Dijkstra algoritmusa Egy csúcsból a többibe vezető legkisebb költségű út megkeresése Az algoritmus működésének leírása és bemutatása LL

Adott: Egy gráf, súlyozott élekkel. (Egy városcsoport, és hogy melyikből melyikbe juthatunk el, és mennyiért.) Vagy mennyibe kerül közéjük építeni egy utat… Mj.: Vehetünk irányított éleket is. Amennyiben irányítatlan élekkel van dolgunk, úgy képzeljük, hogy az élen mindkét irányban közlekedhetünk.) Feladat: Határozzuk meg egy adott csúcsból az összes többibe vezető legkisebb költségű út költségét. Adjuk meg azt is, hogy ezen az optimális úton melyik csúcs előzi meg az aktuális csúcsot. (Ki a szülője?)

Megoldás: (Dijkstra algoritmusa) Először is tegyük fel, hogy mindenhova végtelen nagy költséggel juthatunk csak el; kivéve oda, ahol vagyunk, ahová ingyen eljuthatunk. Majd minden körben válasszuk ki a még nem elintézett csúcsok közül azt, amelyikbe a legolcsóbban tudtunk eljutni. Majd vizsgáljuk meg a szomszédjait, el tudunk-e oda jutni az addiginál kisebb költséggel. (Ábrán: El tudunk-e jutni F-be az eddigi 12-nél olcsóbban? Igen.) Ha igen, módosítsuk ezen szomszéd elérési költségét és szülőjét. Ha nem, hagyjuk békén. Majd ha minden szomszédját megvizsgáltuk, a csúcsot besoroljuk az „elintézett” csúcsok közé. Akkor végeztünk, ha minden csúcsot elintéztünk.

A gráf. Az A csúcsból indulunk. A B C D E F G

0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ Kiinduló-helyzet Kezdőcsúcsban 0, többiben végtelen érték A B C D E F G

0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ Válasszuk ki a legolcsóbban elérhető pontot. (A) Majd vizsgáljuk meg sorra a szomszédait. A B C D E F G

0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ B: = 3 < végtelen A B C D E F G

0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ Végtelen helyére 3. A, mint B szülője megjegyezve A B C D E F G

0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ D: = 5 < végtelen A B C D E F G

0 5 ∞ ∞ ∞ ∞ Végtelen helyére 5. A, mint D szülője megjegyezve A B C D E F G

0 5 ∞ ∞ ∞ ∞ A B C D E F G G: = 8 < végtelen

0 5 ∞ ∞ ∞ A B C D E F G Végtelen helyére 8. A, mint G szülője megjegyezve

0 5 ∞ ∞ ∞ Végeztünk A-val. (Nincs több szomszédja) A B C D E F G

0 5 ∞ ∞ ∞ A B C D E F G Válasszuk ki a legolcsóbban elérhető pontot a még nem szürkék közül. (B) Majd vizsgáljuk meg sorra a szomszédait.

0 5 ∞ ∞ ∞ A B C D E F G C: = 9 < végtelen

0 5 9 ∞ ∞ A B C D E F G Végtelen helyére 9. B, mint C szülője megjegyezve

0 5 9 ∞ ∞ A B C D E F G F: = 12 < végtelen

0 5 9 ∞ A B C D E F G Végtelen helyére 12. B, mint F szülője megjegyezve

0 5 9 ∞ A B C D E F G D: = 7 > 5

0 5 9 ∞ A B C D E F G Ez az út (ABD) tehát nem jobb, mint az eddig D-be vezető út. (AD) D szülője marad A.

0 5 9 ∞ A B C D E F G Végeztünk B-vel. (Nincs több szomszédja)

0 5 9 ∞ A B C D E F G Válasszuk ki a legolcsóbban elérhető pontot a még nem szürkék közül. (D) Majd vizsgáljuk meg sorra a szomszédait.

0 5 9 ∞ A B C D E F G C: = 12 > 9

0 5 9 ∞ A B C D E F G Ez az út (ADC) tehát nem jobb, mint az eddig D-be vezető út. (ABC) C szülője marad B.

0 5 9 ∞ A B C D E F G E: = 6 < végtelen

A B C D E F G Végtelen helyére 6. D, mint E szülője megjegyezve

A B C D E F G G: = 7 < 8

A B C D E F G Ez az út (ADG) tehát jobb, mint az eddig G-be vezető út. (AG) G szülője ezentúl D.

A B C D E F G Végeztünk D-vel. (Nincs több szomszédja)

A B C D E F G Válasszuk ki a legolcsóbban elérhető pontot a még nem szürkék közül. (E) Majd vizsgáljuk meg sorra a szomszédait.

A B C D E F G F: = 11 < 12

A B C D E F G Ez az út (ADEF) tehát jobb, mint az eddig F-be vezető út. (ABF) F szülője ezentúl E.

A B C D E F G G: = 9 > 7

A B C D E F G Ez az út (ADEG) tehát nem jobb, mint az eddig G-be vezető út. (ADG) G szülője marad D.

A B C D E F G Végeztünk E-vel. (Nincs több szomszédja)

A B C D E F G Válasszuk ki a legolcsóbban elérhető pontot a még nem szürkék közül. (G) Majd vizsgáljuk meg sorra a szomszédait.

A B C D E F G F: = 16 > 11

A B C D E F G Ez az út (ADGF) tehát nem jobb, mint az eddig F-be vezető út. (ADEF) F szülője marad E.

A B C D E F G Végeztünk G-vel. (Nincs több szomszédja)

A B C D E F G Válasszuk ki a legolcsóbban elérhető pontot a még nem szürkék közül. (C)

A B C D E F G F: = 10 < 11

A B C D E F G Ez az út (ABCF) tehát jobb, mint az eddig F-be vezető út. (ADEF) F szülője ezentúl C.

A B C D E F G Végeztünk C-vel. (Nincs több szomszédja)

A B C D E F G Válasszuk ki a legolcsóbban elérhető pontot a még nem szürkék közül. (F) Nagyon nehéz feladat. Majd vizsgáljuk meg az összes szomszédját!

A B C D E F G Végeztünk F-vel.

Így talán jobban látszik a végeredmény. A B C D E F G

Megjegyzés: Dijkstra algoritmusa egy „mohó” algoritmus. Minden lépésben az akkor legkedvezőbbnek tűnő utat választja. Ez a stratégia ezen feladat esetén el is vezet a helyes megoldáshoz. Az a feladat, hogy egy ilyen gráf esetén határozzuk meg két adott csúcs között a legkisebb költségű utat, nem számottevően egyszerűbb ennél. Jobban megéri ezt végigszámolni. A struktogramot lásd: máshol

Lócsi Levente