Logikai programozás Prolog

Programnyelvek imperatív deklaratív funkcionális logikai

Logikai reprezentáció  logikai program Predikátumok konstans argumentumokkal  tények pl. anyja(‘Diana’,’Andrew’). Horn-klóz  szabály/klóz a pozitív literál: B – következmény a klóz feje a feltételek a klóz törzse x, y [(apja(x,y)  anyja(x,y))  szuloje(x,y)] szuloje(X,Y):-apja(X,Y). szuloje(X,Y):-anyja(X,Y). Kérdések  célok x szuloje(x,Andrew)  ?-szuloje(X,Andrew).

Logikai program ‘objektumai’ Állítások Tények konstansok vagy univerzális változók Predikátumok vagy relációk Kérdések/Célok Szabályok – Horn-klózok Ezekben: termek Egyszerű Összetett

Termek egyszerű term változó állandó (konstans) - atomok nagybetűvel v. _ jellel kezdődnek _Valtozo: érdektelen: ha egy mondatban csak egyetlen előfordulása (singleton) állandó (konstans) - atomok név ’ ’ között, speciális jelsorozatok is! (pl. =<) 4 különleges név: ; (or, else,elseif), ! (cut), [ ] (nil), {} (empty) szám egész lebegőpontos - összetett term: struktúra = funktor alakjuk f(t1,…., tn) változómentes term: alapterm

Típusok és osztályozó eljárások változók – var/1 nem változók – nonvar/1 struktúrák – compound/1 egyszerűek – atomic/1 atom – atom/1 szám – number/1 egész – integer/1 lebegőpontos – float/1 minden típus – any/1

Példák 1. 2. Londoni metróhálózat A1 Fifi mindenhova követi Jánost. A2 János a parkban van. B Hol van Fifi? 2. Londoni metróhálózat

Hol van Fifi? HelyenVan(‘Fifi’,X):-HelyenVan(‘János’,X). HelyenVan(‘János’,park). Hol van Fifi? ?-HelyenVan(‘Fifi’,Y).

Londoni metró

Tények osszekapcsolt(bond_street,oxford_circus,central). Összekapcsolt állomások: közvetlen szomszédok osszekapcsolt(Allomas1, Allomas2, Vonal). osszekapcsolt(bond_street,oxford_circus,central). osszekapcsolt(oxford_circus,tottenham_court_road,central). osszekapcsolt(bond_street,green_park,jubilee). osszekapcsolt(green_park,charing_cross,jubilee). osszekapcsolt(green_park,piccadilly_circus,piccadilly). osszekapcsolt(piccadilly_circus,leicester_square,piccadilly). osszekapcsolt(green_park,oxford_circus,victoria). osszekapcsolt(oxford_circus,piccadilly_circus,bakerloo). osszekapcsolt(piccadilly_circus,charing_cross,bakerloo). osszekapcsolt(tottenham_court_road,leicester_square,northern). osszekapcsolt(leicester_square,charing_cross,northern).

Szabályok Egymáshoz közeli állomások: azonos vonalon, köztük legfeljebb 1 állomás ha közvetlenül össze vannak kapcsolva kozel(X,Y):-osszekapcsolt(X,Y,L). vagy ha van egy Z állomás, amelyik össze van kapcsolva X-szel és Y-nal is ugyanazon a vonalon kozel(X,Y):-osszekapcsolt(X,Z,L),osszekapcsolt(Z,Y,L).

Kérdések Milyen állomások vannak közel a Bond Streethez? ?- kozel(bond_street,A). Milyen állomások vannak egymás mellett a Central vonalon? ?- osszekapcsolt(A,B,central).

