Szabályozási Rendszerek Automatizálási tanszék Szabályozási Rendszerek 2013/2014, őszi szemeszter Előadás
Alapkapcsolások Párhuzamos kapcsolás 𝑌= 𝑌 1 + 𝑌 2 = 𝑊 1 𝑈 + 𝑊 2 𝑈 = 𝑊 1 + 𝑊 2 𝑈= 𝑊 er 𝑈 𝑊 er = 𝑊 1 𝑠 + 𝑊 2 𝑠
Alapkapcsolások Soros kapcsolás 𝑌= 𝑊 1 ( 𝑊 2 𝑈) = 𝑊 er 𝑈
Visszacsatolásos kapcsolás Alapkapcsolások Visszacsatolásos kapcsolás 𝑌= 𝑊 1 (𝑈− 𝑊 2 𝑌) = 𝑊 1 𝑈− 𝑊 1 𝑊 2 𝑌 1+ 𝑊 1 𝑊 2 𝑌= 𝑊 1 𝑈 𝑌= 1+ 𝑊 1 𝑊 2 ) −1 𝑊 1 𝑈= 𝑊 er 𝑈 𝑊 er = 𝑊 1 𝑠 1+ 𝑊 1 𝑠 𝑊 2 𝑠
Elágazási és összegzési pontok szabályai Alapkapcsolások Elágazási és összegzési pontok szabályai
Alapkapcsolások 1. példa
Alapkapcsolások 2. példa
Alapkapcsolások 2. példa
Alapkapcsolások 2. példa
Alapkapcsolások 2. példa
Alapkapcsolások 2. példa 𝑊 er = 𝑊 1 𝑠 𝑊 2 𝑠
Alapkapcsolások 2. példa 𝑊 er = 𝑊 1 𝑠 𝑊 2 𝑠
Alapkapcsolások 2. példa 𝑊 er = 𝑊 1 𝑠 𝑊 2 𝑠
Alapkapcsolások 2. példa
Alapkapcsolások 2. példa 𝑊 er = 𝑊 1 𝑠 1+ 𝑊 1 𝑠 𝑊 2 𝑠 𝑊 er = 𝐻 2 𝐻 3 𝐻 4 1− 𝐻 3 𝐻 4 𝐻 5 1+ 𝐻 2 𝐻 3 𝐻 4 1+ 𝐻 3 𝐻 4 𝐻 5 𝐻 7 𝐻 4 𝑊 er = 𝐻 2 𝐻 3 𝐻 4 1− 𝐻 3 𝐻 4 𝐻 5 1+ 𝐻 2 𝐻 3 𝐻 7 1+ 𝐻 3 𝐻 4 𝐻 5 𝑊 er = 𝐻 2 𝐻 3 𝐻 4 1− 𝐻 3 𝐻 4 𝐻 5 1+ 𝐻 3 𝐻 4 𝐻 5 + 𝐻 2 𝐻 3 𝐻 7 1+ 𝐻 3 𝐻 4 𝐻 5 𝑊 er = 𝐻 2 𝐻 3 𝐻 4 1− 𝐻 3 𝐻 4 𝐻 5 + 𝐻 7 𝐻 2 𝐻 3
Alapkapcsolások 2. példa
Alapkapcsolások 2. példa
Alapkapcsolások 3. példa
Alapkapcsolások 3. példa
Alapkapcsolások 3. példa
Alapkapcsolások 3. példa
Alapkapcsolások 3. példa 𝑊 er = 𝑊 1 𝑠 1+ 𝑊 1 𝑠 𝑊 2 𝑠
