Műszaki és környezeti áramlástan I. Gyakorló példák IV.1. Bernoulli egyenlet ideális folyadékokra

4. Példa: Súrlódásmentes, osszenyomhatatlan folyadék áramlása 4. Példa: Súrlódásmentes, osszenyomhatatlan folyadék áramlása. Adatok:p0=105 Pa; ρ=1020 kg/m3; H=6 m; h=1m; z=1,85 m; d=120 mm. Kérdések: vA=?; pB=?; qv=? Megoldás: 1 2. 1. pont: 2. pont: Bernoulli A és 2:

5. Példa: Súrlódásmentes, összenyomhatatlan folyadék stacionárius kiáramlása végtelen nagy, nyitott tartályból. Adatok: p0=105 Pa; ρ=1000 kg/m3; H=4,13 m; h=1 m. Mekkora a kifolyócső A pontjában a statikus nyomás és az össznyomás? Megoldás? Bernoulli egyenlet az A pont és a cső kiömlő vége között: Így a statikus nyomás: Bernoulli egyenlet a folyadékfelszín és a cső kiömlő vége között:

A dinamikus nyomás: Az össznyomás:

6.Példa: Súrlódásmentes, összenyomhatatlan folyadék stacionárius kiömlése a végtelen nagy keresztmetszetű tartályból. Adatok: p0=105 Pa; ρ=1020 kg/m3; H=4 m; h=2 m; z=1 m; L=4 m. Felrajzolandó léptékhelyes energiadiagram az A-B-E-C-D ívhossz mentén. Megoldás: Bernoulli egyenlet a folyadékfel-szín és a cső kiömlő vége között: Energiarészek az A pontban:

Bernoulli egyenlet az A pont és a B pont között: Energiarészek az B pontban: Bernoulli egyenlet az A pont és a C pont között: Energiarészek a C pontban:

Energiarészek a D pontban:

7. Példa: Összenyomhatatlan, súrlódásmentes folyadék stacioner kiáramlása a végtelen nagy keresztmetszetű tartály alján lévő és bővülő toldattal ellátott kiömlőnyiláson keresztül. A folyadék jellemzői: ρ=1020 kg/m3 a sűrűsége és ps= 47 kPa a telítési nyomása. Mekkora a kiömlőnyiláson kiömlő térfogatáram lehetséges legnagyobb értéke? Megoldás: A kiáramlási sebesség a cső végén: A térfogatáram – sebesség – tehát annál nagyobb, minél magasabb a tartályban lévő szabad felszín, de a H növekedésével a vki mellett a folytonosság tétele szerint a kiömlőnyilás fölött h magasságban lévő legszűkebb keresztmetszetbeli v1 sebesség is növekszik.

Ez a sebesség növekedés maga után vonja a nyomás csökkenését a legszűkebb keresztmetszetben. Határesetben ez a nyomás a telítési nyomásig csökkenhet (ez esetben gőzképződés miatt megszakad a normális kifolyás). Határesetben a Bernoulli egyenlet a legszűkebb keresztmetszet és a cső vége között felírva: Továbbá: A kontinuitásból: Ezek helyettesítésével:

Ennél a szintmagasságnál a maximális kiömlési sebesség: A maximális térfogatáram:

8. Példa: Az a=12 m/s2 gyorsulással függőlegesen fölfelé mozgó szerkezetben (pl. helikopter) lévő zárt tartályból stacionáriusan áramlik ki az összenyomhatatlan súrlódásmentes folyadék (a felszín végtelen nagy). Adatok: p0=100 kPa; pt=1,5·105 Pa; ρ=1000 kg/m3; H=1,5 m; h=0,45 m; d=50 mm. Keresett a kilépő térfogatáram és a kiömlőcső A pontjában uralkodó nyomás. Megoldás: A Bernoulli egyenlet a felszínre és a kilépő keresztmetszetre:

Bernoulli egyenlet az A pont és a cső kiömlő vége között:

9. Példa: Az időben állandó u sebességgel mozgó kocsira szerelt, végtelen nagynak tekinthető keresztmetszetű tartályból qV0=0,014 m3/s térfogatáram lép ki. A folyadék összenyomhatatlan és súrlódásmentes. Adatok p0=100 kPa; ρ=1000 kg/m3; H=1,2 m; L=10 m; d=0,05 m. Mekkora lesz a térfogatáram, ha a kocsit állandó erővel fékezzük, úgy, hogy lassulása a=2 m/s2 értékű lesz (a kiáramlást a fékezés tartalma alatt stacionernek tekintjük)? Megoldás: A qV0 adott térfogatáram a H szintkülönbség és a zárt tartályban lévő (pt-p0) túlnyomás hatására jön létre. Ebből a feltételből megállapíthatjuk a pt nyomást. A kiömlési sebesség az egyenletes mozgás esetén:

A Bernoulli egyenlet a felszínre és a kilépő keresztmetszetre: A lassulás hatására a tartályban a folyadékfelszín ugyan megdől, de sík marad. A tartály légtérfogata – az ábra szerint – változatlan marad, így a pt-p0 túlnyomást a lassulás nem befolyásolja. Ami a kocsi egyenletes mozgásakor meglévő viszonyokhoz képest változik, az a kiáramlási sebesség (a kiáramlás most ugyanis a túlnyomás mellett a gravitációs és a tehetetlenségi erőtér hatására jön létre).

A tartálybeli folyadékfelszín a ga=-a tehetetlenségi térerősség és a gg gravitációs térerősség gr eredőjére merőlegesen áll be. A Bernoulli egyenlet a kocsival együttmozgó koordináta-rendszerben a tartálybeli folyadékfelszín 1 pontja és a csővégi 2 pont között felírva: Ebből ( v1=0) a kiáramlási sebesség a fékezés idején: A keresett térfogatáram: ami kisebb, mint a kocsi egyenletes mozgása esetén qki0 volt. A kiömlési sebesség képletéből látható, hogy a fékezés túl erős, vagyis ha a lassulás az feltételnek tesz eleget, akkor az adott berendezésből megszűnik a kiáramlás.

10. Példa: Inkompresszibilis, súrlódásmentes folyadék áramlik ki a tartály aljához csatlakozó, állandó szögsebességgel forgó hengeres csövön. Adatok: p0=105 Pa; ρ=1000 kg/m3; H=1,02 m; h=0,2 m; r=0,5 m; ω=20 1/s. Mennyi a kiáramló folyadék térfogatárama? Megoldás: Bernoulli egyenlet a felszín és a forgó csőbe való belépés (1) közé (álló rendszerben): Bernoulli egyenlet a forgó csőbe való belépés (1) és a kiömlés (2) közé (forgó rendszerben, mert úgy stacioner): Emlékeztető:

A (p0-p1) két kifejezését egyenlővé téve:

*. Példa: Az R=0,3 m sugarú, henger alakú edény ω=10 1/s, időben állandó szögsebességgel forog függőleges tengelye körül. Az edény nyugalmi helyzetében H0=1,4 m magasságig ρ=1300 kg/m3 sűrűségű folyadékkal van feltöltve, amely forgás közben fölveszi az edény szögsebességét és azzal együtt merev testként forog. A forgástengelyben d=20 mm átmérőjű cső merül a folyadékba, amelyen keresztül (szivattyúval) qV=4,07·10-4 m3/s folyadékot vezetünk el. Az edény az átáramló folyadék szempontjából végtelen nagynak tekinthető, az áramlás tehát stacioner. A környezeti nyomás p0=100 kPa. A folyadékot tekintsük ideálisnak.