MATEMATIKA e-tananyag 9. osztály Készítette: Gömöri Márta Tulajdonos: Varga István Közgazdasági és Kereskedelmi Szakközépiskola és Szakiskola

Játékos kombinatorika 1. Három ló, Tornádó, Szélvész és Villám versenyeznek. Írd fel az összes lehetséges eredményt! (holtverseny is lehet) Tornádó Szélvész Villám 1. 2. 3. T V S

Játékos kombinatorika 2. 0-tól 100-ig hány olyan szám található, amely számjegyeinek összege 10? Megoldás: 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91 – 9 darab 3. Két különböző színű kockával - hány különböző eset lehetséges? (36) - hány esetben lesz a szorzat páros? (18) hány esetben lesz a szorzat: 1 (2), 2 (2), 4 (4), 7 (0), 11 (0), 12 (4), 13 (0)? – vajon miért nem lehet a szorzat 7, 11 és 13?

Játékos kombinatorika 4. Négy barátnő a cukrászdában négyféle süteményt rendel: Anna csokitortát, Bori gesztenyés kockát, Cili japán tortát, Dóri pedig gyümölcstortát. A pincér azonban elfelejtette, hogy ki mit rendelt, és nem kérdez semmit, csak kiosztja a süteményeket. - Hányféleképpen teheti ezt meg? 4x3x2x1=24 – féleképpen oszthatja ki a süteményeket. - Hányféleképpen teheti ezt meg, ha egyedül Dóri nem azt kapja, amit rendelt? - lehetetlen - Hányféleképpen lehetséges, hogy csak Anna kapja, amit rendelt? - Hányféleképpen lehetséges, hogy csak egyikük kapja, amit rendelt? A B C D csokitorta japán torta gyümölcstorta gesztenyés kocka

Halmazelmélet Alapfogalmak: halmaz, jele: A,B,C…stb. A halmazelméleti alapfogalmakat egy 19. sz.-i matematikus, Georg Cantor dolgozta ki. Alapfogalmak: halmaz, jele: A,B,C…stb. halmaz eleme, jelölése: x Є A. nem eleme a halmaznak: x A. Fontos: halmazban egy elemet csak egyszer sorolunk fel! Є

Véges halmaz: ha elemeinek száma egy természetes számmal megadható. Végtelen halmaz: ha elemeinek száma nem adható meg egy természetes számmal. Üres halmaz: a 0 elemű halmaz. Jele:Ø.

Halmazok megadási módjai A halmaz elemeit egyértelműen meghatározó utasítással vagy tulajdonságokkal Pl.: C={x|x≤4 és x osztható 2-vel} A halmaz elemeinek felsorolásával. Pl.: G={2;7;8}

Szemléltetés: Venn-diagrammal. Pozitív egész számok: N+ Természetes számok: N Egész számok: Z Racionális számok: Q Irracionális számok: I vagy Q* Valós számok: R R Z -33 N Z Q N+ N 1 -12335

Részhalmaz, valódi halmaz Definíció: Azt mondjuk, hogy két halmaz egyenlő, ha elemeik rendre megegyeznek. Pl.: A={2,4,6,8,10} = B={12-nél kisebb pozitív páros számok} Definíció: Azt mondjuk, hogy A halmaz részhalmaza a B halmaznak, ha A minden eleme a B halmaznak is eleme. Jele: A B Definíció: A halmaz valódi részhalmaza a B halmaznak, ha A részhalmaza B-nek és B-nek van olyan eleme, amely A-nak nem eleme. Jele: A B Pl.: A={páros számok} B={egész számok} Minden halmaz részhalmaza önmagának. Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza.

Részhalmazok képzése 0 elemű 1 elemű 2 elemű 3 elemű Ø {a} {a,b} Feladat: soroljuk fel az {a,b,c} halmaz összes részhalmazát! Minden 3 elemű halmaznak pontosan 8 részhalmaza van. Üres halmaznak pontosan egy részhalmaza van. 0 elemű 1 elemű 2 elemű 3 elemű Ø {a} {a,b} {a,b,c} {b} {a,c} {c} {b,c}

Ponthalmazok Melyek azok a pontok a síkon, amelyek az adott A ponttól 2 cm távolságra vannak? legfeljebb 2 cm távolságra vannak? legalább 1 cm, de legfeljebb 2 cm távolságra vannak? A A A

Feladatok Döntsük el, a következő állítások közül melyek igazak? a) {Ø} véges halmaz b) [m;r;p;t]=[p;r;t;m] c) {x|xЄZ és x+1≥x} véges halmaz d) {Ø} üres halmaz e) N Q f) I Z

