Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében Az információtechnika fizikája IX. Előadás Kvantumstatisztikák Törzsanyag Az Európai Szociális Alap támogatásával

2006 HEFOP P / Mikroállapot és makroállapot A részecskék két csoportba sorolhatók: vagy bozonok vagy fermionok. Az egyforma bozonokból álló rendszer állapotfüggvénye két bozon felcserélésére nézve szimmetrikus, míg a fermionokból álló rendszer esetén két fermion felcserélésekor az állapotfüggvény előjelet vált, vagyis antiszimmetrikus. Ha a bozonokból vagy fermionokból álló rendszer állapotfüggvénye egy adott, hogy a rendszer a mikroállapotban van. Az energia sajátértékek általában elfajultak: egy W energiához több mikroállapot is tartozhat. a rendszer makroállapotának nevezzük. Ugyanazt a makroállapotot igen nagy számú, különböző mikroállapot valósíhattja meg.

2006 HEFOP P / SOK-RÉSZECSKE RENDSZEREK KLASSZIKUS STATISZTIKA Maxwell-Boltzmann statisztika Gázok - gáztörvények KVANTUM STATISZTIKÁK Fermi-Dirac statisztika Fermionok - elektrongáz Bose-Einstein statisztika Bozonok - fotongáz A részecskék megkülönböztethetőkA részecskék megkülönböztethetetlenek A makroállapotot sok mikroállapot állitja elő Zárt rendszer minden mikroállapota egyformán valószinű Egyensúlyi állapot: a magára hagyott rendszer a legnagyobb valószinűségű makroállapothoz tart Egy mikroállapotban csak egy részecske lehet Egy mikroállapotban akárhány részecske lehet Egy mikroállapotban akárhány részecske lehet Mikroállapot:

2006 HEFOP P / Ha a bozonokból vagy fermionokból álló rendszer állapotfüggvénye egy adott akkor azt mondjuk, hogy a rendszer a mikroállapotban van. Az energiasajátértékek általában elfajultak: egy W energiához több mikroállapot tartozhat. KVANTUMSTATISZTIKÁK Mikroállapot Makroállapot N i (W i ) Az N fermionból álló rendszer részecskéinek energiasajátértékei W 1, W 2,...,W n,.... Az egyes sajátértékekhez tartozó mikroállapotok száma Z 1, Z 2,..., Z n,.... Az elektronok tényleges száma N 1, N 2, …, N n,... Az egyensúlyi kvantumstatisztika két alapfeltevése (1) Egy zárt rendszer minden mikroállapota egyformán valószínű. (2) A magára hagyott rendszer a legnagyobb valószínűségű makroállapothoz tart, amit a rendszer egyensúlyi állapotának nevezünk. Magára hagyott rendszer: Összrészecskeszám állandó Összenergia állandó

2006 HEFOP P / Példa: három lehetséges egyrészecske-állapotban két részecske Három egyrészecske-állapot: Két részecske: Hányféleképpen lehet a két részecskét a három állapotban elhelyezni gázmolekulák, fermionok (elektronok), illetve bozonok (fotonok) esetén? Maxwell- Boltzmann Bose- Einstein Fermi- Dirac 9 = = 6 =

2006 HEFOP P / MIKROÁLLAPOTOK SZÁMA Egy adott makroállapotot előállító mikroállapotok száma Fermionok (pl. elektronok) FD- Fermi-Dirac statisztika A mikroállapotokba N i fermiont féleképpen helyezhetünk el. Az összes lehetséges Slater-determinánsok, azaz mikroállapotok száma: Bozonok (pl.fotonok) BE- Bose-Einstein statisztika Az N 1, N 2,..., N i,... elosztáshoz rendelhető mikroállapotok száma: Klasszikus (megkülönböztethető) részecskék MB- Maxwell-Boltzmann statisztika

2006 HEFOP P / A Stirling féle közelitő formula,, alkalmazásával E három függvény maximumát a részecskeszám és az összenergia állandósága mellett, azaz a és a mellékfeltételekkel, az és Lagrange-féle multiplikátorok segitségével kitűzütt szélsőérték-probléma megoldásával határozhatjuk meg: i = 1, 2,... Az egyensúlyi makroállapothoz tartozó – tehát legvalószínűbb – eloszlások a három statisztikában a következők:

2006 HEFOP P / A Fermi függvény Jelölések: = 1/ k B T, ahol k B a Boltzmann állandó k B = 1.38 x Ws/K, = - W F / k B T, ahol W F -et Fermi szintnek nevezzük. E jelölésekkel fermionok egyensúlyi állapota: Z i a W i energián maximálisan elhelyezhető részecskék száma, az Fermi függvény pedig a W i energiaszint betöltési valószinűsége. Ha W F adott, és T  0, akkor a betöltési valószínűség W i <W F esetén 1, W i >W F esetén viszont nulla.

