Dragon-Görbe

Különös kivitelezésű előlap borította azt a könyvecskét, melynek szerzője az akkoriban az irvini University of Californián doktoriját író William Harter volt. Harter ezt a könyvet egy NASA szemináriumra készítette a csoport- elmélet szemléltetésére, mely témáról az előző nyáron adott elő a NASA clevelandi Lewis Kutatási Központjában. A Dragon-görbét, ahogyan ő hívja ezt a különleges alakzatot, először egy NASA-nak dolgozó kollégája, John E. Heighway fedezte fel, később pedig Harter, Heighway és Bruce A. Banks (szintén a NASA fizikusa) kutatta. Maga a görbe nem kapcsolódik a csoport-elmélet témaköréhez, Harternek az alakzat bemutatásával kizárólag a „tudományágban fellelhető rejtélyes rendezettség burjánzásának” szimbolizálása volt a célja. A borítón a görbe egy fantasztikus útvonalként jelenik meg a milliméterpapír rácshálóján. Minden derékszög kissé lekerekített, így egyértelművé válik, hogy az útvonal sohasem keresztezi önmagát. A görbe, ugyan meglehetősen tétován, de hasonlít egy tengeri sárkányra, mely behúzott lábaival balra evez, miközben ferde feje és feltekercselt farka éppen az elképzelt vízfelszínen lebeg.

Három lehetőséget kerül bemutatásra a továbbiakban: egyet, mely a bináris számjegyek ismétlődésén alapul, egy másikat, mely papírhajtogatással érhető el, és egy harmadikat, mely geometriailag formálja meg a görbét. A görbe felfedezéséhez a másodikként említett módszer vezetett. Szükségszerű továbbá elmagyarázni az ábrán látható 12 pont jelentőségét, mely azt jelöli, hogy ez egy tizenketted-rendű görbe. Bár ez csak egy későbbi felfedezés volt, és nem játszik szerepet a görbe felépítésében, érdekes, hogy ezek a pontok egy logaritmikus spirálon helyezkednek el.

Mindegyik Dragon-görbe előállítható a bináris számjegyek ismétlődésének megjelenítéséből. Kezdjük a képzeletbeli tengeri sárkány farkánál a görbe megrajzolását, és úgy haladjunk a feje felé, hogy minden 0-s számjegynél jobbra és minden 1-esnél balra fordulunk. A rendek szerinti formula rekurzív technikával adható meg az előző sorszámú rendből a következő módon: vesszük az előző rend számsorát, a végéhez hozzáírunk egy egyes számjegyet, majd újra leírjuk az eggyel alacsonyabb rendű számsort, annak középső számjegyét megváltoztatva. Így a másodrendű 110 számsorból képezve megkapjuk a harmadrendű sorozatot. Magasabb rendű számsorozatokat ugyanezen módszerrel adhatunk meg. Könnyen látható az a tény, hogy minden Dragon-görbe két, nála eggyel alacsonyabb rendű görbéből jön létre, de mivel a sárkányok feje ér össze az eggyel magasabb rendű alakzatban, így a második sárkány megrajzolását a fejénél kezdjük.

Az ábrán Dragon-görbéket láthatunk 0-tól a 6. rendig. Minden sárkány megrajzolását a farkánál kezdtük, és a fejük felé haladtunk, itt viszont fordítva ábrázoltuk azokat, így jobbra úsznak, miközben fejük és farkuk csúcsa érinti a víz felszínét. Ha a számsorból ellentétes módon, azaz egynél jobbra és nullánál balra fordulva képezzük a görbét, egy másik irányba néző sárkányt kapunk. A pontok a görbének mindig azon részét jelölik, ahol a számsor középső egyese található. Magasabb rendű számsoroknál megtartjuk a nála alacsonyabb rendű görbék középső számjegyeit jelölő pontokat is. Ezek a pontok bárhányad rendű görbe esetén egy logaritmikus spirálison helyezkednek el.

A Dragon-görbét a fizikus John E. Heighway fedezte fel egy teljességgel más művelet során. Hajtsunk félbe egy darab papírt, nyissuk szét úgy, hogy a hajtás vonalán derékszög keletkezzen, majd tanulmányozzuk oldalról, mintha csak egy két-dimenziós alakzatot készítettünk volna. Most egy elsőrendű sárkányt lát az olvasó. Ha kétszer hajtjuk félbe a papírt, ügyelve arra, hogy mindig ugyanabba az irányba hajtogassunk, illetve hogy a hajtásvonalaknál derékszögek legyenek, két másodrendű sárkányt kapunk. Ez a két sárkány a papírlap két élén helyezkedik el, és egymás tükörképeit képezik. A papír háromszori félbehajtása harmadrendű sárkányok létrejöttéhez vezet. Általánosan elmondható, hogy n-szeri félbehajtás n-ed-rendű sárkányt eredményez.

A bináris formula könnyen megjeleníthető a papírhajtogatásos módszernél magasabb rendű sárkányok esetén. Erre a célra a pénztárgépszalag különösen alkalmas. A szalag egyik végétől indulva egyenlő távolságonként hajtunk egyet felfele (1-es számjegy esetén) vagy lefele (0 esetén). Amint a szalagot kinyitjuk az előző módon, ügyelve a derékszögekre, megkapjuk a formulának megfelelő sárkányt. A fizikus Bruce A. Banks fedezte fel a görbe geometriai módon történő megformálásának módszerét, melyet az ábra mutat. Egy hatalmas derékszögből kiindulva rajzolja meg a görbét. Minden következő lépésben az előző görbe összes szakaszára helyezünk kisebb egyenlőszárú derékszögű háromszögeket, ahogyan az ábrán látható. Ez a módszer analóg a Hópihe-görbe megformálásának menetével, melyet részletesebben a „Matematikai Játékok a Scientific American hasábjairól” című könyvben 6. részének 22. fejezetében található.

William G. Harter a három, e témában úttörő fizikus egyike a görbék összeillesztését vizsgálta részletesebben. Rengeteg összeillesztési lehetőséget talált, melyek némelyikével a sík tapétázható, másokkal pedig szimmetrikus mintázatokat állíthatunk elő. Az összeillesztések típusai széles skálán mozoghatnak: lehet szó fej-fej, farok-farok, fej-farok, hát-hát, has-hát összekapcsolásáról. Az ábrán egy négy jobbra néző, hatodrendű sárkányokból felépülő alakzatot láthatunk, ahol a görbék a farkuknál illeszkednek. Amennyiben az olvasó egy szemet gyönyörködtető ábrát szeretne létrehozni, illesszen össze négy tizenketted- rendű görbét, az előbb említett módon. Ha a négy összeillesztendő görbe végtelen hosszú, az alakzat lefedi a teljes síkot, abban az értelemben, hogy a rácsvonal minden pontját a görbe pontosan egyszer tartalmazza. Ha kísérletezgetni szeretnénk a görbék összeillesztésével, a legjobb, ha a sárkányokat valamilyen átlátszó papírra rajzoljuk, így több variációt is kipróbálhatunk.