Kombinatorikus problémák sokszögek háromszögekre osztásaival kapcsolatban Hajnal Péter Szeged, SZTE, Bolyai Intézet

Nem metsző átlókkal való telítés Vegyünk egy konvex sokszöget ( n =csúcsszám) n=7 Húzzunk be egymást nem metsző átlókat, amíg lehetséges.

Nem metsző átlókkal való telítés Vegyünk egy konvex sokszöget ( n =csúcsszám) n=7 Húzzunk be egymást nem metsző átlókat, amíg lehetséges.

Nem metsző átlókkal való telítés Vegyünk egy konvex sokszöget Húzzunk be egymást nem metsző átlókat, amíg lehetséges.

Nem metsző átlókkal való telítés Vegyünk egy konvex sokszöget Húzzunk be egymást nem metsző átlókat, amíg lehetséges.

Nem metsző átlókkal való telítés Vegyünk egy konvex sokszöget Húzzunk be egymást nem metsző átlókat, amíg lehetséges.

Nem metsző átlókkal való telítés Vegyünk egy konvex sokszöget Húzzunk be egymást nem metsző átlókat, amíg lehetséges.

Nem metsző átlókkal való telítés Telített sokszög Észrevétel: Bárhogy végezzük a telítést, ugyanannyi átlót használunk és ugyanannyi háromszöghöz jutunk.

Nem metsző átlókkal való telítés Telített sokszög Észrevétel: Bárhogy végezzük a telítést, ugyanannyi átlót használunk és ugyanannyi HÁROMSZÖG-höz jutunk.

Nem metsző átlókkal való telítés Bizonyítás: Jobb oldal: n-szög egy csúcsból induló átlói→ n-3 átló, n-2 háromszög→(n-2)π szögösszeg. Bal oldal (tetszőleges telítés): ugyanekkora szögösszeg→ugyanennyi háromszög→ugyanennyi átló.

Háromszög fokok Egy csúcs háromszög foka az ott találkozó háromszögek száma:

Háromszög fokok Egy csúcs háromszög foka az ott találkozó háromszögek száma:

Háromszög fokok FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak?

Háromszög fokok FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak? IGEN

Háromszög fokok FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak?

Háromszög fokok FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak? NEM A számok összege 14 3·háromszögek száma=15.

Háromszög fokok FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak?

Háromszög fokok FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak? NEM Van két szomszédos 1-es.

Háromszög fokok FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak?

Háromszög fokok FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak? NEM Nincs 1-es a fokok között.

És most valami teljesen más (?) Számtáblázat definiálása: Kiinduló két sor: … … 1…a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 … Elemi négyzet szabálya: a a a b c a d esetén bc=ad+1 azaz szorzat 1-gyel nagyobb mint a

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … a

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … … 1

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … … 1 5

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … …

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … …

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … …

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … …

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … … … 1 … 2

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … … … 1 … 2 18

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … … … 1 …

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … … … 1 …

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … … … 1 … … 1 301

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … … … 1 … … SEJTÉS: Ha a kezdősor csupa 1-est tartalmaz, a második sor csupa egész számot tartalmaz, akkor nem lépünk ki az egész számok köréből.

És most valami teljesen más (?) Újabb példa: … … 1… … a

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … 1 5 a

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … a

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … a

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … a

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … a

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … a

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … a

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … a

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … 1 … … a

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … 1 … … 1 … 2

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … 1 … … 1 … 2 2 a

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … 1 … … 1 … a

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … 1 … … 1 … a

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … 1 … … 1 … a

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … 1 … … 1 … a

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … 1 … … 1 … a

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … 1 … … 1 … … a

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … 1 … … 1 … … 1 … …

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … 1 … … 1 … … 1 … … 1 … …

És most valami teljesen más (?) Példa: … … 1… … 1 … … 1 … … 1 … … n=7 1 … … Definíció: Fríz számsor (Conway-Coxeter) Első sor csupa 1-es, második sor n darab pozitív egész periodikusan ismételve, (n-1)-edik sor csupa 1-es.

Fríz

Újra konvex sokszögek Körbe írt sokszög A B 1 1 F C 1 1 E D Nem egészekből álló fríz: A B C D E F √3 √3 √3 √ √3 √3 1

Ptolemaiosz tétele Legyen A, B, C és D négy pont egy körön A D B Ekkor AC·DB= AD·BC+AB·CD C

Ptolemaiosz tétele (speciális eset) Legyen A, B, C és D négy pont egy körön A AB=CD=1 B Ekkor AC·DB= AD·BC+1 D C

Ptolemaiosz tétele (speciális eset) Legyen A, B, C és D négy pont egy körön A AB=CD=1 B Ekkor A B … C D BC AC BD D C AD teljesíti az elemi négyzet szabályát.

