Gazdaságmatematika 6.szeminárium

Maximális folyam, minimális vágás

Maximális folyam

Maximális folyam probléma A probléma Hogyan lehet egy adott pontból egy adott pontba a lehető legnagyobb mennyiséget eljuttatni? Feltételek A hálózat minden éle irányított Mindegyik élnek adott a (nemnegatív) kapacitása

Maximális folyam probléma Fogalmak Forrás (Source): a kiindulási pont Nyelő (Sink): a végpont Előremenő él Hátramenő él Folyam-megőrzési megkötés Egy adott pontba ami befolyik az ki is fog folyni (kivéve a forrást és a nyelőt)

Élek tulajdonságai Az (i,j) élen átmenő folyam kisebb az él kapacitásánál. Ebben az esetben az (i,j) élen átmenő folyam növelhető. Jelölje I az ezzel a tulajdonsággal rendelkező élek halmazát. Az (i,j) élen átmenő folyam pozitív. Ebben az esetben az (i,j) élen átmenő folyam csökkenthető. Jelölje R az ezzel a tulajdonsággal rendelkező élek halmazát.

A Ford-Fulkerson algoritmus Címkézzük meg a forrást Címkézzük meg a csúcsokat és az éleket a következő szabályok szerint: Ha az x csúcs már kapott címkét, de az y csúcs még nem, és az (x,y) él az I eleme, akkor címkézzük meg az y csúcsot és az (x,y) élt. (Előremenő él) Ha az x csúcs már kapott címkét, de az y csúcs még nem, és az (y,x) él az R eleme, akkor címkézzük meg az y csúcsot és az (y,x) élt. (Hátramenő él)

A Ford-Fulkerson algoritmus Folytassuk ezt a címkézési eljárást, amíg a nyelő címkét nem kap, vagy további csúcsokat már nem lehet címkével ellátni Ekkor két eset fordulhat elő: Minden él előremenő él. Vizsgáljuk meg, hogy az egyes élek mennyivel kapacitásai bővíthetőek. Vegyük ezek minimumát, majd bővítsük vele a folyam minden élét.

A Ford-Fulkerson algoritmus Nem minden él előremenő él, akadnak hátramenőek is. Ekkor vegyük az előremenő élek bővíthetőségének minimumát és a hátramenő élek csökkenthetőségének minimumát. Válasszuk ezek közül a kisebbet, és bővítsünk ennyivel minden előremenő élt, valamint csökkentsünk ennyivel minden hátramenő élt. Ismételjük az algoritmust. Ha a nyelőt nem tudjuk megcímkézni, akkor a jelenlegi folyam optimális.

Feladat – korábbi ZH Adja meg a maximális folyamot! (0) 3 4 1 (0) 5 (0) 9 (0) 1 (0) 4 NY F (0) 7 2 (0) 1 (0) 5 (0) 4 (0) 6 (0) 4 3 5 (0) 4

A Ford-Fulkerson algoritmus Címkézzük meg a forrást Címkézzük meg a csúcsokat és az éleket a következő szabályok szerint: Ha az x csúcs már kapott címkét, de az y csúcs még nem, és az (x,y) él az I eleme, akkor címkézzük meg az y csúcsot és az (x,y) élt. (Előremenő él) Ha az x csúcs már kapott címkét, de az y csúcs még nem, és az (y,x) él az R eleme, akkor címkézzük meg az y csúcsot és az (y,x) élt. (Hátramenő él)

Feladat – korábbi ZH (0) 3 4 1 (0) 5 (0) 9 (0) 1 (0) 4 NY F (0) 7 2 (0) 6 (0) 4 3 5 (0) 4

A Ford-Fulkerson algoritmus Címkézzük meg a forrást Címkézzük meg a csúcsokat és az éleket a következő szabályok szerint: Ha az x csúcs már kapott címkét, de az y csúcs még nem, és az (x,y) él az I eleme, akkor címkézzük meg az y csúcsot és az (x,y) élt. (Előremenő él) Ha az x csúcs már kapott címkét, de az y csúcs még nem, és az (y,x) él az R eleme, akkor címkézzük meg az y csúcsot és az (y,x) élt. (Hátramenő él)

Feladat – korábbi ZH (0) 3 4 1 (0) 5 (0) 9 (0) 1 (0) 4 NY F (0) 7 2 (0) 6 (0) 4 3 5 (0) 4

A Ford-Fulkerson algoritmus Folytassuk ezt a címkézési eljárást, amíg a nyelő címkét nem kap, vagy további csúcsokat már nem lehet címkével ellátni Ekkor két eset fordulhat elő: Minden él előremenő él. Vizsgáljuk meg, hogy az egyes élek mennyivel kapacitásai bővíthetőek. Vegyük ezek minimumát, majd bővítsük vele a folyam minden élét.

