Dekoherencia időfüggő külső tér jelenlétében

Vázlat Bevezetés: Nyílt kvantumrendszerek néhány kvalitatív tulajdonsága, beszédmód, jelölések A dinamika szokásos leírása egyszerű nyílt rendszerekben (kvantum dinamikai félcsoport, master/mester egyenlet): dekoherencia Időfüggő Hamilton operátorok és a Floquet állapotok Markovi master egyenlet a Floquet bázison egy példán keresztül: molekuláris nanomágnesek (SMM: single molecule magnet) hiszterézise Irodalom: Breuer, Petruccione (Oxford Univ. P.), Walls, Milburn (Springer), Joos et al. (Springer)

Klasszikus kvantummechanika (zárt rendszer) S, H Hilbert-tér S, Hamilton Operátor H Aktuális állapot Dinamika Schrödinger vagy Neumann (von Neumann -Liuoville) egyenlet

Dinamika zárt rendszerben Az időfejlődés unitér Apróságok Neumann egyenlet integrálalakja Schrödinger, Heisenberg és kölcsönhatási kép

Nyílt rendszer Együttesen: A teljes rendszer dinamikájára minden eddigi igaz, de minket csak S érdekel (és a legtöbbször nem is tudjuk megoldani a teljes rendszerre vonatkozó problémát) A releváns mennyiség: (redukált sűrűségoperátor)

? Nyílt rendszer dinamikája A dinamikai leképezés az egyenletből adódik, és megőrzi a sűrűségoperátor pozitivitását, konvexitását, nyomát (Tr).

Markov folyamat A dinamikai leképezések egyparamétéres A(t) családjának ismerete a vizsgált rendszer jövőjének teljes ismeretét is jelenti (jelentené). Meghatározások azonban nehéz, és sokat segít ha a környezet memóriája rossz. Ekkor írhatjuk: Ennek a félcsoportnak a legáltalánosabb generátorai a lenti egyenlet jobb oldalán láthatók G. Lindblad, Commun. Math. Phys. 48, 119 (1976) : A fenti a legáltalánosabb korlátos generátor szeparábilis Hilbert-téren (ha megszámlálhatóan sok k index van)

A Lindblad-alakú egyenletek tulajdonságai Termodinamikai értelemben irreverzibilis folyamatot írnak le (Egy stacionárius állapothoz képesti relatív entrópia vizsgálatával látható be) Termikus egyensúlyban lévő környezet esetén a vizsgált rendszer végül szintén egyensúlyba kerül a környezettel (azonos lesz a hőmérsékletük) Dekoherencia lép fel

Dekoherencia Legtágabb értelemben a kvantumos értelemben vett interferenciaképesség eltűnését jelenti. (Emiatt hozható kapcsolatba a kvantum-klasszikus határ kérdésével) A környezet által előidézett dekoherenciamodellben a teljes (S+B) dinamika kvantumos, ugyanakkor a két részrendszer között felépülő korrelációk miatt S állapota (ami a teljes sűrűségoperátorból B-re vonatkozó Tr művelettel adódik) akkor sem lesz tiszta állapot, ha kezdetben az volt. Gyakran találhatók olyan kvantumállapotok, amelyek a dekoherenciafolyamat „célállomásai,” mintha a környezet bizonyos értelemben mérné rendszerünket, és a mérési folyamat eredményeképpen ezek a mutató (pointer) állapotok valósulnának meg. Konkrét alakjukat az S-B kölcsönhatás határozza meg.

