NUMERIKUS MÓDSZEREK II Permanens felszíngörbe számítás prizmatikus és természetes medrekben

Permanens felszíngörbe számítás prizmatikus medrekben A felszíngörbe numerikus maghatározása akkor lehetséges, ha ismerjük a nyílt felszínű csatorna (vagy vízfolyás) keresztszelvényeinek alakját, az érdességi tényezőt, a hossz mentén állandó vagy változó vízhozamot és a legalsó szelvény vízszintjét (áramló vízmozgás esetén!).

A felszíngörbe számításának matematikai modellje és számítógépes algoritmusa A matematikai modell felállítása

A matematikai modell felállítása Kiindulás: A permanens áramlás teljes keresztszelvényére kiterjesztett Bernoulli-egyenlet:

A képletben szereplő tényezők: 1 és 2 - alsó indexek az egyes hidraulikai jellemzők vízfolyás irányában a felső ill. az alsó értékére utalnak, valamint Z - a vízszint a viszonyítósík felett, p - a nyomás, v - a szelvény középsebessége,  - az egyenlőtlen sebességeloszlást figyelembe vevő tényező (diszperziós- vagy Coriolis tényező),  - a folyadék fajsúlya, g - a nehézségi térerősség, hv - az 1-2 szakaszon az energiaveszteség.

Tüntessük fel az előbbi ábrán az energiavonalat is! Lagrange szerint: ha az energiavonal folytonos és a x tartományban folytonosan differenciálható. - az energiavonal átlagos esése az 1-2 szakaszon, - az 1-2 szakaszon az energiavonalat egy közbenső i pontban érintő egyenes esése.

A két szelvény (1-2) közötti energiaveszteség: Chézy szerint ebből következően: itt: az energiaveszteség:

Egyszerűsítések - a nyílt felszínről lévén szó p1 = p2, - megfelelően kicsi x távolságot választva, a szelvények közötti sebességváltozástól eltekinthetünk, azaz - a C sebességi tényezőre alkalmazhatjuk a Manning-Strickler-féle összefüggést

A Bernoulli-egyenlet ezek után: Marad tehát Ebbe hv-t behelyettesítve: Figyelembe véve, hogy

Áttérve infinitezimális hosszúságokra Állandó S0 fenékesést véve az ábra jelölései alapján:

a matematikai modellt jelentő differenciálegyenlet - elsőrendű nemlineáris közönséges differenciál egyenlet - analitikus megoldása a legegyszerűbb négyszögszelvény esetében sem lehetséges - közelítő numerikus módszert kell alkalmazni

Számszerűsítsük a feladatot! B0= 2,0 m - a fenékszélesség,  = 1,5 - a rézsűhajlás, S0= 0,0001 - a mederfenék esése, k = 40 m1/3/s - a Manning-Strickler-féle simasági tényező, és Q = 6,28 m3/s - a vízhozam. A határfeltétel a legalsó szelvény vízszintje h0 = 1,8 m

A feladatot szemléltető ábra

Megoldási módszerek Az alapegyenlet: Ezt kell integrálnunk x0 és x1 intervallumban: A bal oldal egyszerűsítve és megoldva:

Megoldási módszerek Ezt behelyettesítve az általános formula: Kétféle numerikus módszer jöhet szóba: Prediktor-korrektor módszer Runge-Kutta módszer

Prediktor-korrektor módszer Prediktor lépés az Euler-Cauchy-féle közelítés: Korrektor lépés előtt számítjuk a következő középértéket: Az újabb közelítés:

Runge-Kutta módszer - Pontosabb numerikus integrálás pontosabb megoldást ad. - Trapézszabálynál nagyobb pontosságot ad a Simpson-formula. - Előnyei, a nagy pontosság és a stabilitás. - Hátránya a viszonylagos komplikáltsága, nagy számítási igénye.

PERMANENS FELSZÍNGÖRBE SZÁMÍTÁS TERMÉSZETES MEDREKBEN - A gyakorlati esetek igen nagy százalékában a természetes vízfolyásokon a prizmatikusság nem teljesül - Kvázi permanens egyenletes felszíngörbe alakul ki. - Vízszintszabályozó műtárgy (duzzasztómű, fenéklépcső, stb.) beépítésekor fokozatosan változó vízmozgás alakul ki. (duzzasztási vagy süllyesztési görbék)

A feladat Legyen adott egy L hosszúságú folyószakasz, ismert geometriai és érdességi adatokkal, melynek alsó szelvényében a vízszint egy duzzasztóművel szabályozható. Határozzuk meg különböző vízhozamok és az alsó szelvény különböző vízszintjei esetén a műtárgy fölött kialakuló felszíngörbéket!

Alapegyenlet A hossz mentén változó medret kisebb szakaszokra osztjuk fel. A szakaszokra az energia egyenletet írjuk fel, és azt fokozatos közelítéssel oldjuk meg. Kiindulási egyenletünk az áramlás teljes szelvényére kiterjesztett Bernoulli-egyenlet permanens alakja:

Egyszerűsítések - a nyílt felszínből következően P1 = P2, - a sebesség diszperziós tényezője 1  2  1. Most a két szelvény közötti sebességkülönbséget nem hanyagoljuk el. Az energiaveszteség:

A Bernoulli-egyenlet ezek figyelembevételével A w alsó index a x szakaszra vonatkozó középértékeket jelöli. Az egyenlet megoldásához ismernünk kell az A és R változók számításának matematikai modelljét is.

Geometriai jellemzők a víztükör szélessége a medertágulási tényező a nedvesített szelvényterület nedvesített kerület, közelítőleg a hidraulikus sugár

A numerikus megoldás - Zi és Zi+1 a két ismeretlen. - A vízhozamok, a geometriai alakot jellemző adatok Z0, B0, P0, A0, m és a simasági tényezők adottak!) - A számítást a legalsó szakasznál kezdjük, ahol az alsó szelvény vízszintje Zi adott - Zi+1-et Explicit formában nem lehet kifejezni.

Az iterációs képlet C az alsó szelvény adataiból közvetlenül számítható, szakaszonként az iteráció során változatlan állandó.

A fokozatos közelítés lépései a.) A legalsó szelvény adott Zi értéke alapján, vagy az előző szakasz számításának befejezése után, a szakasz ismert alsó szintje alapján számítjuk a C értékét. b.) Az i+1-ik szelvény szintjét megbecsüljük. Pl, első közelítésben Zi+1 = Zi. c.) Kiszámítjuk a Zi+1-hez tartozó Ai+1 és Ri+1 értékeket a korábbiakban ismertetett módon. d.) A egyenletből kiszámítjuk az i+1-es szelvény vízszintjének közelítő értékét a Zi+1-t.

A fokozatos közelítés lépései e.) Ha a b.) pontban feltételezett Zi+1 és a számított Z’i+1 értéke egymástól csak egy megadott vízszinthibával () tér el, vagyis , akkor a számítás az aktuális szakaszra befeje- zettnek tekinthető, és áttérhetünk a következő szakasz számítására. f.) Ha az előző pontbeli feltétel nem teljesül, akkor az újonnan számított Z’i+1-el a c.) ponttól kezdve ismételjük meg a számítást. Ezt a folyamatot addig ismételjük, míg az eltérés a megadott hibakorlátnál kisebb nem lesz. g.) Ezt az iterációs folyamatot ismételjük, amíg vala-mennyi x szakaszra el nem végeztük a számítást