Feladat – korábbi ZH (0) 3 4 1 (0) 5 (0) 9 (0) 1 (0) 4 NY F (0) 7 2 (0) 6 (0) 4 3 5 (0) 4

Feladat – korábbi ZH (0) 3 4 1 (0) 5 (0) 9 (0) 1 (0) 4 NY F (0) 7 2 (0) 6 (0) 4 3 5 (0) 4

A Ford-Fulkerson algoritmus Folytassuk ezt a címkézési eljárást, amíg a nyelő címkét nem kap, vagy további csúcsokat már nem lehet címkével ellátni Ekkor két eset fordulhat elő: Minden él előremenő él. Vizsgáljuk meg, hogy az egyes élek mennyivel kapacitásai bővíthetőek. Vegyük ezek minimumát, majd bővítsük vele a folyam minden élét.

Feladat – korábbi ZH (0) 3 4 1 (0) 5 (0) 9 (0) 1 (0) 4 NY F (0) 7 2 (0) 6 (0) 4 3 5 (0) 4

Feladat – korábbi ZH (0) 3 4 1 (0) 5 (0) 9 (0) 1 (0) 4 NY F (5) 7 2 (5) 5 (0) 4 (5) 6 (0) 4 3 5 (0) 4

A Ford-Fulkerson algoritmus Nem minden él előremenő él, akadnak hátramenőek is. Ekkor vegyük az előremenő élek bővíthetőségének minimumát és a hátramenő élek csökkenthetőségének minimumát. Válasszuk ezek közül a kisebbet, és bővítsünk ennyivel minden előremenő élt, valamint csökkentsünk ennyivel minden hátramenő élt. Ismételjük az algoritmust. Ha a nyelőt nem tudjuk megcímkézni, akkor a jelenlegi folyam optimális.

Feladat – korábbi ZH (0) 3 4 1 (0) 5 (0) 9 (0) 1 (0) 4 NY F (5) 7 2 (5) 5 (0) 4 (5) 6 (0) 4 3 5 (0) 4

Feladat – korábbi ZH (0) 3 4 1 (0) 5 (0) 9 (0) 1 (0) 4 NY F (5) 7 2 (5) 5 (0) 4 (5) 6 (0) 4 3 5 (0) 4

Feladat – korábbi ZH (0) 3 4 1 (0) 5 (0) 9 (0) 1 (0) 4 NY F (5) 7 2 (5) 5 (0) 4 (5) 6 (0) 4 3 5 (0) 4

Feladat – korábbi ZH (0) 3 4 1 (0) 5 (0) 9 (0) 1 (0) 4 NY F (5) 7 2 (5) 5 (0) 4 (5) 6 (0) 4 3 5 (0) 4

Feladat – korábbi ZH (0) 3 4 1 (0) 5 (0) 9 (0) 1 (0) 4 NY F (5) 7 2 (5) 5 (0) 4 (5) 6 (0) 4 3 5 (0) 4

Feladat – korábbi ZH (0) 3 4 1 (0) 5 (0) 9 (0) 1 (0) 4 NY F (5) 7 2 (5) 5 (0) 4 (5) 6 (0) 4 3 5 (0) 4

Feladat – korábbi ZH (0) 3 4 1 (0) 5 (0) 9 (0) 1 (0) 4 NY F (5) 7 2 (5) 5 (0) 4 (5) 6 (0) 4 3 5 (0) 4

Feladat – korábbi ZH (0) 3 4 1 (1) 5 (1) 9 (1) 1 (1) 4 NY F (5) 7 2 (0) 1 (5) 5 (0) 4 (5) 6 (0) 4 3 5 (0) 4

Feladat – korábbi ZH (0) 3 4 1 (1) 5 (1) 9 (1) 1 (1) 4 NY F (5) 7 2 (0) 1 (5) 5 (0) 4 (5) 6 (0) 4 3 5 (0) 4

Feladat – korábbi ZH (0) 3 4 1 (1) 5 (1) 9 (1) 1 (1) 4 NY F (5) 7 2 (0) 1 (5) 5 (0) 4 (5) 6 (0) 4 3 5 (0) 4

