Dr. Szalka Éva, Ph.D.1 Statisztika II. IX.

Dr. Szalka Éva, Ph.D.2 Idősorok elemzése

Dr. Szalka Éva, Ph.D.3 Alapfogalmak A statisztikai elemzés szempontjából az idősornak három összetevője van. alapirányzat (trend) Periodikus ingadozás véletlenszerű ingadozás Az egyes komponensek között lehet a kapcsolat: –Additív kapcsolat: a komponensek összege adja az idősort. –Multiplikatív kapcsolat: a komponensek szorzata adja az idősort

Dr. Szalka Éva, Ph.D.4 Egyszerű elemzési módszerek Számtani átlag (időtartam - flow változóknál) Kronológikus átlag (állományi – stock változóknál): Nyitó és záró állomány átlagának az átlaga (ekvidisztans megfigyeléseknél – időben egymástól egyenlő távolságra levő elemek)

Dr. Szalka Éva, Ph.D.5 Egyszerű elemzési módszerek Átlagos változás mutatói : a változás átlagos mértéke: Az időegységre jutó átlagos változást adja meg. a változás átlagos üteme: Ez viszonyszámként adja meg a változás ütemét, fejlődést tükröz

Dr. Szalka Éva, Ph.D.6 Mozgóátlagolásos trendszámítás Feltételezés : nem tudjuk megadni a trendfüggvény típusát Nincs kellő ismeret, vagy Ciklusok zavarják a függvényt

Dr. Szalka Éva, Ph.D.7 Mozgóátlagolásos trendszámítás Az idősor t-edik eleméhez úgy rendelünk trendértéket, hogy átlagoljuk az idősor t-edik elemének bizonyos környezetében lévő elemeket m tagból számítunk mozgóátlagot:A trend „rövidül”, az elején és a végén k számú időszak kimarad Ha m=2k+1 (azaz páratlan), akkor Rövidülés mértéke:2k=m-1 Ha m=2k (azaz páros), akkor Rövidülés mértéke:2k=m

Dr. Szalka Éva, Ph.D.8 A mozgóátlagolás tulajdonságai Kisimítják az idősort Csökkenti a véletlen tag szerepét

Dr. Szalka Éva, Ph.D.9 Szezonalitás Többnyire rövid távú ingadozás Feltételezzük az időben állandó hullámhosszat és szabályos amplitúdót Meghatározza a mozgóátlag tagszámát (hullámhossz egész számú többszöröse)

Dr. Szalka Éva, Ph.D.10 Analitikus trendszámítás Ha a vizsgált jelenség tartós irányzatát az idő függvényében valamilyen regressziós függvénnyel határozzuk meg, akkor analitikus trendszámításról beszélünk Az idősorban lévő tartós tendenciát alkalmasan választott analitikus függvénnyel írja le, lehet: –Lineáris trendszámítás –Nemlineáris trendszámítás

Dr. Szalka Éva, Ph.D.11 Lineáris trendszámítás Alapmodellje

Dr. Szalka Éva, Ph.D.12 Lineáris trendszámítás Cél a és a paraméterek becslése Legkisebb négyzetek módszerével Minimalizáljuk a négyzetösszeget:

Dr. Szalka Éva, Ph.D.13 Lineáris trendszámítás Minimalizálandó négyzetösszeg: Átrendezve, deriválva és a parciális deriváltakat 0-val egyenlővé téve kapott normálegyenletek :

Dr. Szalka Éva, Ph.D.14 Lineáris trendszámítás A megoldáshoz kódolnunk kell az idősor adatait. Ez többféleképpen lehetségesféleképpen történhet: Ha az idősort t=1,2,3,…n kódoljuk

Dr. Szalka Éva, Ph.D.15 Lineáris trendszámítás Ha az idősort  t=0 módon kódoljuk, akkor különbség van a páros és páratlan számú idősor esetében. - Páratlan tagszámú időssor: évt

Dr. Szalka Éva, Ph.D.16 Lineáris trendszámítás Páros tagszámú idősor esetén: évtt , , , , , , , ,57

Dr. Szalka Éva, Ph.D.17 Lineáris trendszámítás Ebben az esetben a normálegyenletek egyszerűbbek, és a trendfüggvény együtthatóit az alábbi képletekkel kapjuk meg

Dr. Szalka Éva, Ph.D.18 Lineáris trendszámítás Ezután a regresszió számításhoz hasonlóan, kiszámoljuk a reziduális szórásnégyzetet. és a reziduális szórás mutatószámát: Ez a valós értékektől való átlagos eltérését mutatja a trendértékeknek.

Dr. Szalka Éva, Ph.D.19 Exponenciális trendszámítás A  t=0 esetében a normálegyenletek leegyszerűsödnek:

Dr. Szalka Éva, Ph.D.20 Szezonális ingadozások elemzése

Dr. Szalka Éva, Ph.D.21 Szezonalitás Többnyire rövid távú ingadozás Feltételezzük az időben állandó hullámhosszat és szabályos amplitúdót

Dr. Szalka Éva, Ph.D.22 Szezonális ingadozások A szezonhatás vizsgálatánál arra keresünk választ, hogy a szezonalítás milyen mértékben vagy arányban téríti el az idősor értékét az alapirányzattól. Vizsgálatánál az idősor adataiból ki kell szűrnünk a trendhatást és a véletlen hatást. A szezonalitást additív modell esetén szezonális eltérésekkel, multiplikatív modell esetén pedig szezonindexekkel jellemezzük.

Dr. Szalka Éva, Ph.D.23 Szezonális eltérés

Dr. Szalka Éva, Ph.D.24 Szezonális eltérés Lineáris trend esetében a kapott szezonális eltérések összege nullával egyenlő. Más trendfüggvények esetében: Ilyen esetben a szezonális eltérések korrekciójára van szükség, ekkor a kiszámolt szezonális eltéréseket nyers szezonális eltéréseknek nevezzük.

Dr. Szalka Éva, Ph.D.25 Szezonindex vagy

Dr. Szalka Éva, Ph.D.26 Szezonindex A szezonindexnél is célszerű korrekciót végezni, ha a trendet nem exponenciális függvénnyel írtuk le.

Dr. Szalka Éva, Ph.D.27 Véletlenhatás Additív összefüggés esetén: Multiplikatív összefüggéskor pedig:

Dr. Szalka Éva, Ph.D.28 Extrapoláció A trendegyenlet meghatározásával előrejelzést (extrepoláció) végezhetünk. A meghatározott trendegyenletbe behelyettesítjük a becsülni kívánt évhez tartozó „ti”-értéket, és kiszámoljuk a trendértékét. Ezután ha van szezonhatás, akkor azzal korrigálunk. –Additív összefüggés esetén a kiszámított trendértéket hozzáadjuk a szezonális eltérést, –multiplikatív összefüggéskor a trendértéket megszorozzuk a szezonindexszel.