó mennyiségek: H = H(r,θ) energia impulzusmomentum Schwarzschild-téridőben 4 Killing-vektor: ∂/∂t + gömbszimmetriából adódók + geodetikusokra mindig létező mozg.áll: Imp.mom iránya → egyenlítői mozgás

A geodetikus egyenlet További megmaradó mennyiségek? Vizsgáljuk a Hamilton-Jacobi-egyenletet! Ha létezik szeparálható megoldás, akkor Felhasználva, hogy A szeparációs állandó pozitív A hatás bevezetése nélkül látható, hogy ezen mennyiségek Hamilton-függvénnyel vett Poisson-zárójele eltűnik

A geodetikus egyenlet Az egyenletek megoldása: Ezek segítségével kifejezhetők a mozgásegyenletek: Boyer-Lindquist koordináták:

Geodetikus teljesség A mozgásegyenletek integrál-alakja: A geodetikus teljes, ha a λ affin paraméter tetszőleges értéket felvehet a görbe mentén. Ez teljesül, kivéve, ha elérjük a szingularitást, vagy az integrálok divergensek: ∆ = 0 és Θ = R = 0 Θ = R = 0: λ teszőlegesen nagy lehet, kivéve, ha r = cos(θ) = 0 teljesül ∆ = 0: a geodetikusok folytathatók egy másik térképre

Killing-tenzor Carter néhány héttel az előző eredmények megadása után meghatározta azt az általános metrikaalakot, amiből szeparálható mozgásegyenletek adódnak. Walker, Penrose (1970, K) és Hugston, Penrose (1972, KN) vizsgálták a kvadratikus első integrál eredetét. Szimmetrikus, m-edrendű tenzor, ami kielégíti a Killing-egyenletet Spúrmentes része a konform Killing-tenzor Pl.: a metrikus tenzor és Killing-vektorok Kab=ξ(aηb) alakú szorzata, ezek (állandó együtthatós) lineárkombinációi + nem-triviális Killing tenzorok Kerr-téridő esetén: Áll.: ha a konform Killing-tenzorra teljesül, hogy Pab;a egy gradiens, akkor a Pab–ból származó Kab Killing-tenzor

Killing-tenzor Killing-spinor (Hughston, Penrose 1972): Legyen és normált spinor diád, melyek null-vektorai nyírásmentes null-geodetikusok érintői, és legyen komplex skalár, hogy kielégíti a forrásmentes Maxwell-egyenleteket: Ekkor a Killing-spinor kielégíti a egyenletet, valamint a szimmetrikus spúrmentes tenzor a konform Killing-egyenletet A Killing-tenzorra vonatkozó tételek: T.: 4 dimenziós téridőben max. 50 db lineárisan független kétindexes Killing-tenzor létezik (állandó görbületű terekben valósul meg). T.: Minden Petrov D típusú vákuum téridőben (a C-metrika és általánosításai kivételével) létezik Killing-tenzor

Geodetikus görbék vizsgálata TEST (Traction of Events in Space-Time) (M. Johnston and R. Ruffini, 1974) A. Pierelli szobra

Marcel Grossmann díj Roy Kerr átveszi a Marcel Grossmann (MG11, 2006) díjat a 70. születésnapja alkalmából rendezett konferencián (Kerr Fest, Christchurch, 2004)

Geodetikus görbék – általános tulajdonságok A θ mozgás Θ > 0, független ε,e és m-től - Q > 0: θ mozgás, mely metszi az egyenlítői síkot, cos(θ) = 0, és kiterjed a szimmetriatengelyig, sin(θ) = 0, ha Φ = 0 és Q+a2(E2-μ2) ≥ 0. θ = áll = 0 megoldás, ha Φ=0, Q+a2(E2-μ2)=0, mozgás a szimm.tengely mentén. - Q = 0: θ = áll = π/2, egyenlítői mozgás. θ = áll, ha Φ=0, a2(E2-μ2)=0. θ mozgás elegendően nagy energia, a2(E2-μ2) > Φ2, esetén az egyenlítői síkot egyik oldalról érintve, ami kiterjed a szimmetriatengelyig, ha Φ = 0. - Q < 0: nincs megoldás, kivéve, ha a2(E2-μ2) > Φ2 és Q ≥ -{[a2(E2-μ2)]1/2 - |Φ|}2 . Ekkor θ az egyenlítői síkot nem érintő tartományban mozog, ami kiterjed a szimmetriatengelyig, ha Φ = 0.