Feladat – korábbi ZH (0) 3 4 1 (1) 5 (1) 9 (1) 1 (1) 4 NY F (5) 7 2 (0) 1 (5) 5 (0) 4 (5) 6 (0) 4 3 5 (0) 4

Feladat – korábbi ZH (0) 3 4 1 (1) 5 (1) 9 (1) 1 (1) 4 NY F (5) 7 2 (0) 1 (5) 5 (0) 4 (5) 6 (0) 4 3 5 (0) 4

Feladat – korábbi ZH (0) 3 4 1 (1) 5 (1) 9 (1) 1 (1) 4 NY F (5) 7 2 (0) 1 (5) 5 (0) 4 (5) 6 (0) 4 3 5 (0) 4

Feladat – korábbi ZH (0) 3 4 1 (1) 5 (1) 9 (1) 1 (1) 4 NY F (5) 7 2 (0) 1 (5) 5 (0) 4 (5) 6 (0) 4 3 5 (0) 4

Feladat – korábbi ZH (0) 3 4 1 (1) 5 (1) 9 (1) 1 (1) 4 NY F (5) 7 2 (0) 1 (5) 5 (0) 4 (5) 6 (0) 4 3 5 (0) 4

Feladat – korábbi ZH (0) 3 4 1 (1) 5 (1) 9 (1) 1 (1) 4 NY F (5) 7 2 (0) 1 (5) 5 (0) 4 (5) 6 (0) 4 3 5 (0) 4

Feladat – korábbi ZH (0) 3 4 1 (1) 5 (1) 9 (1) 1 (1) 4 NY F (5) 7 2 (0) 1 (5) 5 (0) 4 (5) 6 (0) 4 3 5 (0) 4

Feladat – korábbi ZH (1) 3 4 1 (2) 5 (1) 9 (1) 1 (0) 4 NY F (5) 7 2 (0) 1 (5) 5 (1) 4 (6) 6 (0) 4 3 5 (1) 4

Feladat – korábbi ZH (1) 3 4 1 (2) 5 (1) 9 (1) 1 (0) 4 NY F (5) 7 2 (0) 1 (5) 5 (1) 4 (6) 6 (0) 4 3 5 (1) 4

Feladat – korábbi ZH (1) 3 4 1 (2) 5 (1) 9 (1) 1 (0) 4 NY F (5) 7 2 (0) 1 (5) 5 (1) 4 (6) 6 (0) 4 3 5 (1) 4

Feladat – korábbi ZH (1) 3 4 1 (2) 5 (1) 9 (1) 1 (0) 4 NY F (5) 7 2 (0) 1 (5) 5 (1) 4 (6) 6 (0) 4 3 5 (1) 4

Feladat – korábbi ZH (1) 3 4 1 (2) 5 (1) 9 (1) 1 (0) 4 NY F (5) 7 2 (0) 1 (5) 5 (1) 4 (6) 6 (0) 4 3 5 (1) 4

Feladat – korábbi ZH (1) 3 4 1 (2) 5 (1) 9 (1) 1 (0) 4 NY F (5) 7 2 (0) 1 (5) 5 (1) 4 (6) 6 (0) 4 3 5 (1) 4

Feladat – korábbi ZH (1) 3 4 1 (2) 5 (1) 9 (1) 1 (0) 4 NY F (5) 7 2 (0) 1 (5) 5 (1) 4 (6) 6 (0) 4 3 5 (1) 4

Feladat – korábbi ZH (1) 3 4 1 (2) 5 (3) 9 (1) 1 (2) 4 NY F (7) 7 2 (0) 1 (5) 5 (1) 4 (6) 6 (0) 4 3 5 (1) 4

Feladat – korábbi ZH (1) 3 4 1 (2) 5 (3) 9 (1) 1 (2) 4 NY F (7) 7 2 (0) 1 (5) 5 (1) 4 (6) 6 (0) 4 3 5 (1) 4

Feladat – korábbi ZH (1) 3 4 1 (2) 5 (3) 9 (1) 1 (2) 4 NY F (7) 7 2 (0) 1 (5) 5 (1) 4 (6) 6 (0) 4 3 5 (1) 4

Feladat – korábbi ZH (1) 3 4 1 (2) 5 (3) 9 (1) 1 (2) 4 NY F (7) 7 2 (0) 1 (5) 5 (1) 4 (6) 6 (0) 4 3 5 (1) 4

Feladat – korábbi ZH (1) 3 4 1 (2) 5 (3) 9 (1) 1 (2) 4 NY F (7) 7 2 (0) 1 (5) 5 (1) 4 (6) 6 (0) 4 3 5 (1) 4