Cikk-cakk frízek Újabb példa: … … …

Cikk-cakk frízek Újabb példa: … … …

Cikk-cakk frízek Újabb példa: … … …

Cikk-cakk frízek Újabb példa: … … …

Cikk-cakk frízek Újabb példa: … … …

Cikk-cakk frízek Újabb példa: … … …

Cikk-cakk frízek Újabb példa: … … …

Cikk-cakk frízek Újabb példa: … … …

Cikk-cakk frízek Újabb példa: … … …

Cikk-cakk frízek Újabb példa: … … …

Cikk-cakk frízek Újabb példa: … … …

Cikk-cakk frízek Újabb példa: … … …

Újból háromszög fokok FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak?

Újból háromszög fokok FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak? IGEN

Újból frízek … … Fríz lesz-e?

Újból frízek Fríz lesz-e? … …

Újból frízek Fríz lesz-e? … … IGEN

Újból frízek Fríz lesz-e? … … … … … … …

Újból frízek A B C D E F G H A B … … … … … … …

Újból frízek A B C D E F G H A B … … … … … … … BD

Újból frízek A B C D E F G H A B … … … … … … … BD, EG

Újból frízek A B C D E F G H A B … … … … … … … BD, EG, AG

Újból frízek A B C D E F G H A B … … … … … … … BD, EG, AG, AD

Újból frízek A B C D E F G H A B … … … … … … … BD, EG, AG, AD, DG

Újból frízek A B C D E F G H A B … … … … … … … BD, EG, AG, AD, DG

Újból frízek A B C D E F G H A B … … … … … … … BD, EG, AG, AD, DG, szomszédos betűk

Frízek és átlók B A H C G D E F BD, EG, AG, AD, DG, szomszédos betűk

Frízek és átlók B A H C G D E F BD, EG, AG, AD, DG

Frízek és átlók B A H C G D E F BD, EG, AG, AD

Frízek és átlók B A H C G D E F BD, EG, AG

Frízek és átlók B A H C G D E F BD, EG

Frízek és átlók B A H C G D E F BD

Frízek és átlók B A H C G D E F BD

Frízek és átlók BD

Elemi négyzet szabály c b C a B A

Elemi négyzet szabály c b C a B A b·C=c·B+1, a·B=b·A+1

Elemi négyzet szabály c b C a B A b·C=c·B+1, a·B=b·A+1 b·C-a·B=c·B-b·A

Elemi négyzet szabály c b C a B A b·C=c·B+1, a·B=b·A+1 b·C-a·B=c·B-b·A b·C+b·A=c·B+a·B

Elemi négyzet szabály c b C a B A b·C=c·B+1, a·B=b·A+1 b·C-a·B=c·B-b·A b·C+b·A=c·B+a·B, b·(A+C)=(a+c)·B

Elemi négyzet szabály c b C a B A b·C=c·B+1, a·B=b·A+1 b·C-a·B=c·B-b·A b·C+b·A=c·B+a·B, b·(A+C)=(a+c)·B (A+C):B=(a+c):b

Elemi négyzet szabály … … … … … … …

Elemi négyzet szabály … … … … … … …

Elemi négyzet szabály … … … … … … … …

Frízek és párosítások (n-2) háromszög, n csúcs B A H C G D E F

Frízek és párosítások (n-2) háromszög, (n-2) csúcs B A H D E F

Frízek és párosítások (n-2) háromszög, (n-2) csúcs PÁROSÍTSUNK B A H D E F

Frízek és párosítások (n-2) háromszög, (n-2) csúcs PÁROSÍTSUNK B A H D E F

Frízek és párosítások (n-2) háromszög, (n-2) csúcs PÁROSÍTSUNK B A H D E F

Frízek és párosítások (n-2) háromszög, (n-2) csúcs PÁROSÍTSUNK. B A H D E. F 3 LEHETŐSÉG

Frízek és párosítások A B C D E F G H A B … … … … … … …

Frízek és párosítások (n-2) háromszög, (n-2) csúcs PÁROSÍTSUNK H C G D E F

Frízek és párosítások (n-2) háromszög, (n-2) csúcs PÁROSÍTSUNK H C G D E F

Frízek és párosítások (n-2) háromszög, (n-2) csúcs PÁROSÍTSUNK H C G D E F

Frízek és párosítások (n-2) háromszög, (n-2) csúcs PÁROSÍTSUNK H C G D E F 1 LEHETŐSÉG