Geodetikus görbék – általános tulajdonságok A radiális mozgás r4: E2 < μ2 esetén kötött pályák (szökési energia) r0: az r = 0 hiperfelület nem érhető el Q > 0 esetén. Az egyenlítői síkból sem érhető el a szingularitás miatt. Q=0 esetén az r = 0 felület a2(E2-μ2) > Φ2 esetén keresztezhető (θ mozgás). A gyűrűszingularitás (r = cos(θ) = 0) elérhető Q = 0 esetén, továbbá teljesülnie kell (r0 együtthatója alapján): Φ = aE, vagy e = 0 (Kerr). Idő és fényszerű geodetikusok esetén (μ2 ≥ 0) a Φ = aE egyenlőség nem kompatibilis a2(E2-μ2) > Φ2 -el, így a szingularitás egyenlítői mozgás esetén érhető el. e = 0: Boyel és Lindquist vizsgálta, adott imp.momentum és elegendően nagy energia esetén az idő és fényszerű geodetikusok elérik a szingularitást. e ≠ 0: r2 együtthatója pozitív: ε2 ≥ (1+a2/e2) μ2, elegendően nagy töltésű részecske esetén teljesül. ε = 0, μ2 > 0: csak Schw. esetben teljesíthető, időszerű görbék nem, de fényszerű görbék (ε = 0, μ = 0) elérik a szingularitást.

Geodetikus görbék Radiális mozgás (e=0) Null-geodetikusok, (r,θ) sík, a=0.8, R(r = rs)=0 Időszerű geodetikusok rs = 1.85, Q = 1.65 rs = 3, Q = 27 Q = 0 Q = -0.3 rs = 4 rs = 5.4

Geodetikus görbék Egyenlítői mozgás, periodikus pályák (e = 0) (Levin és Perez-Giz, 2008) A mozgást jellemző frekvenciák: A periodikus pályákat racionális q, és így a (z,ω,v) számhármas jellemzi (a pályaperiódus a radiális periódus z-szerese, ∆φ = z ∆φr , 1 ≤ v ≤ z-1). Adott (z,ω,v), a és L esetén meghatározható E és a radiális fordulópontok, hogy zárt pályát kapjunk. a=0, L=3.98, E=0.973 a=0, L=3.72, E=0.966 a=0, L=3.83, E=0.979

Geodetikus görbék Az általános mozgás közelíthető periodikus pályával, pl.: legyen ω+v/z = 1+1/3+δ, ahol δ≈1/100 (perihélium elfordulás) a=0, L=3.834, E=0.979 Adott a és L esetén qc ≤ q ≤ qmax teljesül, ahol qc a körpályához, míg qmax a max. energiájú kötött pályához tartozó érték. Newtoni határesetben ezek a határok 0-hoz tartanak (Kepler-ellipszis)

Geodetikus görbék Kerr-geodetikusok (a=0.995) L=1.82 L=2

Gravitációs lencsézés {rS, θS, φS} {r0, θ0, φ0=0} Fényelhajlás (gyenge, erős elhajlás) Mi a kapcsolatot a forrás képének {θ1, θ2} és pozíciójának {B1, B2} koordinátái között? A megoldás vezető rendje: ahol θ ≈ 0 esetén : elhajlás szöge sorfejtés εm és εa szerint, ahol, (J^2+Q)1/2 impakt paraméter a=0 esetén.

Einstein-gyűrűk Ha B = 0 (forrás a lencse mögött):

Ívelem Killing-horizont, az időszerű Killing-vektor jellege változik A fekete lyuk forgásával egyirányú mozgás lehetséges, (Vishveshwara, 1968) A görbületi invariánsok, pl.