Lineáris tagok leírási módszerei közötti áttérési lehetőségek Lineáris tagok és rendszerek leírási módszerei Lineáris tagok leírási módszerei közötti áttérési lehetőségek W(t) DE W(s) SE v(t)
Differenciálegyenletről az átviteli függvényre való áttérés Lineáris tagok és rendszerek leírási módszerei Differenciálegyenletről az átviteli függvényre való áttérés 𝑎 𝑛 𝑦 (𝑛) +…+ 𝑎 1 𝑦 (1) + 𝑎 0 𝑦 = 𝑏 𝑚 𝑢 (𝑚) +…+ 𝑏 1 𝑢 (1) + 𝑏 0 𝑢 𝑊 𝑠 = 𝑗=0 𝑚 𝑏 𝑗 𝑠 𝑗 𝑖=0 𝑛 𝑎 𝑖 𝑠 𝑖 Kimenő jel: 𝑌 𝑠 =𝑊 𝑠 𝑈(𝑠)
A súlyfüggvény és az átviteli függvény közötti kapcsolat Lineáris tagok és rendszerek leírási módszerei A súlyfüggvény és az átviteli függvény közötti kapcsolat 𝑤 𝑡 =ℒ −1 𝑊(𝑠) = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 ℒ 𝑤(𝑡) =𝑊(𝑠) Kimenő jel: 𝑦 𝑡 = 0 𝑡 𝑢 𝑡−𝜏 𝑤 𝜏 𝑑𝜏
Az átviteli függvény és az átmeneti függvény közötti kapcsolat Lineáris tagok és rendszerek leírási módszerei Az átviteli függvény és az átmeneti függvény közötti kapcsolat ℒ 𝑣(𝑡) =𝑊(𝑠) 1 𝑠 𝑣 𝑡 =ℒ −1 𝑊(𝑠) 1 𝑠 = 0 𝑡 𝑤 𝜏 𝑑𝜏 Kimenő jel: 𝑦 𝑡 = 0 𝑡 𝑢 𝑡−𝜏 𝑑𝑣 𝜏
Az állapotegyenletről az átviteli függvényre való áttérés Lineáris tagok és rendszerek leírási módszerei Az állapotegyenletről az átviteli függvényre való áttérés 𝑥 =𝐴𝑥+𝐵𝑢, 𝑥 0 =0, 𝑦=𝐶𝑥+𝐷𝑢. 𝑊 𝑠 =𝐶 (𝑠𝐼−𝐴) −1 𝐵+𝐷. Az átviteli függvényről az állapotegyenletre való áttérés: szabályozó alak 𝑌 𝑠 = 𝐵 𝑠 𝐴 𝑠 𝑈 𝑠 = 𝑏 𝑛−1 𝑠 𝑛−1 +…+ 𝑏 1 𝑠+ 𝑏 0 𝑎 𝑛 𝑠 𝑛 +…+ 𝑎 1 𝑠+ 𝑎 0 . 𝑥 = − 𝑎 𝑛−1 𝑎 𝑛 − 𝑎 𝑛−2 𝑎 𝑛 … − 𝑎 1 𝑎 𝑛 − 𝑎 0 𝑎 𝑛 1 0 … 0 0 0 1 … 0 0 ∶ ∶ ∶ ∶ 0 0 … 1 0 𝑥+ 1 𝑎 𝑛 0 0 ∶ 0 𝑢, 𝑦= 𝑏 𝑛−1 𝑏 𝑛−1 … 𝑏 1 𝑏 0 𝑥.