Halmazműveletek Definíció: Halmazok vizsgálatakor meg kell adni egy olyan halmazt, amelynek a vizsgált halmazok részhalmazai. Ezt alaphalmaznak vagy univerzumnak nevezzük. Definíció: Egy A halmaz komplementerhalmazának nevezzük az alaphalmaz azon elemeinek halmazát, amelyek az A halmaznak nem elemei. Jele: . Definíció: Halmazok vizsgálatakor meg kell adni egy olyan halmazt, amelynek a vizsgált halmazok részhalmazai. Ezt alaphalmaznak vagy univerzumnak nevezzük. Definíció: Egy A halmaz komplementerhalmazának nevezzük az alaphalmaz azon elemeinek halmazát, amelyek az A halmaznak nem elemei. Jele: . Definíció: Halmazok vizsgálatakor meg kell adni egy olyan halmazt, amelynek a vizsgált halmazok részhalmazai. Ezt alaphalmaznak vagy univerzumnak nevezzük. Definíció: Egy A halmaz komplementerhalmazának nevezzük az alaphalmaz azon elemeinek halmazát, amelyek az A halmaznak nem elemei. Jele: . A

Halmazműveletek Definíció: Halmazok vizsgálatakor meg kell adni egy olyan halmazt, amelynek a vizsgált halmazok részhalmazai. Ezt alaphalmaznak vagy univerzumnak nevezzük. Jele: H. Definíció: Egy A halmaz komplementerhalmazának nevezzük az alaphalmaz azon elemeinek halmazát, amelyek az A halmaznak nem elemei. Jele: . H A

Definíció: Két halmaz uniója vagy egyesítése mindazon elemek halmaza, amelyek legalább az egyik halmaznak elemei. Jele: . Definíció: Két halmaz metszete mindazon elemek halmaza, amelyek mindkét halmaznak elemei. Jele: . Definíció: Az A és B halmaz különbsége az A halmaz mindazon elemeinek halmaza, amelyek a B halmaznak nem elemei. A B

Példa Az a Venn-diagram, melyben egy halmaz van, két részre osztja az alaphalmazt. Két egymást metsző halmaz négy részre osztja az alaphalmazt. Hány részre osztja az alaphalmazt három halmaz, ha Venn-diagramon ábrázoljuk? Rajzoljuk le és minden részt jellemezzünk halmazműveletekkel! 2. 1. 3. 5. B Pl.: 6.= A ∩ B ∩ C 8. 7. 6. C A 4.

De Morgan azonosságok Két halmaz metszetének komplementere egyenlő a két halmaz komplementerének uniójával Két halmaz uniójának komplementere egyenlő a két halmaz komplementerének metszetével.

Gyakorló feladatok 1. Hány eleműek a következő halmazok? A={40-nél kisebb prímszámok} B={2n lehetséges végződései, ahol n N} C={X2 - 2X=0 egyenlet megoldásai} D={X2 - 2X=0 egyenlet pozitív megoldásai} F={14-re végződő, 4-gyel osztható egész számok} 2. Határozzuk meg az halmazokat! S={10-30, a 3-mal osztható számok}; T={10-30, az 5-tel osztható számok}. 3. Az alábbi halmazok közül melyek egyenlőek? A={páros prímszámok és ellentettjeik} B={páros prímszámok} C={X3 – 9X=0 egyenlet gyökei} F={legkisebb pozitív páros szám} G={X2 – 2X + 1=0 egyenlet gyökeinek összege}

Egy – a számtalan paradoxon közül Egy napon Athén piacterén, néhány ezer évvel ezelőtt, a krétai Epimenidész, a közismert Zeusz-pap és varázsló, elkiáltotta magát - talán vitája volt valakivel éppen - : „A krétaiak mind örök hazugok és naplopók!” Értsd: minden krétainak minden mondata hazugság. Lássuk be, hogy ő maga is hazug (ti. hogy nem mondhatott igazat, mert szavaiból éppenséggel kikövetkeztethető egy olyan krétai létezése, aki nem mindig hazudik)! Igazat semmiképp nem mondhatott, hiszen ha Epimenidésznek igaza lenne, és minden krétai csak örökké hazudna, akkor - lévén maga is krétai - a fenti mondata is hazugság lenne. Tehát hazudott. Ez azt jelenti, hogy nem mondott igazat, azaz nem minden krétaira igaz, hogy minden mondata hazugság. Ezért kell lennie egy krétainak, akinek legalább egy mondata igaz. Megjegyzés: Ez az ún. Epimenidész-paradoxon.

Köszönöm a figyelmet!