Logika 7. A klasszikus logika kiterjesztése Miskolci Egyetem Állam- és Jogtudományi Kar Jogelméleti és Jogszociológiai Tanszék március 24.

Extenzionális logika Az eddig megismert logikai rendszer Axiomatikus rendszer  csak meghatározott érvényességi és alkalmazhatósági körrel bír Megkötései: 1.Mondatok elemzéskor csak mondatokat, neveket, (extenzionális) predikátumokat és (extenzionális) mondatfunktorokat vehetünk figyelembe. 2.A neveket felbonthatatlan egységnek tekintjük (belső szerkezetüket nem elemezzük) 3.A kifejezések értékelésekor az időpontokat nem vesszük figyelembe. Ha egy kifejezés faktuális értéke időben változó lehet, úgy tekintjük, mintha az időpont rögzítve lenne.

Extenzionális logika Faktuális érték (extenzió): „amit egy nyelvi kifejezés jelöl vagy amire referál” (Frege) A faktuális érték hatékonyan kezelhető a klasszikus logikai elméletekben a változó- vagy igazságértékeléseken keresztül: egy individuumnév faktuális értéke a tárgyalási univerzum egy eleme, egy mondat faktuális értéke pedig az igazságértéke. A „Szókratész győzedelmeskedett a vitában” mondat lehet igaz is és hamis is – pontos faktuális értékét az adott szituáció dönti el, ami a 3. pontban említett időpont-rögzítéssel megoldható. 4.Kifejezések interpretálásakor (értelmezésekor, egyértel- műsítésekor) a faktuális értékeket mindig meg kell adni! Nem lehet név jelölet nélkül, predikátum terjedelem nélkül, mondat igazságérték nélkül. A kalsszikus elsőrendű extenzionális logikában nincs helye szemantikai értékrésnek („A francia király kopasz.” (Russell)).

Az extenzionális logika rendje 5.Elsőrendű extenzionális logika: csak az individuumnevek helyett használunk operátorral leköthető változókat. Többedrendű extenzionális logika: más kategóriák (pl. mondatok, predikátumok, funktorok stb.) is bevezetünk operátorral leköthető változókat. Másodrendű extenzionális logika: individuumváltozók (x, y, z) mellett predikátumváltozókat (P, Q, R) vezet be. További kategóriákban bevezetett változókkal harmad- rendű stb. extenzionális logikai rendszerekhez juthatunk. Teljes extenzionális logika: minden lehetséges kategó- riában használunk operátorral leköthető változókat. A magasabb rendű logikai rendszerek megőrzik az alacsonyabb rendű logikai rendszerek törvényeit (permanencia elve) – finomodnak, pontosabbak lesznek, ám egyre bonyolultabb rendszereket eredményeznek.

Az extenzionális logika határai Albert várja a körzeti orvost. A körzeti orvos = a helyi bélyeggyűjtő klub elnöke. Albert várja a helyi bélyeggyűjtő klub elnökét. Gondolhatjuk-e, mondhatjuk-e, hogy a két állítás egyenértékű? Az azonosság szabályai szerint igen, hiszen a „körzeti orvos” és a „helyi bélyeggyűjtő klub elnöke” leírások jelölete ugyanaz az individuum. Mégis vonakodunk, hiszen a két leírás más-más helyzetre utal, eltérő gondolati tartalmat fejez ki: a kifejezések jelölete azonos, ám jelentésük különböző.

Az extenzionális logika határai A tradicionális és a modern logikára is igaz, hogy formális  következtetéseinek helyességét kizárólag a kifejezések logikai szerkezetéből és a logikai szavak jelentéséből származtatja. A kifejezések tartalmától való elvonatkoztatás miatt teljesen értelmetlen kifejezésekből is „érvényes” következtetést lehet levonni: „Minden aghij fokuak. Minden fokuak tabudi.”  „Minden aghij tabudi.” Mindez nyilván annyira értelmetlen, amennyire a benne foglalt aghij, fokuak, tabudi szavak – nem érezzük érvényes, értelmes következtetésnek. Igény: a logika vonja be elemzéseibe a nyelvi kifejezések azon dimenzióját, amit jelentésnek nevezünk. A jelentés is szemantikai érték, amint az extenzionális logikában használatos igazságérték.

Intenzió Igény a jelentés bevonására  a jelentés teljes (stiláris, emocionális stb.) gazdagsága azonban logikailag kezelhetetlen. Megoldás: egy szűkített, korlátozottabb jelentésfogalom bevezetése  intenzió. Az intenzió azon feltételek összességét jelenti, amelyek mellett a kifejezésnek logikailag kezelhető, egyértelmű, igazságértékekkel felruházott jelentés tulajdonítható. Az így pontosított jelentést nevezzük fogalomnak. A nyelvi kifejezések – pontatlanságuk és homályosságuk miatt – ilyen jelentéssel nem rendelkeznek eleve  az intenzióhoz interpretálás (értelmezés, egyértelműsítés) révén jutunk. Az interpretálás a való világ tényeire vonatkoztatja a nyelvi kifejezéseket.