Kérdések megválaszolása Bizonyítási feladat Predikátumok egyesítésével = illesztésével Legáltalánosabb egyesítő helyettesítéssel Felülről lefele bizonyítás A célsorozatból a legbaloldalibb célt választjuk A cél atomi formuláival egyesítünk állításfejeket (tény v. szabály) ha ténnyel egyesítünk: kiejtjük a részcélt ha szabállyal egyesítünk: a szabály törzse lesz az új részcél 1 ilyen lépés: célredukciós lépés Ha az összes részcélt kiejtettük, bebizonyítottuk a célt Ha több szabályfej is egyesíthető a részcéllal  a levezetések faszerűen elágazhatnak

Bizonyítás Keresési fa/Levezetési fa gyökere: eredeti cél csúcsok: részcélok levelek: megoldáslevelek (üres célok) vagy fail-levelek Legbal részcélkiválasztási módszer Végtelen levezetési fákat eredményezhet A bejárás legjobb módja a problémától függ! Prolog: szándékos döntés, memóriakihasználás érdekésben A klózokat megfelelően rendezve általában kiküszöbölhető a végtelen fa

A keresési fa építése Redukciós lépés: egy célsorozatot és egy klózt kap bemenetként. 1. A klóz minden változóját új változóra cseréljük. 2. A célsorozatot felbontjuk első hívásra és maradékra. 3. Az első hívást egyesítjük a klózfejjel. 4. A szükséges behelyettesítéseket elvégezzük a klóz törzsén és a célsorozat maradékán. 5. Ha a hívás és a klózfej nem egyesíthető, akkor a redukciós lépés meghiúsul.

A keresési fa felépítése Megoldás megkeresése 1. Megkeressük az eljárás 1. olyan klózát, amelyre a redukciós lépés sikeresen lefut. Ha nincs ilyen klóz, akkor visszalépés történik (vagy meghiúsulás, ha nem lehet visszalépni) visszalépés = keresünk egy másik állításfejet, amely az előző részcéllal esetleg egyesíthető lesz Ha sikerült az egyesítés, és megoldást kaptunk, akkor kiírjuk, és megkérdezzük a felhasználót, kér-e újabb megoldást. Ha kér: visszalépés, és az 1. ponttól folytatjuk Ha nem megoldás volt, akkor a klóz törzséből új célsorozat lesz. 2. Ha nem volt visszalépés, akkor az új célsorozat predikátumát keressük: 1. lépés Visszalépés: mindig az eggyel feljebbi szintre

Egyesítési/illesztési algoritmus Legáltalánosabb egyesítő helyettesítés keresése változót lehet helyettesíteni változóval állandóval funktorral állandót lehet helyettesíteni ugyanazzal az állandóval (pl. ‘Izsák’ – ‘Izsák’) funktort lehet helyettesíteni HA aritásuk és nevük megegyezik: paramétereiket illesztjük

Kérdések megválaszolása ?- osszekapcsolt(A,B,central). ?- kozel(bond_street,A).

Aritmetikai műveletek Prolog eljárások – név/aritás Használhatjuk őket infix pozícióban is = / 2 A = B beépített eljáráshívás akkor és csak akkor sikerül, ha a két argumentuma egyesíthető is / 2 Az X is Kif hívás a Kif aritmetikai kifejezés értékét egyesíti X-szel. Pl. az 1*2+3 értékét így számíthatjuk ki: ? - X is 1*2+3. X=5 ? ; no +, -, *, /, mod, // (egész osztás)

Metalogikai predikátumok Aritmetikai műveletek, beépített eljárások =<, >=, <, >, =:=, =\= +, -, *, /, mod, // Csak aritmetikai kifejezések lehetnek az argumentumok is/2 predikátumnak a jobb oldalán csak aritmetikai kifejezés állhat

Termek összehasonlítása Illesztéssel =/2 \=/2 Illesztés nélkül == \== Rendezés: Változók, lebegőpontos, egész, név, összetett term Név: ASCII kód szerint Összetett termek: aritás, név, paraméterek neve

Termek összehasonlítása U V U = V U \= V U == V U \== V U is V U =:= V U =\= V 1 2 nem igen a b hiba 1+2 +(1,2) 2+1 3 X X=1+2 X=3 Y X=Y hbia

„Ciklusok” Prologban Ciklus megvalósítása: rekurzióval Az eljárás saját magára hivatkozik int faktorialis(int n) { if(n <= 1) return 1; return n * faktorialis(n-1); }

