Mérnöki Fizika II. 4.-5. előadás PTE-PMMK Környezetmérnöki Szak Mérnöki Fizika II. 4.-5. előadás Anyagi pont kinetikája Dittrich Ernő egyetemi adjunktus dittrich@witch.pmmf.hu

Anyagi pont kinetikája - alapfogalmak A kinetika a test mozgásállapotának megváltozásának okait tárgyalja Tömeg: jele m mértékegysége [kg] Erő: jele F mértékegysége [N] Newton második axiómája: Ahol R a testre ható erők eredője Adott pályán vagy derékszögű koordináta rendszerben vizsgálva:

Kinetikai egyensúly D’Alembert elv: Az (ma) mennyiséget D’Alembert tehetetlenségi erőnek nevezte el. A D’Alembert segítségével a mozgó testekre ható erők egyensúlya magyarázható. Az így fennálló egyensúly kinetikai egyensúlynak nevezzük. A kinetika két alapfeladata: Ismert mozgás létrehozásához szükséges erő meghatározása (példa) Adott erők hatására létrejövő mozgás meghatározása (példa)

A mozgásmennyiség változásának tétele (impulzus tétel) és a mozgásmennyiség megmaradásának tétele A mozgásmennyiség változásának tétele (impulzus tétel): A tömegre ható erő adott időtartamra vett határozott integrálja megegyezik a mozgásmennyiség adott időtartam alatti megváltozásával. Az egyenlet jobb oldalán található kifejezést az erő impulzusának [Ns] nevezzük. (példa) A mozgásmennyiség megmaradásának tétele: Ha egy anyagi pontrendszerre külső erő nem hat, a rendszer mozgásmennyisége állandó. (példa)

A perdület változásának tétele - alapfogalmak Egy m tömegű anyagi pont mozgásmennyiségének és helyzetvektorának vektoriális szorzatát perdületnek vagy más néven kinetikai nyomatéknak nevezzük. Az m tömegű anyagi pont helyzetvektorának és a rá ható erők eredőjének vektoriális szorzatát az anyagi pontra ható nyomatékösszegnek nevezzük. Levezethető, hogy ez egyenlő a perdület idő szerinti deriváltjával.

A perdület változásának tétele Perdület változásának tétele: egy m tömegű anyagi pontra ható erők eredőjének egy fix pontra vonatkozó nyomatékösszegének két pont közti idő szerinti integrálja egyenlő az anyagi pont ugyanarra a pontra vonatkozó perdületének két időpont közötti megváltozásával. Ha az anyagi pontra ható erők eredőjének hatásvonala átmegy a fix ponton (nyomatékösszeg értéke: 0), akkor az anyagi pont centrális erőtérben mozog. (pl. gravitációs erőtérben szabadon esés esete). Igazolható, hogy amennyiben az anyagi pont centrális erőtérben mozog, a mozgása állandó perdületű síkmozgás lesz. (példa)

Az erő munkája I. A munka az F erő hatására történő elemi lemozdulások kezdeti és végállapotok közötti helyzetvektor szerinti határozott integrálja: A munka jele L, mértékegysége 1 Nm=1 J (Joule) Egyenes vonalú mozgás esetén az elmozdulás irányú erőkomponenst vesszük figyelembe a munka számításánál:

Az erő munkája I. – rugón végzett munka Egyik végén rögzített rugó másik végére anyagi pontot helyezünk. Az anyagi pont mozgatásával a kialakuló rugóerő arányos az elmozdulással (F=-k*x). Így a rugó két állása között végzett munka: Amennyiben a kezdeti állapot kinyúlás mentes állapot volt (x1=0):

A mozgási energia változásának tétele Az anyagi pont mozgási energiája [Nm]: A mozgási energia változásának tétele: az m tömegű anyagi pont mozgási energiájának valamely útszakaszon történő megváltozása egyenlő a pontra ható erők által ugyanazon útszakaszon végzett munkával.

A teljesítmény Az átlagos teljesítmény: adott idő alatt végzett munka (ΔL/Δt). Ennek határátmenetét képezve a teljesítmény összefüggését kapjuk: A levezetésből jól látható, hogy a teljesítmény adott időpontban egyenlő a pont sebességvektorának és a pontra ható erő vektorának skaláris szorzatával. A teljesítmény mértékegysége a watt [W]=[J/s]=[Nm/s] (példa)

Potenciális energia, a mechanikai energia megmaradásának törvénye A helyzeti potenciál és a potenciális (helyzeti) energiát már előző félévben definiáltuk, mely szerint az anyagi pont helyzeti energiája gravitációs erőtérben: A potenciálos erőtérben végzett munka a kezdeti és végállapothoz tartozó helyzeti energiák különbségével egyenlő: Mechanikai energia megmaradásának tétele: a potenciális térben lévő anyagi pont kinetikai és helyzeti energiájának összege állandó: (példa)

Járművek mozgása Menetellenállás: a jármű mozgása során a belső súrlódásból, a gördülési ellenállásból és a közegellenállásból összeadód ellenállás érték: Ahol µ [N/N] az ún. menet ellenállási tényező, melyet jelen tárgy kapcsán közelítőleg állandónak tekintünk. Mivel értéke általában elég kicsi, ezért praktikussági szempontok miatt a nagyított értékét fogjuk használni, melynek a mértékegysége [N/kN].

Kis hajlásszögű lejtőn való mozgás Kis hajlásszögű lejtő esetében bizonyos közelítésekkel egyszerűsíthetőek a számítások: Kis hajlásszög esetén a sinα≈tgα közelítés is alkalmazható. Az ezrelék bevezetésével e=1000*tg α [‰] a súlyerő lejtő irányú komponense: (Példa)

Köszönöm a figyelmet!