Individuumnév extenziója és intenziója Individuumnév extenziója: a jelölt individuális dolog. Egy individuumnév faktuális értéke a név jelölete, a tárgyalási univerzum egy konkrét, adott eleme – azon egyedi létező, amelyet a név megjelöl. Individuumnév intenziója: a név által kifejezett individuális fogalom. A tulajdonneveknek (pl. Miskolc) van jelöletük, de csak jelöletük van, jelentésük nincs  nincs intenzió! Az összetett neveknek és a névmásoknak van jelentésük, és így intenziójuk is  az az egyértelmű jelölet, amelyhez az interpretáció eredményeként eljutunk. „Péter fivére” – interpretáció: 1. Péter személyének behatárolá- sa, továbbá annak rögzítése, hogy 2. van egy 3. és csakis egy fiú- testvére. A „francia király” – interpretálás: időpont megadása. Az ő névmás – interpretálása: kire utal?

Mondatok extenziója és intenziója Mondatok extenziója, faktuális értéke: az igazságértéke. Mondatok intenziója: azon feltételek összessége, amelyek mellett igaz állítást fejeznek ki. A feltételeket itt is interpretáció révén bontjuk ki. Az interpretációhoz járulhat az értékelés: melynek során a kifejezést kiegészítjük a szükséges adatokkal – változóit ellátjuk értékekkel, hogy a kifejezésnek a valósághoz való viszonya egyértelművé váljon. „Elered az eső” – interpretálása: hol és mikor?  hétköznapi nyelvhasználatban ezt a kontextus biztosítja; pl. az ablakon kitekintve: itt és most. „Kitakarította a szobáját” – interpretálása: x a saját szobáját, vagy y szobáját takarította-e ki? – értékelése: mi az x és az y értéke, tehát kikről van szó? Nyelvi kifejezés  logikai állítás (ami már alethikus)

Funktorok intenziója – Intenzionális logika Intenzionális funktor: bemeneteinek extenziója, faktuális értéke nem vonja maga után egyértelműen a kimenet faktuális értékét, mégpedig azért nem, mert a kimenet faktuális értéke a bemenet intenziójától, jelentésétől is függ. Interpretált funktor intenziója: az a szabály, amely bemenetének (avagy bemeneteinek) intenziójából meghatározza, „kiszámítja” kimenetének intenzióját. Az interpretált (és szükség esetén értékelt) funktor intenzióját szokás általános fogalomnak nevezni. „Péter fut, mivel le akar fogyni” – ha igaz, hogy Péter fut és igaz az is, hogy Péter le akar fogyni, abból még nem következik ennek a mondatnak az igazsága… Péter (most) futhat azért is, mert kergetik. Itt a mivel egy kétargumentumú intenzionális funktor. Az intenzionális logika az intenzionális funktorokat is bevonja az elemzésbe. Ide tartoznak a modális logikai rendszerek is, az általuk használt modális jelek intenzionális funktorok.

Modális logika, modális operátorok Modális logika: a szükségszerűséget (), lehetőséget (  ), lehetetlenséget kifejező állítások logikája. A klasszikus logika kibővítésének tekinthetők. Árnyalás: „egyszerűen” igaz, szükségszerűen igaz, hamis, szükségszerűen hamis (lehetetlen)  modalitások. Apodiktikus állítások: szükségszerűen igaz vagy hamis. Kontingens állítások: esetlegesen igaz vagy hamis. Intenzionális logika: abból, hogy egy állítás igaz (hamis), nem következik az, hogy szükségszerűen igaz (hamis). Szükségszerűség: – Logikai szükségszerűség: az állítás igazsága (vagy hamissága) a logika szabályaiból folyik. – Ontológiai szükségszerűség: természettörvényekből fakad. – Analitikus szükségszerűség: az állításban használt szavak jelentéséből származik.

Logikai négyzet a modális logikában

Az átlósan szemközti állítások kontradiktóriusak, azaz egymás negációi. „szükségszerű, hogy…”  „nem lehetséges, hogy nem…”  p   (  p) negációja: „lehetséges, hogy nem…”  (  p) „Szükségszerű, hogy felkel a Nap.”  „Nem lehetséges, hogy nem kell fel a Nap.” negációja: „Lehetséges, hogy nem kell fel a Nap.” „lehetetlen, hogy…”  „nem lehetséges, hogy…”   p   p negációja: „lehetséges, hogy…”  p „Szükségszerű, hogy nem a Nap kering a Föld körül.”  „Nem szükséges, hogy a Nap kering a Föld körül.” negációja: „Szükséges, hogy a Nap kering a Föld körül.”