Elérhetőség definiálása B állomás akkor elérhető A állomásról, ha el lehet jutni A-ból B-be (akár átszállásokkal) össze vannak kapcsolva közvetlenül van egy A1 állomás, ahonnan B állomás elérhető

Tényekkel elerheto(bond_street,charing_cross). elerheto(bond_street,green_park). elerheto(bond_street,leicester_square). elerheto(bond_street,oxford_circus). elerheto(bond_street,piccadilly_circus). elerheto(bond_street,tottenham_court_road). elerheto(green_park,charing_cross). elerheto(green_park,leicester_square). elerheto(green_park,oxford_circus). elerheto(green_park,piccadilly_circus). elerheto(green_park,tottenham_court_road). elerheto(leicester_square,charing_cross). elerheto(oxford_circus,charing_cross). elerheto(oxford_circus,leicester_square). elerheto(oxford_circus,piccadilly_circus). elerheto(oxford_circus,tottenham_court_road). elerheto(piccadilly_circus,charing_cross). elerheto(piccadilly_circus,leicester_square). elerheto(tottenham_court_road,charing_cross). elerheto(tottenham_court_road,leicester_square).

Rekurzió Elérhető egy állomás egy másikból, ha több másik állomást érintve eljuthatunk egyikből a másikba 1. megoldás (nem praktikus): elerheto0(X,Y):- osszekapcsolt(X,Z,L). elerheto1(X,Y):- osszekapcsolt(X,Z,L1), osszekapcsolt(Z,Y,L2). elerheto2(X,Y,Z1,Z2):- osszekapcsolt (X,Z1,L1), osszekapcsolt(Z1,Z2,L2), osszekapcsolt(Z2,Y,L3).

Rekurzív szabályokkal össze vannak kapcsolva közvetlenül elerheto(X,Y):-osszekapcsolt(X,Y,L). vagy van egy A1 állomás, ahonnan B állomás elérhető elerheto(X,Y):-osszekapcsolt(X,Z,L), elerheto(Z,Y).

Rekurzív szabályok Szabály törzsében szerepel a fejben levő predikátum Rekurzió ne legyen végtelen: nemnegatív, monoton csökkenő függvényt kell találni itt a függvény: a még feldolgozandó út hossza a fában (azaz a közbülső állomások száma egyre csökken, amíg közvetlenül össze nincsenek kapcsolva) ökölszabály: A nem rekurzív klózokat a rekurzívak elé! – jobbrekurzív programok

Struktúrák Funktorok, összetett termek Több objektumból álló szerkezetek reprezentálására Beépített és saját definiálás Beépített példák aritmetikai műveletek: +, -, *, /, mod … függvények: cos, sin, sqrt, …

Utak két állomás között Saját struktúrák (listák) Út A és B állomás között: ha B állomás elérhető A-ból, akkor a közöttük elhelyezkedő állomások listája az út hossza 0, ha közvetlenül össze vannak kapcsolva – nincsut konstanssal jelöljük az 1 hosszú, Z állomáson át vezető út: ut(Z) 2 hosszú, Z1 és Z2 állomáson át vezető út: ut(Z1,Z2) …

Utak meghatározása (max. 2 hosszú) elerheto1(X,Y,nincsut):-osszekapcsolt(X,Y,L). elerheto1(X,Y,ut(Z)):- osszekapcsolt(X,Z,L1), osszekapcsolt(Z,Y,L2). elerheto1(X,Y,ut(Z1,Z2)):- osszekapcsolt(X,Z1,L1), osszekapcsolt(Z1,Z2,L2), osszekapcsolt(Z2,Y,L3). ?-elerheto1(oxford_circus, charing_cross, R)

Megoldások ?-elerheto1(oxford_circus, charing_cross, R) R = ut(piccadilly_circus) ; R = ut(tottenham_court_road, leicester_square) ; R = ut(piccadilly_circus, leicester_square) ; No

Rekurzív megoldással %rekurzioval elerheto_ut2(X,Y,nincsut):-osszekapcsolt(X,Y,L). %E: elso allomas, M: ut maradeka elerheto_ut2(X,Y,ut(E,M)):-osszekapcsolt(X,E,L), elerheto_ut2(E,Y,M).

