Bevezetés a matematikába I 1 Bevezetés a matematikába I Előadó Farkas Gábor ELTE IK Komputeralgebra Tanszék compalg.inf.elte.huA tanszék munkatársai Farkas Gábor Segédanyagok e-mail: farkasg@compalg.inf.elte.hu Budapest 2010. ősz

Bevezetés a matematikába szerkesztette: Járai Antal Ajánlott irodalom 2 Bevezetés a matematikába szerkesztette: Járai Antal szerzők: Farkas Gábor, Fülöp Ágnes, Gonda János Járai Antal, Kovács Attila, Láng Csabáné Székely Jenő ELTE Eötvös Kiadó ISBN 978 963 284 077 2

Hogyan definiálhatnánk a formulákat? 3 1.1 Logikai alapok Alapfogalmak: kijelentés (ítélet) igazságérték (i, h) predikátum (logikai változót tartalmazó definiálatlan alapfogalom) elemi formula logikai formulák (logikai kifejezések, mondatok) ¬, , , ,  logikai jelek (műveletek) (precedencia) kvantorok: ,  Hogyan definiálhatnánk a formulákat?

A B AB i h A B AB i h A A i h A B AB i h A B AB i h 4 Igazságtáblázat A B AB i h A B AB i h A A i h A B AB i h A B AB i h

kötött és szabad előfordulás 5 Def. (logikai formulák (logikai kifejezések, mondatok)) Ha A, B formula, akkor ¬A, (A  B), (A  B), (A  B), (A  B), továbbá (xA) és (xA) formulák. Formulán belül: kvantor hatásköre kötött és szabad előfordulás szabad változó ( szabad előfordulása) zárt formula: nincs benne szabad előfordulás (kül. nyílt formula)

kielégíthető formula: alkalmas helyettesítéssel adhat igaz értéket tétel (tautológia) : mindig igaz értéket adó formulák 1. A  ¬A (kizárt harmadik) 2. ¬(A  ¬A) (ellentmondás) 3. ¬(¬A)  A (kettős tagadás) 4. ¬(A  B)  ¬A  ¬B (De Morgan) 5. ¬(A  B)  ¬A  ¬B (De Morgan) 6. A  B  ¬B  ¬A (kontrapozíció) 7. A  (A  B)  B (modus ponens) 6

bizonyítás (levezetés) direkt, indirekt bizonyítás 10. xy P(x,y)  yx P(x,y) 8. ¬x P(x)   x ¬P(x) 9. ¬ x P(x)  x ¬P(x) 11.  xy P(x,y)  y x P(x,y) bizonyítás (levezetés) direkt, indirekt bizonyítás axiómák ellenpélda ellentmondásmentesség teljesség ( tétel levezethető axiómákból) függetlenség (axiómák nem vezethetők le egymásból) szükséges, elégséges feltétel teljes indukció 7

Példa 8 x illeszkedik z -re x pont z egyenes

Példa N(x) : x nő definíció axióma új predikátum predikátum tételek 9 Példa N(x) : x nő definíció axióma új predikátum predikátum tételek (*) G(x,y) : x gyereke y -nak unoka

Bizonyítsuk be, hogy nem lehet senki a saját unokája. tétel, bizonyítása indirekt módon Tfh  xU(x, x)   z(G(x, z)  G(z, x)) (*) 10

1.2 Halmazelméleti alapfogalmak 11 1.2 Halmazelméleti alapfogalmak A halmazelmélet predikátumai: „halmaznak lenni” és „eleme” . A:= { felsorolás} A:= { x  B | F(x) } A:= { x  B : F(x) } Naív és axiomatikus halmazelmélet

Jelölés! részhalmaz  , valódi részhalmaz  A  B   x (xA  xB) 12 A  B   x (xA  xB)   y (yA  yB) Jelölés! részhalmaz  , valódi részhalmaz  (vagy részhalmaz  , valódi részhalmaz )

Az üres halmaz létezését is axióma biztosítja. Jel:  Miért van szükség a részhalmaz axiómára? 13 Russel-paradoxon Legyen A tetszőleges halmaz és B A   B A Az üres halmaz létezését is axióma biztosítja. Jel: 

Def. (Unióképzés) Def.(Metszetképzés) 14

15

Szimmetrikus differencia 1.2.22. Különbség A \ B = { x  A | x B } Szimmetrikus differencia A Δ B = { x | x A \ B  x  B \ A }= ={ x  A  B | x  A  B } Ha X halmaz és A  X , akkor A halmaz X –re vonatkozó komplementere A’ = X \ A 16

1.2.25. 17

Def. Ha A halmaz, akkor azt a halmazt, amelynek elemei A részhalmazai, A hatványhalmazának nevezzük. 1.2.42 18