Feladat – korábbi ZH (1) 3 4 1 (2) 5 (3) 9 (1) 1 (2) 4 NY F (7) 7 2 (0) 1 (5) 5 (1) 4 (6) 6 (0) 4 3 5 (1) 4

Feladat – korábbi ZH (1) 3 4 1 (2) 5 (3) 9 (1) 1 (2) 4 NY F (7) 7 2 (0) 1 (5) 5 (1) 4 (6) 6 (0) 4 3 5 (1) 4

Feladat – korábbi ZH (3) 3 4 1 (4) 5 (5) 9 (1) 1 (2) 4 NY F (7) 7 2 (0) 1 (5) 5 (1) 4 (6) 6 (0) 4 3 5 (1) 4

Feladat – korábbi ZH (3) 3 4 1 (4) 5 (5) 9 (1) 1 (2) 4 NY F (7) 7 2 (0) 1 (5) 5 (1) 4 (6) 6 (0) 4 3 5 (1) 4

Feladat – korábbi ZH (3) 3 4 1 (4) 5 (5) 9 (1) 1 (2) 4 NY F (7) 7 2 (0) 1 (5) 5 (1) 4 (6) 6 (0) 4 3 5 (1) 4

Feladat – korábbi ZH (3) 3 4 1 (4) 5 (5) 9 (1) 1 (2) 4 NY F (7) 7 2 (0) 1 (5) 5 (1) 4 (6) 6 (0) 4 3 5 (1) 4

Feladat – korábbi ZH (3) 3 4 1 (4) 5 (5) 9 (1) 1 (2) 4 NY F (7) 7 2 (0) 1 (5) 5 (1) 4 (6) 6 (0) 4 3 5 (1) 4

Feladat – korábbi ZH (3) 3 4 1 (4) 5 (5) 9 (1) 1 (2) 4 NY F (7) 7 2 (0) 1 (5) 5 (1) 4 (6) 6 (0) 4 3 5 (1) 4

Feladat – korábbi ZH (3) 3 4 1 (4) 5 (5) 9 (1) 1 (2) 4 NY F (7) 7 2 (0) 1 (5) 5 (1) 4 (6) 6 (0) 4 3 5 (1) 4

Feladat – korábbi ZH (3) 3 4 1 (4) 5 (5) 9 (1) 1 (2) 4 NY F (7) 7 2 (0) 1 (5) 5 (1) 4 (6) 6 (0) 4 3 5 (1) 4

Feladat – korábbi ZH (3) 3 4 1 (4) 5 (5) 9 (1) 1 (2) 4 NY F (7) 7 2 (0) 1 (5) 5 (1) 4 (6) 6 (0) 4 3 5 (1) 4

Feladat – korábbi ZH (3) 3 4 1 (4) 5 (7) 9 (1) 1 (4) 4 NY F (7) 7 2 (0) 1 (3) 5 (1) 4 (6) 6 (2) 4 3 5 (3) 4

Feladat – korábbi ZH (3) 3 4 1 (4) 5 (7) 9 (1) 1 (4) 4 NY F (7) 7 2 (0) 1 (3) 5 (1) 4 (6) 6 (2) 4 3 5 (3) 4

Feladat – korábbi ZH (3) 3 4 1 (4) 5 (7) 9 (1) 1 (4) 4 NY F (7) 7 2 (0) 1 (3) 5 (1) 4 (6) 6 (2) 4 3 5 (3) 4

Feladat – korábbi ZH (3) 3 4 1 (4) 5 (7) 9 (1) 1 (4) 4 NY F (7) 7 2 (0) 1 (3) 5 (1) 4 (6) 6 (2) 4 3 5 (3) 4

Feladat – korábbi ZH (3) 3 4 1 (4) 5 (7) 9 (1) 1 (4) 4 NY F (7) 7 2 (0) 1 (3) 5 (1) 4 (6) 6 (2) 4 3 5 (3) 4

Feladat – korábbi ZH (3) 3 4 1 (4) 5 (7) 9 (1) 1 (4) 4 NY F (7) 7 2 (0) 1 (3) 5 (1) 4 (6) 6 (2) 4 3 5 (3) 4

Feladat – korábbi ZH (3) 3 4 1 (4) 5 (7) 9 (1) 1 (4) 4 NY F (7) 7 2 (0) 1 (3) 5 (1) 4 (6) 6 (2) 4 3 5 (3) 4