Ideális alaptagok Arányos tag Differenciálegyenlete: 𝑎 0 𝑦 𝑡 = 𝑏 0 𝑢 𝑡 , Átviteli függvénye: 𝑊 𝑠 =𝐴, Súlyfüggvénye: w t = 𝐴𝛿 𝑡 , Átmeneti függvénye: 𝑣 𝑡 =ugrásfüggvény, Nyquist: Egy pont a valós tengelyen, Amplitúdó-diagram: Frekvenciatengellyel párhuzamos, Frekvencia-diagram: Fázisszöge: minden frekvencián zérus. Pl.: - elektronikus erősítő a lineáris tartományban
Ideális alaptagok Integráló tag Differenciálegyenlete: 𝑇 𝐼 d𝑦 𝑡 d𝑡 =𝑢 𝑡 , A differenciálegyenlet megoldása: 𝑦 𝑡 = 1 𝑇 𝐼 0 𝑡 𝑢 𝑡 d𝑡+𝑐, Átviteli függvénye: 𝑊 𝑠 = 1 𝑠 , Súlyfüggvénye: w t =ugrásfüggvény, Átmeneti függvénye: 𝑣 𝑡 =sebességugrás, Nyquist: pozitív ω -ra a negatív Im tengelyre eső egyenes, Amplitúdó-diagram: −20dB/dekád, metszéspont: 1/𝑇 𝐼 -nél, Frekvencia-diagram: Fázisszöge: minden frekvencián -90∘. Pl.: - folyadéktartály beáramló folyadék és a szintmagasság közti összefüggés, vagy - egy kondenzátor kapocsfeszültsége és a töltőárama közti összefüggés, vagy - motor szögelfordulás-változása a fordulatszám függvényében
Ideális alaptagok Differenciáló tag Differenciálegyenlete: y t = d𝑢 𝑡 d𝑡 , y t = 𝜏 D d𝑢 𝑡 d𝑡 , Átviteli függvénye: 𝑊 𝑠 =𝑠, 𝑊 𝑠 = 𝜏 D 𝑠, Súlyfüggvénye: w t =2 ellentétes irányú 𝛿(𝑡), Átmeneti függvénye: 𝑣 𝑡 = 𝜏 d területű 𝛿 𝑡 , Nyquist: pozitív ω -ra a pozitív Im tengelyre eső egyenes, Amplitúdó-diagram: +20dB/dekád, metszéspont: 1/𝑇 𝐷 -nél, Frekvencia-diagram: Fázisszöge: minden frekvencián +90∘ Pl.: - nyitott szekunderkörű transzformátor primer áramának és szekunder oldali indukált feszültségének kapcsolata, ha a primer körben a primer áram nem változik ugrásszerűen
Ideális alaptagok Holtidős tag 𝑦 𝑡 = 0, ha 𝑡< 𝑇 d , 𝑢 𝑡− 𝑇 d , ha 𝑡≥ 𝑇 d , Differenciálegyenlete: 𝑎 0 𝑦 𝑡 = 𝑏 0 𝑢 𝑡− 𝑇 d , vagy 𝑦 𝑡 =𝐴𝑢 𝑡− 𝑇 d , Átviteli függvénye: 𝑊 𝑠 =𝐴 𝑒 −𝑠 𝑇 d , Súlyfüggvénye: w t = 𝑇 d −vel eltolt 𝐴 területű 𝛿(𝑡), Átmeneti függvénye: 𝑣 𝑡 = 𝑇 d −vel eltolt 𝐴 amplitúdójú ugrás, Nyquist: Egymást fedő körök, 𝜔 növelésével -𝜔 𝑇 𝑑 szöggel fordul el, Amplitúdó-diagram: Frekvenciatengellyel párhuzamos, Frekvencia-diagram: Fázisszöge: lineárisan változik a frekvenciával. Pl.: - minden reális rendszerben jelen van. Energiaáramlási jelenségeknél (pl. szállítószalagon, vagy csővezetéken történő anyagtovábbítás, hőáramlás) nem hanyagolható el
Egytárolós (arányos) tag Tárolós tagok Egytárolós (arányos) tag Differenciálegyenlete: 𝑇 d𝑦(𝑡) d𝑡 +𝑦 𝑡 =𝐴𝑢 𝑡 , Átviteli függvénye: 𝑊 𝑠 = 𝐴 1+𝑠𝑇 , Súlyfüggvénye: 𝑤 𝑡 = 𝐴 𝑇 𝑒 −𝑡/𝑇 , Átmeneti függvénye: 𝑣 𝑡 =𝐴(1− 𝑒 −𝑡/𝑇 ), Nyquist: pozitív ω -ra egy félkör, ω = 0-tól, ω →∞-ig, Amplitúdó-diagram: 0dB 1/T-ig, utána -20dB/dekád, Frekvencia-diagram: −arctg 𝜔𝑇 . Pl.: - soros RL kör