A lokális szélsőérték és a derivált kapcsolata Definíció. Legyen . Azt mondjuk, hogy f-nek lokális maximuma (lokális minimuma) van az pontban, ha , hogy esetén, amelyre , teljesül . Tétel. Legyen f az [a, b] intervallumon értelmezett valós függvény . Ha f-nek az pontban lokális maximuma (lokális minimuma) van, és ha létezik, akkor . Bizonyítás: előadáson

Középérték tételek Geometriai szemléltetés: előadáson Cauchy-féle középértéktétel.   Legyenek f és g folytonos valós függvények az [a, b] intervallumon, és differenciálhatóak az ]a, b[ intervallumon. Ekkor , amelyre Bizonyítás: nincs Lagrange-féle középértéktétel. Legyen f folytonos valós függvény az [a, b] intervallumon, és differenciálható az ]a, b[ intervallumon. Ekkor , amelyre Geometriai szemléltetés: előadáson

Középérték tételek Rolle-féle középértéktétel Legyen f folytonos valós függvény az [a, b] intervallumon, differenciálható az ]a, b[ intervallumon, és , akkor , amelyre . Bizonyítás: nincs Geometriai szemléltetés: előadáson A derivált függvény folytonossága Darboux-tétele. Legyen , , f differenciálható -n és például Ekkor minden olyan -hoz, amelyre van olyan , amelyre .

Magasabbrendű deriváltak Definíció. Legyen . Tegyük fel, hogy , mely esetén létezik az f függvény -nel jelölt deriváltja. Azt mondjuk, hogy az f függvény (n + 1)-szer deriválható az a pontban, ha létezik az . Példa: Határozzuk meg a következő deriváltakat! 1./ 2./

Függvényvizsgálat Tétel. Legyen , differenciálható az intervallumon. 1./ Ha esetén , akkor f az -n monoton növekedő, 2./ Ha esetén , akkor f az -n monoton csökkenő. Bizonyítás: előadáson. Definíció. Legyen és a D( f ) belső pontja. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az pontban (- , +) előjelváltása van, ha , hogy esetén , és esetén . A (+ , -) előjelváltás értelemszerűen azt jelenti, hogy a fentiekben a > és a < relációk helyet cserélnek.

Függvényvizsgálat Tétel. Legyen és . Ha és az függvénynek az a helyen (-, +) előjelváltása (vagy. (+, -) előjelváltása) van, akkor f az a pontban lokális minimumot (maximumot) vesz fel. Bizonyítás: előadáson. Megjegyzés . A tételt szokás a lokális minimumra (maximumra) vonatkozó elsőrendű, elégséges feltételnek nevezni. Kétszer deriválható függvények esetében adható meg az ú.n. másodrendű elégséges feltétel.

Függvényvizsgálat Tétel. Legyen és . Tegyük fel, hogy f kétszer differenciálható az a pontban és , továbbá ; . Ekkor az f az a helyen lokális minimumot (maximumot) vesz fel. Bizonyítás: előadáson. Megjegyzés. Tekintsük az függvényt. , , …, és csak az . Kérdés, hogy ilyen esetekben milyen elégséges feltétel adható a lokális szélsőérték létezésére? Erre ad választ a következő tétel, amit szokás a lokális minimumra (maximumra) vonatkozó magasabb rendű elégséges feltételnek nevezni.

Függvényvizsgálat Tétel. Tegyük fel, hogy az f  R  R az a  D(f) pontban 2n-szer differenciálható. n  N és Ekkor f az a pontban lokális minimumot (maximumot) vesz fel. Bizonyítás. Nincs Definíció. Legyen I  R. Azt mondjuk, hogy az f : I  R függvény alulról konvex (konkáv), ha   I esetén az és pontokat összekötő egyenes szakasz (húr) egyetlen pontja sincs a függvény grafikonja alatt (fölött). Definíció. Legyen f az a pontban differenciálható függvény. Azt mondjuk, hogy az a pont inflexiós helye f-nek, ha f a-hoz tartozó érintőjét -val jelölve az f - függvény az a pontban előjelet vált. Ha az f-nek az a pontban inflexiós helye van, akkor azt is szoktuk mondani, hogy f-nek a-ban inflexiós pontja van.

Függvényvizsgálat Tétel. Legyen f: I  R, I  R, f kétszer deriválható I-n. Az f a. cs. a. konvex (konkáv) I-n, ha x  I esetén ( ). Bizonyítás. Nincs Az f –nek az a  I pontban inflexiós pontja van, ha 1./ (szükséges feltétel) 2./ az a környezetében előjelváltó. (elégséges feltétel)

Függvényvizsgálat Tétel. Tegyük fel, hogy az f  R  R az a  D(f) pontban 2n+1-szer differenciálható (n  N ) és Ekkor f -nek az a pontban inflexiós pontja van.

Hiperbolikus függvények Definíció: ( sinus hiperbolikus ) ( cosinus hiperbolikus ) ( tangens hiperbolikus ) ( cotangens hiperbolikus )

Hiperbolikus függvények Azonosságok: Bizonyítás: előadáson. Tétel:

Hiperbolikus függvények inverzei Definíció. A szigorúan monoton sh , , th , függvények inverzeit rendre area szinuszhiperbolikusz, area koszinuszhiperbolikusz, area tangenshiperbolikusz és area kotangenshiperbolikusz függvénynek nevezzük, és arsh, arch, arth, arcth szimbólumokkal jelöljük. Tétel. 1./ Tetszőleges esetén 2./ Ha , akkor 3./ Ha , akkor 4./ Ha , vagy , akkor Bizonyítás: előadáson

Hiperbolikus függvények inverzeinek deriváltjai Tétel. Bizonyítás: előadáson

Teljes függvényvizsgálat (Függvénydiszkusszió) A teljes függvényvizsgálat lépései: 1./ Az értelmezési tartomány megadása 2./ Paritás vizsgálat 3./ Határértékek az értelmezési tartomány „szélein” 4./ Zérushelyek 5./ Monotonitás-vizsgálat, lokális szélsőértékek meghatározása 6./ Görbületi jelleg, inflexiós pontok meghatározása 7./ A függvény grafikonjának felvázolása 8./ Az értékkészlet megadása