Hogyan kaphatunk Lindblad-alakú egyenletet? Értelmes közelítések sorozatával… (Born-Markov) Kölcsönhatási kép (V szerint)

A Lindblad-alak biztosításához szükség van még egyfajta „forgóhullámú közelítésre” (RWA), ami a gyorsan oszcilláló tagok elhagyását jelenti. Pl. „egyetlen oszcillátor sok termikus másik között” Ha oszcillátorunk nem a keltő, eltüntető, hanem a sorszámoperátoron keresztül csatolódik a többihez:

Más kölcsönhatás – más pointer állapot

Azonos kölcsönhatás, kicsit más rendszer – más pointer állapot

A Markov-közelítésen túl Természetesen lehetséges (és időnként szükséges) pontosabb közelítést alkalmazni, csak ekkor szükségképpen bonyolultabb lesz a dinamika számítása. Nakijima-Zwanzig projekciós módszer: a teljes (S+B) Hilbert téren definiálunk két, egységre összegződő projektort, az egyik a dinamika releváns részét adja, a másik pedig az általunk érdektelennek ítélt információt. Integro-differenciálegyenletre visz. A „konvolúciómentes” módszerek szisztematikus perturbatív kifejtést tesznek lehetővé. + egzaktul megoldható modellek

Explicit időfüggés Az energia (illetve <H>) még zárt rendszer esetén sem megmaradó mennyiség, és a nyílt rendszer dinamikájának végállapota sem termikus egyensúly a környezettel. (Izolált és zárt rendszer, klasszikus Noether illetve Ehrenfest tétel) Fizikai kérdések: a dinamika miben más a külső térrel hajtott nyílt és zárt rendszerekben, mit mondhatunk pl. a dekoherencia irányáról. (Annyit biztosan, hogy a pointer állapotok jó eséllyel időfüggők lesznek.) Technikai értelemben a kérdés az, hogyan is juthatunk a problémát legalább markovi értelemben jól leíró, ugyanakkor még megoldható modellhez.

Speciális eset: Periodikus külső tér Kvantumoptikai problémák félklasszikus leírásánál gyakran találkozunk periodikus időfüggésű Hamilton operátorral, ami a pl. az erős lézertér hatását írja le. A dolog kicsit a gerjesztett oszcillátorra emlékeztet, „végül úgyis periodikus lesz a megoldás” Elegendően intenzív gerjesztés esetén a nemlinearitások jelentősége megnő, így felharmonikusok is megjelennek. Módszer: Oldjuk meg a zárt rendszer dinamikáját a gerjesztés jelenlétében, majd abból tanulva tegyük hozzá a környezet hatását.

Példa (nem optikai, de mégis) S Hamilton oparátora: A Landau-Zener-Stückelberg model „periodikus változata” Energiaszintek Mondjuk egy spin Zeeman módon csatolva oszcilláló mágneses térhez. (Észrevétel: Hs unitér ekvivalens az RWA nélküli „klasszikus” Rabi probléma Hamilton operátorával) idő Környzet: Kölcsonhatás:

Molekulamágnesek (Motiváció) -3/2 +2 Mn12 (S=10) [Mn12(CH3COO)16(H2O)4O12]. 2CH3COOH.4H2O 12 Mn atom: 4 Mn4+ S=3/2 három 3d electron 8 Mn3+ S=2 négy 3d electron Teljes spin: S =10 Tetragonális szimmetria (D. Gatteschi et al., Molecular Nanomagnets, Oxford Univ. Press, 2006.) T. Lis, Acta Crystallogr. Sec B 36 (1980) 2042

Skálák W. Wernsdorfer

Mn12 kísérlet I Mertes et al. PRL 87, 227205 (2001).

Mn12 számolás

Rezonáns alagutazás elkerült nívókereszteződéseknél: B0 -függő energiák

Mn12 kísérlet II. Mertes et al. J. Appl. Phys. 93, 7095 (2003).

Blokkdiagonális végtelen mátrix Floquet állapotok (Zárt kétállapotú rendszer) Állítás: Létezik egy „időfüggő bázis”, aminek az elemei sajátállapotai az időfüggő H-nak Kérdés: Hogyan kereshetjük meg ezeket az állapotokat és a hozzájuk tartozó „kvázienergiákat”? (Vegyük észre, hogy ekkor az időfüggetlen esethez hasonlóan lényegében megoldottuk a dinamika problémáját.) Válasz: Fourier sorfejtéssel. Így az időfüggő kétdimenziós probléma időfüggetlen, végtelen dimenzióssá válik. De levágható… Veszünk egy bázist: Blokkdiagonális végtelen mátrix G. Floquet Ann. Sci. Ec. Normale Super. 12, 46 (1883).