Megoldások

Listák az ut funktor megfelel a ./2 beépített funktornak: „ listaépítő” funktor Lista: összetett adatszerkezet .(E, M) struktúrát [E | M] alakban is írhatjuk E: lista első eleme (feje), M: a lista maradéka (törzse/farka) az [X1, X2, …, Xn | [] alakból a [] elhagyható lista jelölése: [1, 2, 3] - ez a .(1, .(2, .(3,[]))) lista

Listák Közönséges adattípus % :- type list(T) ---> .(T, list(T)) ; []. Valódi Üres: [] Nem üres Részleges Konstruktora: ./2

Lista építése .(X, Xs) konstruktort [X | Xs] alakban is írhatjuk az [X1, X2, …, Xn | [] alakból a [] elhagyható lista jelölése: [1, 2, 3] - ez a .(1, .(2, .(3,[]))) lista

Utak keresése listával elerheto2(X,Y,[]):-osszekapcsolt(X,Y,L). elerheto2(X,Y,[Z|R]):-osszekapcsolt(X,Z,L), elerheto2(Z,Y,R). %kerdes: min. 2 hosszu utakat keres %?- elerheto2(bond_street, piccadilly_circus,[A,B|C]).

Termek összehasonlítása Beépített predikátumok Relációs műveletek: <,>,=<,=> Egyenlőség vizsgálata: =, \= termek egyenlőségének vizsgálata és egyesítése ==, \== termek egyenlőségének vizsgálata egyesítés nélkül =:=, =\= aritmetikai kifejezések egyenlőségének vizsgálata Egyesítés (értékadás) is/2 term egyesítése aritmetikai kifejezéssel jobb oldalon csak behelyettesített változó!

Elágazás Szabály törzsében ( ha -> akkor ; különben ) ha, akkor, különben: Prolog célsorozatok Feltétel elágazás nélkül: (ha-> akkor) (egyenértékű ezzel:(ha -> akkor; fail) )

Másodfokú egyenlet megoldóképlete zerus0(A,B,C,X):-X is ((-B+sqrt(B*B-4*A*C))/2*A). zerus0(A,B,C,X):-X is ((-B-sqrt(B*B-4*A*C))/2*A). Hibaellenőrzéssel (1. módszer): zerus1(A,B,C,X):-diszkriminans1(A,B,C,Y),Y>=0,X is (-B+sqrt(B*B-4*A*C)/2*A). Hibaellenőrzés elágazással: zerus2(A,B,C,X):- diszkriminans2(A,B,C,Y), (Y>=0 -> X is (-B+sqrt(B*B-4*A*C)/2*A) ; write('Nincs megoldas') ).

Tagadás X = Y X nem illeszthető Y-nal X illeszthető Y-nal X nem illeszthető Y-nal % X \= Y : X nem illeszthető Y-nal X \=Y :- (X=Y -> fail ; true).

Tagadás hallgató(‘Péter’). hallgató(‘János’). hallgató(‘Jakab’). nős(‘Péter’). nős(‘József’). nőtlen_hallgató(X) :- hallgató(X), nőtlen(X). nőtlen(X) : - (nős(X)->fail; true). VAGY nem(nős(X)) :- (nős(X)->fail; true).

Tagadás sémája nem(P):- (P -> fail; true). Metapredikátum Egy szabályfej formális paramétere metacél (azaz pl. egy másik predikátum) Pl. nem(P) nőtlen_hallgató(X) :- hallgató(X), nem(nős(X)). Beépített Prolog predikátum: \+

\+/1 négy tulajdonsága: Sohasem hagy maga után választási pontot Függetlenül a P céltól, sosem példányosítja annak változóit nem(P) pontosan akkor sikeres, ha P keresési fája véges, és nem tartalmaz megoldást nem(P) pontosan akkor hiúsul meg, ha P keresési fája tartalmaz megoldást, de az első megoldás előtt nincs végtelen ág.

