Poliéderek térfogata 3. modul

A testek jellemzői A = 12·T1 + 2·T2 A test térfogata annak a térrésznek a mértéke, amelyet a test felülete határol. A test felszíne a testet határoló felület mértéke. Síklapokkal határolt testek esetén a határoló lapok területeinek összege. T1 T2 A = 12·T1 + 2·T2

A testek jellemzői Poliédernek nevezünk egy testet, ha azt véges sok sokszög határolja. Poliéderek például a hasábok, a gúlák és a csonkagúlák. Származtatás, térfogat, felszín A test hálója poliéderek esetén az a sokszöglap, amelyet ha egy síklapból kivágunk, akkor összehajtogatható belőle a test felülete.

Hasábok Melyik hasáb a következő testek közül? 1. 4. 2. 3. 5. 6. 7. 8. 9. Megoldás: 2, 3, 4, 13,14. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

Térfogat és felszín A kocka térfogata: V = a3, felszíne A = 6a2 (a a kocka éle). A téglatest térfogata V = abc, felszíne A = 2 (ab + bc + ac) (a, b és c a téglatest élei). A hasáb térfogata: V = alapterület · testmagasság, felszíne: A = 2·alapterület + a palást területe. A gúla térfogata V = alapterület · magasság 3

Feladat Állítsd össze a következő testeket Polydron készletből! Végezd el a szükséges méréseket, majd határozd meg a testek térfogatát és a felszínét! a) b) Ez az oldal az 1. és a 2. mintapélda alternatívája (később szerepel a két mintapélda is; ha ezeket a gyerekek végigcsinálják, akkor a mintapéldákon lépjünk át). Jelöljük ki, hogy a diákok mely testeket építsék meg! Javasolt párban dolgozni, csoportmunkában, a feladatokat megosztva. Javasolt az a) és a b) feladatokat mindenképpen megoldatni. Mérethetünk, ill. számíttathatunk lapszögeket, testátlókat is. c) d)

Mintapélda Mintapélda1 Az ábrán látható prizma egy fényképezőgép alkatrésze. Négy darab, 4 cm közös oldalú téglalap határolja és két szimmetrikus trapéz, amelyek alapjai 4 cm és 2 cm, magassága 2 cm. A két trapéz síkja merőleges a prizma alap és fedőlapjára. Számítsuk ki a felszínét és a térfogatát! Megoldás (cm) (cm2) M = 4 cm

Mintapélda Mintapélda2 Egy négyzet alapú ferde hasáb két oldallapja téglalap, másik két oldallapja paralelogramma, melynek egyik szöge 60°. Mekkora a hasáb térfogata és felszíne, ha az alapél 14 cm, az oldalél hossza 20 cm? Megoldás (cm2) (cm)

Mintapélda Mintapélda3 Egy ideiglenes, téglatest alakú színpad vas keretéhez merevítésként be kell hegeszteni síkonként egy-egy lapátlót és két testátlót (amelyek metszik egymást, ezért a két testátlót négy egyforma darabból kell összeállítani). Számítsuk ki, hogy a kerettel együtt mennyi vas anyagra lesz szükség, ha a színpad 1,6 m magas, és 10 m x 6m a felület, amin fellépnek a művészek. Mekkora szögben metszi egymáshoz illeszteni a két testátlót és milyen hosszú az a négy darab, amiből összehegesztve megkapjuk a merevítést? Megoldás A téglatest lapátlóit Pitagorasz-tétellel számítjuk ki: (m) (m) (m)

Mintapélda A megoldás folytatása A testátlót a kiemelt derékszögű háromszögből Pitagorasz-tétellel határozzuk meg: (m) A szükséges anyagmennyiség: A hajlásszög kiszámításához derékszögű háromszöget keresünk a testátlók által meghatározott síkban.

Téglatest testátlója A téglatest testállójának hossza: , ahol a, b és c a téglatest egy csúcsban összefutó élei. Mintapélda3 Vezessük le, hogyan függ a kocka testátlójának hossza a kocka oldalhosszától (a)! Megoldás A kocka is téglatest, így a testátlóra kapott összefüggést itt is alkalmazhatjuk.

A gúla térfogata, felszíne Állítsd össze a képen látható gúlát Polydron készletből! Hogyan tudnád megmutatni, hogy a gúla térfogata harmada a vele azonos alapterületű és magasságú hasábnak?

Hasonló testek térfogata, felszíne 1. Állítsuk össze a következő testeket a Polydron készletből! a) b) 2. Végezzük el a szükséges méréseket, és számítsuk ki a testek térfogatát, felszínét! 3. Határozzuk meg az új és a régi testek térfogatának, valamint felszínének arányát! Feladat Összeállítjuk a lehető legkisebb szabályos tetraédert a készletből. Hány háromszöglapra van szükség? Majd kétszerezzük meg a tetraéder élét! Hány háromszöglapra van most szükség a megépítéshez? Hogyan változik a térfogat és a felszín?

Mintapélda Mintapélda5 Egy 12 cm alapélű, 12 cm testmagasságú négyzet alapú szabályos gúlát elvágunk a testmagasság harmadoló pontjain átmenő, alaplappal párhuzamos síkokkal. Határozzuk meg az így keletkező három test térfogatát! Megoldás Három gúlát kapunk, amelyek alaplapja hasonló egymáshoz (a gúla csúcsából történő középpontos hasonlósággal ezek az alaplappal párhuzamos síkmetszetek egymásba vihetők, és ez mindenféle gúlára igaz). A hasonlóság arányát a megfelelő szakaszok, most a testmagasságok arányából határozzuk meg.

Mintapélda A megoldás folytatása A hasonló síkidomok területe a hasonlóság arányának négyzetével egyezik meg: és hasonlóan (cm2) Az egyes gúlák alapterülete: (cm2) (cm2) cm3 A gúla térfogata , a legkisebb gúláé A másik két test térfogata gúlák térfogatának különbségeként állítható elő: cm3 cm3

Mintapélda Mintapélda6 Egy T alapterületű, M testmagasságú gúlát k-szorosára nagyítunk. Írd fel T, M és k segítségével a keletkező új gúla térfogatát! Megoldás Az eredeti gúla térfogata: , a keletkező gúláé: A hasonlóság miatt: Tapasztalatok: Hasonló testek felszínének aránya a hasonlóság arányának második hatványa. Hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság arányának harmadik hatványa.

A csonkagúla térfogata Mintapélda7 Hány liter virágföldet vásároljunk abba a négyzet alapú, egyenes csonkagúla alakú virágládába, amelynek belső méretei: az alaplap éle 26 cm, a fedőlap éle 38 cm, a láda magassága 47 cm? Megoldás A cserép térfogatának meghatározásához ismerni kell a csonkagúla térfogatának kiszámítási módját. A csonka kúp térfogata: , ahol M a testmagasság, t a fedőlap, T az alaplap területe. A képletbe behelyettesítve: Érdemes tehát egy 50 literes zsák virágföldet megvásárolni.

A csonkagúla felszíne Az egyenes csonkagúla felszínének kiszámításához nincs képlet, minden feladatot egyedi módon oldunk meg. Ha a csonkagúla négyzet alapú egyenes gúlából származott, akkor meghatározzuk az oldallapok (trapézok) területét. Az oldallap magassága (m) és testmagasság (M), valamint az oldallap magassága és az oldalél (b) között a Pitagorasz-tétel teremt kapcsolatot: