A Halmazelmélet elemei

A matematikában a halmaz alapfogalom, nem definiálható. A halmaz elnevezést a mindennapi életben is gyakran használják. A halmaz szó gyakran a sokaság, összesség, csoport szavakat helyettesíti. A matematikában a halmaz alapfogalom, nem definiálható. A fogalmak definiálásának korlátai lehetnek. Gondoljunk a következő példára: Adjuk meg a ponty meghatározását. Kezdjük: a ponty olyan hal, amely… (és ekkor soroljuk a speciális jellemzőket.) A hal olyan állat, amely…(a vízben él, és soroljuk a speciális jellemzőket.) Az állat olyan élőlény, amely… Az élőlény az anyag olyan formája, amely… Az anyag fogalmát már nem tudjuk így meg- adni, azt alapfogalomnak tekintjük.

ha bármely dologról egyértelműen el tudjuk dönteni, A halmaz megadása Egy halmaz akkor adott, ha bármely dologról egyértelműen el tudjuk dönteni, hogy a halmazhoz tartozik-e, azaz eleme-e a halmaznak. Így a halmaz megadásához a halmazhoz tartozás szabályát kell megadnunk, amit többféleképp tehetünk meg. Ismertek például a különböző számhalmazok megadási módjai: A természetes számok N (naturális számok) halmaza megadható felsorolással: N = {0, 1, 2, 3, 4, …}. De megadatjuk így is: N = {nem negatív egész számok}.

Emlékeztetőül a számhalmazok: Az egész számok halmaza: Z=…–2, –1, 0, 1, 2, 3,…. A racionális számok két egész szám hányadosaként, illetve szakaszos tizedes- törtként írhatók fel: Q=xx=p/q, és p;qZ, q0, így: Q=0,±1/2, 1,±1/3,…. (Kiolvasása: a Q halmaz azokból az x számokból áll, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként, és a törtben a nevező nem lehet nulla.) Az irracionális számok: I=a nem szakaszos végtelen tizedestörtek.

A valós számok halmazát használjuk leggyakrabban: R=a racionális és az irracionális számok együtt . Az R tartalmazza Q-t, Q a Z-t, a Z pedig N-et. N Z Q I R A halmazhoz tartozás szokásos jelölése: például az, hogy az 5 természetes szám: 5N, (5 eleme N). A „nem eleme” jelölése: a negatív számok, például a –2 esetén: –2N. Megjegyzés: A természetes számokat gyakran sorszám értelemben használjuk, ilyenkor a jelölés: N+={1, 2, 3, 4,…}.

Relációk halmazok között A reláció kapcsolatot, viszonyt jelent. 1. Két halmaz egyenlő, ha elemeik azonosak. 2. Részhalmaz reláció: egyik halmaz ( H1 ) része egy másiknak ( H2 ), ha a H1 minden eleme a H2 –höz is tartozik. Jelölése: H1  H2 . az A tanuló jegyei: 3, 3, 3, 4, 4. B tanulóé: 3, 4, 4, 4, 4. 4. A C-é:3, 4, 5. Példa: Az A jegyeinek halmaza: A=3, 4 . (A halmaz mindig különböző elemeket tartalmaz, a sokaságban lehetnek azonosak.) A B jegyeinek halmaza: B=3, 4 . A C jegyei halmazt alkotnak: C= 3, 4, 5 . Ezekre a halmazokra igaz: A=B, A  C és B  C.

Elnevezés: az A halmaz valódi része B-nek, ha A  B, de AB. Ha A és B között egyenlőség is lehet, akkor a jelölés: A  B. Példa: az említett számhalmazokra igaz: N  Z  Q  R, illetve: I  R. Egy valós szám vagy racionális, vagy irracionális, tehát: Q  I. N Z Q I R

Alapműveletek halmazok között A halmazművelet tulajdonképpen halmazokhoz halmaz hozzárendelése, az elemeik közötti kapcsolatok megadásával. A.) Binér műveletek (Binér:két halmazhoz rendelünk egy harmadikat.) 1. Egyesítés ( únió ) Adott az A és a B halmaz. Egyesítésük, a C halmaz mindazokat az elemeket tartalmazza, amelyek vagy az A–hoz, vagy a B–hez, vagy mindkettőhöz tartoznak. Jelölése: A  B = C, vagy: A+B = C. Például: ha A = 3, 5, 7, 9 , B = 1, 2, 3, 4, 5 , akkor C = A+B = 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 .

Alapműveletek halmazok között A.) Binér műveletek 2. Közös rész (metszet) Az adott A és B halmazokhoz azt a C halmazt rendeljük, amelynek elemei A–hoz is és B–hez is tartoznak. Jelölése: A  B = C, vagy: AB = C. Például: ha A = 3, 5, 7, 9 , B = 1, 2, 3, 4, 5 , akkor C = A·B = 3, 5 . A halmazműveletekben a + és · jel mást jelent, mint a „számtan”-ban! Ezt a két műveleti jelet egyszerűsítésként használhatjuk az  és a  jelek helyett.

Megjegyzések: Az alapműveletek jól szemléltethetők az ú.n. Venn diagramokkal. A két halmaznak egy-egy „körlapot” feleltetünk meg. Az únió: A+B (zöld), a metszet: A·B (piros). · A + B A B 2. Előfordul, hogy a két halmaznak nincs közös eleme. Elnevezés ez esetben: a halmazok idegenek, diszjunktak. Bevezetjük az üres halmaz fogalmát (jelölése: ): olyan halmaz, amelynek nincs egy eleme sem. Ha A és B diszjunkt: AB = .