Keresési tér csökkentése: jobbrekurzió Nem jobbrekurzív megoldás: length([],0). length([H|T],N):-length(T,M),N is M+1. Jobbrekurzív megoldás (akkumulátorral): inicializálás length_acc(L,N):-length_acc(L,0,N). eredmény visszaadása length_acc([],N,N). számítás length_acc([H|T],N0,N):-N1 is N0+1,length_acc(T,N1,N).

Keresési tér csökkentése: vágás beépített eljárás: ! mindig sikeresen lefut a szülő céltól kezdve lefele levágja a keresési fa egyéb ágait, és megszünteti a választási pontokat zöld/piros vágó Oka: egy megoldásra szorítkozni egy klóz preferálása

Vágás cél szülője: az őt tartalmazó klóz fejével illesztett cél p:-q, r. q:-s, t, u. q(X):-s(X). q(X):-t(X). r(X):-s(X), !. r(X):-t(X). s(a). s(b). t(c). célok: ?-q(Y). és ?-r(Y).

Vágás Tények: Kérdések: apja(‘Charles’,’Andrew’). anyja(‘Diana’,’Andrew’). szuloje(X,Y):-apja(X,Y),!. szuloje(X,Y):-anyja(X,Y). Kérdések: Kinek a szülője Charles? ?-szuloje(‘Charles’,Gy). – zöld vágó Kik Andrew szülei? ?-szuloje(Sz,’Andrew’). – piros vágó

Feladat Kinek ki a nagyszülője? Gyerek Szülő Izsák Ábrahám Ismael Jákób Ézsau József Benjámin Júda Sára Hágár Rebeka Ráhel Lábán Lea Rúben Kinek ki a nagyszülője?

C nyelvű megoldás

SQL megoldás Create View Nagyszulok As select fiatal.gyerek as unoka, oreg.szulo as nagyszulo From szulok fiatal, szulok gyerek Where fiatal.szulo=oreg.gyerek; Select nagyszulo, unoka from Nagyszulok;

Prolog megoldás %anyja(X,Y). – X az Y anyja %apja(X,Y). - X az Y apja apja(’Ábrahám’,’Izsák’). apja(’Ábrahám’,’Ismael’). apja(’Izsák’,’Jákób’). apja(’Izsák’,’Ézsau’). apja(’Jákób’,’József’). apja(’Jákób’,’Benjámin’). apja(’Jákób’,’Júda’). apja(’Lábán’,’Ráhel’). apja(’Lábán’,’Lea’). %anyja(X,Y). – X az Y anyja anyja(’Sára’,’Izsák’). anyja(’Hágár’,’Ismael’). anyja(’Rebeka’,’Jákób’). anyja(’Rebeka’,’Ézsau’). anyja(’Ráhel’,’József’). anyja(’Ráhel’,’Benjámin’). anyja(’Lea’,’Júda’). anyja(’Lea’,’Rúben’).

%szülője(X,Y) – X az Y szülője szülője(X,Y) :- apja(X,Y). szülője(X,Y):- anyja(X,Y). %nagyszülője(X,Y) – X az Y nagyszülője nagyszülője(X,Y) :- szülője(X,Z), szülője(Z,Y).

Kérdések Ki Izsák apja? Kik Jákób gyerekei? Kik Ábrahám unokái? Ki kinek az apja?

| ? – apja(’Ábrahám’,’Izsák’). yes | ?- apja(’Ábrahám’, X). X=’Izsák’ ? ; X=’Ismael’ ? ; no | ? – apja(X,’Izsák’). X=’Ábrahám’ ?; | ? – apja(X,Y). X='Ábrahám', Y='Izsák' ? ; X=’Ábrahám’, Y=’Ismael’ ? ; …

Kérdések Ki Izsák apja? Kik Jákób gyerekei?/Kinek az apja Jákób? | ? – apja(X, ‘Izsák’). Kik Jákób gyerekei?/Kinek az apja Jákób? | ? – apja(‘Jákób’,X). Kik Ábrahám unokái? | ? – nagyszülő(‘Ábrahám’,X). Ki kinek az apja? | ? – apja(X,Y).