2006 HEFOP P / Klasszikus és kvantummechanikai szabad-elektron modellek Klasszikus szabad-elektrongáz modell (P. Drude 1900, H. A. Lorentz 1909) A fémek ionrácsiban szabadon mozgó vezetési elektronok közelítőleg ideális gázt alkotnak, melyben az elektronok átlagos kinetikus energiája eleget tesz az ekvipartíció törvényének, vagyis a negatív töltésű elektronok közötti kölcsönhatás elhanyagolható; az ionok potenciális energiája a fém belsejében állandónak tekinthető, de a fém határoló felületén fellépő potenciálugrás a fémhez köti az elektronokat. A klasszikus szabad-elektron modell, az egyszerűsítő feltevések ellenére, a fémek sok tulajdonságát a kísérletekkel összhangban írta le, így pontos modellt szolgáltatott a vezetőképességre egy adott hőmérsékleten (Ohm-törvény); az elektromos vezetés és a hővezetés kapcsolatát is helyesen írta le (Wiedemann–Franz-törvény), de a fémek fajhőjéről és az ellenállás hőmérséklettől való függéséről sem tudott helytálló képet festeni ban A. Sommerfeld megőrizte az elektrongáz fogalmát, de előírta, hogy az elektronoknak engedelmeskedniük kell a kvantummechanika törvényeinek is. Elektrongáz

2006 HEFOP P / a fémen belül a potenciális energia állandó. és az elektronok függetlenek, A vezetési elektronok a fémen belül szabadon mozognak, a fém tehát az elektronok számára egy ‘potenciálkád’, amely belül erõmentes, de a határoló felületen potenciálugrás lép fel. Kvantummechanika törvényei: az elektrongáz energiaspektruma kvantált, és az elektronok engedelmeskednek a Pauli-elvnek, azaz két elektronhoz ugyanazok a kvantumszámok nem tartozhatnak. A Sommerfeld-féle kvatummechanikai szabad-elektron modellben az elektrongáz már a Fermi–Dirac-statisztikát követi. E modell már helyes magyarázatot ad a fajhőről és az ellenállás hőmérsékletfüggéséről is. Elektrongáz

2006 HEFOP P / Minden mikroállapothoz különböző kvantumszámok tartoznak Pozitiv n 1, n 2 és n 3. Hány mikroállapot esik a W és W+dW energiatartományba ?.

2006 HEFOP P / Hány mikroállapot esik a W és W+dW energiatartományba ?. sugarú gömb pozitív n 1, n 2 és n 3 értékekhez tartozó nyolcadában kell összeszámolnunk a sugarú kockák számát, mert mindegyikhez pontosan egy mikroállapot tartozik. (Vegyük észre, hogy az elfajuló kvantumállapotokhoz különböző kis kockák tartoznak!) sugarú gömbtérfogat nyolcadát kell elosztanunk egy elemi kocka térfogatával, és szoroznunk 2-vel, hogy a spinkvantumszámot is figyelembe vegyük. Ennek kell egyenlőnek lennie T=0 K-en a dobozba zárt elektronok számával. Ha térfogat-egységenként n számú elektront helyeztünk az a élhosszúságú kockába, akkor Behelyettesítve az ismeretlen W F0 Fermi-szintre azt kapjuk, hogy

2006 HEFOP P / Abszolút nulla fokon a Fermi-szint értéke a dobozban csak a dobozba helyezett elektronok térfogategységre eső n [elektron/m 3 ] számától függ. Megmutatható, hogy T  0 K esetén W F egy sorral állítható elő, amelynek első tagjai: A (kT/W F0 ) hányados nagyságrendjéből, azt kapjuk, hogy még T  3000–4000 K esetén is W F0 igen jól megközelíti W F értékét. Ha a hőmérséklet T > K, akkor W F értéke negatívvá válik, és a Fermi–Dirac-statisztika eloszlásfüggvényei átmennek a megfelelő Maxwell–Boltzmann-eloszlásba. Az átmenet feltétele ami nemcsak igen nagy T, hanem igen kis N/V részecskesűrűség, vagy nagy m tömeg esetén áll elő.

2006 HEFOP P / A fémek térfogategységre eső szabad elektronjainak száma ismert, réz esetén például n = 8,4  elektron/m 3. = 11,1  10 –19 J = 6,95 eV Abszolút nulla fokon 11,1  10 –19 J energiájúak a rézben a legnagyobb energiájú elektronok. A klasszikus modellben nulla hőmérsékleten minden elektron nulla energiájú A valóságban mégis találunk a rézben közel 7 eV kinetikus energiájú elektronokat. Klasszikusan ez az energiahőmérsékletnek felelne meg, ami sokszorosa a réz 1356 K-os olvadási hőmérsékletének.