Floquet állapotok II. A végtelen mátrixra vonatkozó sajátértékegyenlet: (H itt valójában HS(t) -i x időderiválás kifejtése a Fourier bázison.) Valójában végtelen sok kvázienergia van, de amelyek W egész számú többszörösében különböznek, azok dinamikai szempontból ekvivalensek. A dolog kvantált tér és a kétállapotú rendszer együttes energiáira emlékeztet, a fentiek a lehetséges átmeneti frekvenciák.

A példában A Schrödinger egyenlet: Gyenge tér esetén az energiakülönbség közel esik a klasszikus, RWA-t tartalmazó Rabi frekvenciához és a megfelelő Floquet állapotok kevés frekvenciát tartalmaznak észrevehető súllyal. Erős térben jelentősen különbözik -től, és sok felharmonikust látunk.

Dinamika dekoherencia nélkül Vegyük észre a Rabi jellegű oszcillációkat a gyengén gerjesztett esetben.

Master egyenlet A Floquet spektrum lehetséges átmenetei a rezonáns környeti módushoz csatolódnak. Born-Markov közelítésben, és az S-B kölcsönhatás leírásakor RWA alkalmazásával kapjuk a kölcsönhatási képbeli master egyenletet. (Nincs RWA a mező-spin csatolásban) A környezet termikus egyensúlyban van, Tr hőmérsékleten. H.-P. Breuer et al., Phys. Rev. A 55, 3101 (1997). ahol S(ω) pedig a csatoló S spinoperátor frekvencia szerint felbontott kompnenseit jelöli. S. Az összegzés a lenti halmaz összes pozitív frekvenciájára kiterjed:

Dinamika a nyílt rendszerben: pointer állapotok Hosszútávú limeszben a megoldások periódusa megegyezik a gerjesztő térével. A kétnívós rendszer redukált sűrűségmátrixa diagonális lesz a Floquet bázisban. Így a Floquet állapotok időfüggő pointer állapotoknak tekinthetők.

Kvázistacionárius mágnesezettségi görbék Ha a kétnívós rendszerre mint feles spinű részecskére gondolunk, akkor <σz> függése a külső periodikus mágneses tértől hiszterézisgörbének tekinthető. A Floquet állapotok periodicitása miatt a kvázistacionárius megoldások zárt görbéket jelentenek.

Konvergencia a kvázistacionárius görbék felé I. Alacsony hőmérsékleten: kBTr/Ω=1

Konvergencia a kvázistacionárius görbék felé II. Magas hőmérséklet: kBTr/Ω=600

Összevetés a kísérleti eredményekkel Mertes et al. J. Appl. Phys. 93, 7095 (2003). A kísérletben T=10 s, ehhez képest a dipól-dipól és hiperfinom kölcsönhatások lényegében pillanatszerűen elrontják a fázist.

Összefoglalás Nyílt kvantumrendszerek dinamikája minőségileg eltér a tankönyvi kvantummechanika szabályaitól. A rendszer nyitottsága dekoherenciához vezet. A dekoherencia dinamikai leírására jó esetben alkalmasak a markovi master egyenletetek. Megfelelő feltételek mellett periodikus (akár erős) külső tér esetén is megalkotható egy releváns markovi master egyenlet.

Irodalom (Könyvek) H. –P. Breuer, F. Petruccione, The Theory of Open Quantum Systems, Oxford Univ. Press, 2002. D. F. Walls, G. J. Milburn, Quantum Optics, Springer 1995. D. Giulini, E. Joos, C. Kiefer, J. Kupsch, I.-O. Stamatescu, H. D. Zeh, Decoherence and the Appearance of a Classical World in Quantum Theory, Springer 1996., 2010. D. Gatteschi, R. Sessoli, J. Villain, Molecular Nanomagnets, Oxford Univ. Press, 2006