Egyszerű példa Kérdés: Ki Izsák apja? | ?- apja(X,’Izsák’). Illesztés: keresünk egy olyan klózt, amelyben az apja predikátum a fej apja(‘Ábrahám’,’Izsák’). megpróbáljuk az argumentumokat illeszteni: helyettesíteni X=Ábrahám visszalépünk és újabb megoldást keresünk: nincs

Aritmetikai műveletek Prolog eljárások – név/aritás Használhatjuk őket infix pozícióban is = / 2 A = B beépített eljáráshívás akkor és csak akkor sikerül, ha a két argumentuma egyesíthető is / 2 Az X is Kif hívás a Kif aritmetikai kifejezés értékét egyesíti X-szel. Pl. az 1*2+3 értékét így számíthatjuk ki: ? - X is 1*2+3. X=5 ? ; no +, -, *, /, mod, // (egész osztás)

Vezérlésmódosítás Ciklus helyett rekurzió Elágazás –VAGY kapcsolat p(X) :- q(X), r(X). p(X):- s(X). p(X) :- ( q(X), r(X) ; s(X) ).

Elágazás – VAGY kapcsolat beléphet(X) :- látogató(X), van_engedélye(X). beléphet(X):- dolgozó(X). beléphet(X) :- ( látogató(X), van_engedélye(X) ; dolgozó(X) ).

Metalogikai predikátumok Aritmetikai műveletek, beépített eljárások =<, >=, <, >, =:=, =\= +, -, *, /, mod, // Csak aritmetikai kifejezések lehetnek az argumentumok is/2 predikátumnak a jobb oldalán csak aritmetikai kifejezés állhat

Termek összehasonlítása Illesztéssel =/2 \=/2 Illesztés nélkül == \== Rendezés: Változók, lebegőpontos, egész, név, összetett term Név: ASCII kód szerint Összetett termek: aritás, név, paraméterek neve

Rekurzív keresés %member(X,Xs) :- X elem az Xs listának member(X, [X | _Xs]). %igaz, ha az 1. elem X member(X, [_X | Xs]) :- member(X, Xs). %ha X nem az első elem, akkor igaz, ha Xs-nek tagja

Eredmény fokozatos közelítése %append(Xs, Ys, XsYs) :- A 2 első lista összefűzöttje az XsYs lista append([], Ys, Ys). %ha az első lista üres, akkor az eredmény maga a második lista append([X | Xs], Ys, [X | Zs]) :- append(Xs, Ys, Zs).

Akkumulátor módszer %rev_app(Xs,Ys,Zs):- Az Xs lista fordítottját fűzi össze Ys-sel rev_app([],Ys,Ys). rev_app([X|Xs], Ys,Zs) :- rev_app(Xs, [X|Ys],Zs). %az Xs lista fordítottjának és az Ys összefűzöttje

Általánosítás %reverse(Xs,Ys) :- Az Xs lista fordítottja az Ys reverse(Xs,Ys) :- rev_app(Xs,[],Ys).

Nincs benne %nincs_benne(Xs,Y) :- Az Xs listán nem található Y. nincs_benne([],_Y). nincs_benne([X|Xs],Y) :- ( X =Y -> fail ; nincs_benne(Xs,Y) ).

NSTO programok Not Subject To Occurs Check egyesítés: v helyettesítése t-vel, HA v nem szerepel t-ben Prolog nem ellenőrzi 1. Az állításfejben és a vele kapcsolatos kérdésekben is paraméterként csak egyszerű termek (állandók és változók) használatosak 2. Az állításfej nem tartalmaz kettőzött változót (minden vált. egyszer fordul elő) 3. Az állításra vonatkozó célok nem tartalmaznak kettőzött változót.