2006 HEFOP P / A véges térfogatú doboz megengedett diszkrét energiaértékei közötti távolság tipikusan Ha egy a = 1 cm élhosszúságú réz kockába zárt elektrongázt tekintjük, akkor a tipikus érték A 6,95 eV Fermi-szintű a = 1 cm-es réz kocában lévő 8,24  elektron energiája úgy helyezkedik el a 0 és 7 eV közé eső tartományban, hogy két energiaszint között 4  10 –15 eV nagyságrendű távolság van. A diszkrét szintek olyan sűrűn helyezkednek el, hogy az energiaspektrumot jogosan tekinthetjük kvázifolytonosnak. A g(W) energia-állapotsűrűség függvény segítségével a W és W+dW tartományba eső diszkrét állapotok tényleges g(W)dW számát becsülhetjük meg. Az energiaszintek kvázifolytonossága

2006 HEFOP P / Amíg W <, addig megadja a W-nél kisebb energiájú részecskék N(W) számát is. E függvényből kiszámíthatjuk a W és W+ dW közé eső elektronok számát is: A Fermi-Dirac statisztika sűrűségfüggvényei

2006 HEFOP P / Az elektronokra külső erő nem hat és nincs közöttük kölcsönhatás, így az elektronok energiája és sebessége között fennáll A v és v + dv sebességtartományba eső elektronok sűrűségé Ha a sebességtérben arra vagyunk kíváncsiak, hogy a (v x, v x +dv x ), (v y, v y +dv y ) és a (v z, v z +dv z ) komponensek szerint milyen az elektronok eloszlása, akkor a csak a sebességtérbeli gömb egyetlen (vx, vy, vz) pontja körüli dvxdvydvz térfogatú cellába eső A sebességkomponensek szerinti eloszlás sűrűségfüggvénet

2006 HEFOP P / Vegyük észre, hogy a Fermi-függvény együtthatója a Z i állapotszám: Ha elképzelünk egy hatdimenziós teret, melynek koordinátái az x, y, z három hely- és a p x =mv x, p y =mv y, p z =mv z három impulzuskoordináta, (Klasszikusan FÁZIS tér), akkor a fázistér elemi cellája Vegyük észre, hogy Z i nem más, mint a fázistér cellájában elhelyezhető h 3 nagyságú elemi cellák számának a kétszerese. A fázistérben minden h 3 nagyságú elemi cellába két, egy +1/2 és egy –1/2 spinű elektron helyezhető el. A fázistér elemi cellája nem lehet h 3 -nél kisebb.

2006 HEFOP P / Az elektronok eloszlása sbességkomponensek szerint Az elektronok eloszlása a sebesség szerint (v és v + dv között) Az elektronok eloszlása az energia szerint W és W+dW A Fermi-Dirac statisztika sűrűségfüggvényei

2006 HEFOP P / Erőmentes dobozban Mit is jelent az az eredmény? Abszolút nulla fokon „FÁZISTÉR” FÁZISTÉR elemi cellája A FÁZISTÉR elemi cellájában abszolút nulla fokon darab részecske van A FÁZISTÉR elemi cellájának „térfogata”

2006 HEFOP P / Abszolút nulla fokon az átlagenergia Az elektrongáz átlagenergiája

2006 HEFOP P / m 2 V x m/s A fém határfelületén válasszunk ki egységnyi felületet. Ezt 1 s alatt a fémben levő összes v x sebesség-összetevővel rendelkező elektronok közül azok az elektronok érik el, amelyek egy v x hosszúságú hasáb belsejében vannak. Felületegységen idő-egység alatt kilépő elektronok száma Elektronok kilépése fémekből

2006 HEFOP P / Elektronok száma egységnyi térfogatban: Elektronok száma a v x térfogatban: Felületegységen idő-egység alatt kilépő elektronok száma: Közelités: >>1

2006 HEFOP P / Közelités: >>1 A termikus elektron-emisszió Richardson-Dushman formulája

2006 HEFOP P / A fékező (retardáló) tér hatása:

2006 HEFOP P / Kontaktpotenciál

2006 HEFOP P / Hidegemisszió

2006 HEFOP P / A hőenergia átalakitása villamos energiává a termikus elektronemisszió kihasználásával

2006 HEFOP P / Kontakt potenciál Retardáló tér hatása Hidegemisszió Tértöltés hatása Schottky hatás

2006 HEFOP P / Termikus emisszió Hideg emisszió (Kvantummechanikai Alagúteffektus) Szekunder emisszió Fotoemisszió (Fényelektromos jelenség)