Logikai négyzet a modális logikában A szükségszerű-lehetetlen pár kontrárius: nem lehet mindkettő igaz, de lehet mindkettő hamis. A „szükségszerű, hogy…” (  p) és a „lehetetlen, hogy…” (  p) nem lehet egyszerre igaz:  p   (  p), illetve  p    (  p) Az viszont előfordulhat, hogy valami sem nem szükségszerű, sem nem lehetetlen – hanem lehetséges. Sem nem szükségszerű, sem nem lehetetlen, hogy (pont most) süssön a Nap – a felhők járásától függően lehet, hogy süt, lehet, hogy nem. A lehetséges pár szubkontrárius viszonyban áll: lehet mindkettő egyszerre igaz, de nem lehet egyszerre hamis. Lehetséges, hogy (valahol éppen) süt a nap (  p), az is lehetséges, hogy nem süt (  p); negációjuk viszont nem lehet egyszerre igaz.

Logikai négyzet a modális logikában A „szükségszerű”-nek a „lehetséges, hogy …”, a „lehetetlen”-nek pedig a „lehetséges, hogy nem …” az alárendeltje: ha az első igaz, szükségszerűen igaz a második is. Ami szükségszerű, az lehetséges is:  p   p, ami pedig lehetetlen, az lehetséges, hogy nem áll fenn:   p   (  p). Adrienn szükségszerűen vesz levegőt. Lehetséges az is, hogy ebben a pillanatban éppen lélegzik. Lehetetlen, hogy az ember repüljön. Ha pedig így van, akkor bizony lehetséges, hogy itt a teremben sem áll senkire, hogy tudna repülni.

Lehetséges világok elmélete Hogyan alapozható meg szemantikailag a modális logika? Mit jelent a szükségszerű és a lehetetlen? Hogyan lehet kontingensen (esetlegesen) igaz, hogy süt a Nap, ha faktuálisan (ténylegesen) nem igaz? Leibniz: számtalan lehetséges világ van, amelyek közül Isten szükségképpen a legjobbat kellett, hogy kiválassza. Az emberi szellem törekvései: versek, utópiák, jog. Lehetséges világ: nem ütközik szükségszerűségbe. – Logikai szükségszerűség zárja ki az olyan világot, amelyben egyszerre igaz az, hogy „minden ember halandó” és „nem minden ember halandó”. – Ontológiai szükségszerűség zár ki egy olyan világot, amelyben pl. nem érvényesül a tömegvonzás törvénye. – Analitikus szükségszerűség zár ki egy olyan világot, amelyben pl. nem igaz, hogy „minden férjnek van felesége”.

Lehetséges világok elmélete Az aktuális világgal szemben a lehetséges világok csak a nyelvben léteznek, mint a világ leírásának alternatívái. A világot leíró (formalizált) nyelvből kell tehát kiindulni az elmélet megalapozásakor: az adott nyelv klasszikus logikai interpretációi jelölik ki az ugyanezen nyelven leírható lehetséges világok körét. Ami ugyanis ezen kívül esik, az logikai lehetetlenséget eredményez. A  A (= lehetséges) állítást a w világban minősítsük igaznak (akkor és csak akkor), ha A igaz w-nek valamely w’ alternatívájában.  A  w 1 V w 2 V … V w n A  A (= szükségszerű) állítást pedig akkor (és csak akkor) minősítsük igaznak w világban, ha A igaz w minden alternatívájában.  A  w 1 & w 2 & … & w n

Időlogika (temporális logika) Egyazon állítás igazságértéke az időben változhat. A klasszikus logika kiterjesztése az idő dimenziójára. Szükségszerű az, ami minden időben igaz és igaz marad. Lehetséges az, ami az idő valamely pillanatában igaz, vagy igazzá válhat. p(t) : nyitott mondat, p állítás valamely t időpillanatban igaz; az időparaméter behelyettesítésével zárt mondatot kapunk. Időlogika mondatfunktorok segítségével építhető ki: P (past, múlt), F (future, jövő), a jelenre a mondatfunktor hiánya utal.

Időlogika (temporális logika)  FA : „Sohasem lesz igaz A állítás” F  A : „Nem lesz mindig igaz A állítás”  PA : „Sohasem volt igaz A állítás” P  A : „Nem volt mindig igaz A állítás”  F  A : „Mindig igaz lesz A állítás”  P  A : „Mindig igaz volt A állítás”   A  (  F  A)  A  (  P  A)  HA  A  GA : „A állítás mindig igaz”   A  (  F  A) V A V (  P  A)  HA V A V GA : „A állítás néha igaz” BPA : “Mióta A, azóta B” BFA : “Mindaddig B, amíg nem A” (  F  )  H (  P  )  G