B.) Unáris művelet Unáris: egy halmazhoz egy másikat rendelünk. Definició: ha A  B, akkor az A kiegészítésén, más szóval komplementerén értjük a B halmaz összes, A–hoz nem tartozó elemét. Komplementer képzésnél azt a B halmazt, amire a kiegészítés történik, általában alaphalmaznak nevezzük és H–val jelöljük. Venn diagrammal: Az A halmaz komplementere: H Az A halmaz komplementere H halmaz A–n kívüli része. A Jelölése:

= A. További műveletek 1. Kivonás A A-B Adott H halmaztesten az A komplementerének komplementere maga az A, azaz: = A. Igaz: =Ø illetve: = H. További műveletek 1. Kivonás Definíció : adott A és B halmaz, az A–B jelenti az A halmaz B–n kívüli elemeit. Venn diagrammal ábrázolva: A A-B B Ha az A és B halmaz ugyanannak a H (alap)halmaznak része, akkor a halmazok különbségét visszavezethetjük alapműveletekre: A – B = A Ugyanis az A–B különbség az A–nak a H alaphalmazon a B–n kívüli elemekkel közös része. Érdekesség: a halmazok közötti „kivonás” nem az „összeadás” (egyesítés, únióképzés) „ellentett” művelete, hiszen általában nem igaz, hogy (A–B)+B egyenlő lenne A–val.

2. A halmazok Descartes–féle szorzata Definíció : két halmaz, az A és B elemeiből rendezett párokat képezünk. Az így kapott elempárok halmazát az A és B Descartes szorzatának nevezzük. Jelölése: AxB=C. Legyen A=a, b, c  és B=3, 5 . A Descartes szorzatuk: C = AxB = (a,3), (a,5), (b,3), (b,5), (c,3), (c,5). Például:

Az alapműveletek azonosságai Idempotens tulajdonság („önmagával azonos”), más néven a tautológia szabálya: 1. A+A=A 2. AA=A Kommutatívitás („felcserélhetőség”): 3. A+B=B+A 4. AB=BA Asszociatívitás („átzárójelezhetőség”): 5. A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C 6. A (BC)=(AB)C= ABC Az asszociatívitás több, mint „átzárójelezés”. A szabály szerint a két halmazra értelmezett műveleteket három (négy, öt, …n…) halmazzal is elvégezhetjük.

Az alapműveletek azonosságai Disztributívitás („szétosztás”): 7. A(B+C) = AB+AC 8. A+(BC) = (A+B)(A+C) Komplementerre vonatkozó azonosságok: 9. A+Ā = H (H az alaphalmaz, halmaztest) . AĀ = Ø (a Ø az üres halmaz). A speciális halmazokra vonatkozó azonosságok: 11. A+H = H 12. AØ = Ø 13. A+Ø = A 14. AH = A A 14 alapazonosságot célszerű (fontos!) egyszer s mindenkorra megjegyezni!

Az azonosságok igazolása nem bonyolult, csak a műveletek jelentésére kell gondolnunk. Szabályosságot vehetünk észre az alapazonosságok között: a „páros sorszámú” (2., 4., …14.) azonosságok hasonlóak a „páratlan sorszámú” azonosságokhoz. Ez a dualitás elvéből következik: minden azonosság érvényben marad, ha a binér műveleteket (a + és a  ) az egyenlőség mindkét oldalán felcseréljük és egyúttal megcseréljük a speciális halmazokat is (az üres halmazt az alaphalmazra és viszont). Például: A(B+C)=AB+AC és a duálja: A+(BC)=(A+B)(A+C), vagy: A+H=H és a duális alak: A=.

További műveleti azonosságok Az alapazonosságokból képezhetünk olyan összefüggéseket, amelyekkel egyszerűsíthetjük, gyorsíthatjuk a munkánkat a feladatmegoldások során. 1.Beolvasztási („elnyelési”, azaz abszorpciós) azonosság: A(A+B)=A és a duálja: A+AB=A. A szabályt az alapazonosságokkal igazolhatjuk: A+AB=(14.azonosság)=AH+AB=(7.az.)=A(H+B)=(11.az.)=AH=(14. az.)=A. 2. De Morgan azonosság: és a duál alak: További “kész” azonosságot a halmazelméletben ritkán használunk.

A megoldáshoz a kivonást alapművelettel helyettesítjük: Példa: hozzuk egyszerűbb alakra a K = (A–B) + AB + (B–A) kifejezést! A megoldáshoz a kivonást alapművelettel helyettesítjük: A–B=A· és B–A=B· A fenti példánkat úgy is fogalmazhattuk volna: Bizonyítsuk be a következő állítást: (A–B)+AB+(B–A)=A+B.

A halmazok számossága Véges sok elemet tartalmazó halmaznál egyszerű a dolog: a halmaz számosságát megkapjuk, ha összeszámláljuk az elemeket. A végtelen sok elemet tartalmazó halmazoknál definiálunk egy alapesetet: a természetes számok halmazának számosságát megszámlálhatóan végtelennek nevezzük. Más, nem véges sok elemet tartalmazó halmaz számosságát igyekszünk viszonyítani ehhez. Az összehasonlítást párbaállítással végezhetjük el. A „párosítás”-nak kölcsönösen egyértelmű módon kell történnie és ha ez lehetséges, akkor a két halmazt ekvivalensnek nevezzük.

A páros számok halmaza ekvivalens a természetes számok halmazával. Példa: A páros számok halmaza ekvivalens a természetes számok halmazával. Lehetséges ugyanis a kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés: Páros számok: 0 2 4 6 8 10….. ↨ ↕ ↨ ↨ ↨ ↨ Term. számok: 1 2 3 4 5 6… Ha mindegyik természetes számhoz egyértelműen hozzá tudjuk rendelni egy másik halmaz elemeit, akkor az illető halmazt is megszámlálhatóan végtelennek, vagy röviden megszámlálhatónak mondjuk. 20