Feladat – korábbi ZH (3) 3 4 1 (4) 5 (7) 9 (1) 1 (4) 4 NY F (7) 7 2 (0) 1 (3) 5 (1) 4 (6) 6 (2) 4 3 5 (3) 4

Feladat – korábbi ZH (3) 3 4 1 (4) 5 (8) 9 (1) 1 (4) 4 NY F (7) 7 2 (3) 5 (1) 4 (6) 6 (3) 4 3 5 (4) 4

Feladat – korábbi ZH Adja meg a maximális folyamot! 14 (3) 3 4 1 (4) 5 (8) 9 (1) 1 (4) 4 NY F (7) 7 2 (1) 1 (3) 5 (1) 4 (6) 6 (3) 4 3 5 (4) 4 14

Feladat – korábbi ZH Sorolja fel az összes olyan élt, amelyre igaz, hogy az adott él kapacitását növelve, ugyanakkor a többi él kapacitását változatlanul hagyva, a maximális folyam értéke növekszik!

Feladat – korábbi ZH (1,4) (3) 3 4 1 (4) 5 (8) 9 (1) 1 (4) 4 NY F (7) 7 2 (1) 1 (3) 5 (1) 4 (6) 6 (3) 4 3 5 (4) 4

Minimális vágás

A vágás definíciója Legyen V’ egy hálózat csúcsainak tetszőleges olyan halmaza, amelyik tartalmazza a nyelőt, de nem tartalmazza a forrást. Ekkor a hálózat olyan (i,j) éleinek halmaza, amelyek i kezdőpontja nem V’- beli, a j végpontja viszont V’-beli egy vágás a hálózatban. Egy vágás kapacitása alatt a vágást alkotó élek kapacitásainak összegét értjük.

A maximális folyam értéke = A minimális vágás értéke Fontos tétel A maximális folyam értéke = A minimális vágás értéke

Feladat – korábbi ZH Adjon meg egy minimális vágást! (Sorolja fel a vágás éleit!) (3) 3 1 4 (4) 5 (8) 9 (1) 1 (4) 4 NY F (7) 7 2 (1) 1 (3) 5 (1) 4 (6) 6 (3) 4 3 5 (4) 4

A vágás definíciója Legyen V’ egy hálózat csúcsainak tetszőleges olyan halmaza, amelyik tartalmazza a nyelőt, de nem tartalmazza a forrást. Ekkor a hálózat olyan (i,j) éleinek halmaza, amelyek i kezdőpontja nem V’- beli, a j végpontja viszont V’-beli egy vágás a hálózatban.

Feladat – korábbi ZH Adjon meg egy minimális vágást! (Sorolja fel a vágás éleit!) (3) 3 1 4 (4) 5 (8) 9 (1) 1 (4) 4 NY F (7) 7 2 (1) 1 (3) 5 (1) 4 (6) 6 (3) 4 3 5 (4) 4

Feladat – Winston 7.3 Adja meg a maximális folyamot! Adjon meg egy minimális vágást! 1 (0) 2 (0) 2 (0) 7 (0) 8 F 2 NY (0) 2 (0) 3 (0) 5 3

Kritikus út

Feladat – Korábbi ZH 4 D4 F3 E4 A10 B5 G2 I1 1 2 5 6 7 H5 C2 3

A kritikus út probléma Critical Path Method (CPM) A probléma Mekkora az egyes események bekövetkezésének legkorábbi és legkésőbbi időpontja? Mennyi idő alatt fejeződhet be a projekt? Melyik tevékenységeknek kell mindenképpen időben elkezdődniük és melyik tevékenységek csúszhatnak?

A kritikus út probléma Feltételek Az 1-es csúcs jelzi a projekt kezdetét. Az előzmény nélküli tevékenységeket az 1-es csúcsból kiinduló élekkel jelenítjük meg. A hálózat tartalmazza a befejezés csúcsot. A számozás úgy történik, hogy egy tevékenység végét mutató csúcs száma mindig nagyobb, mint a kezdetét mutató csúcsé.

A kritikus út probléma Feltételek Egy tevékenységet csak egy él reprezentál. Két csúcs között legfeljebb egy él mehet.

A kritikus út probléma Fiktív tevékenység, időtartama: 0 A 1 2 C B 1 A 3 C Fiktív tevékenység, időtartama: 0 B 2

A kritikus út probléma - fogalmak Tevékenység időtartama – tij Tevékenység előzményei: Olyan tevékenységek, amelyeknek be kell fejeződniük ahhoz, hogy az adott tevékenység elkezdődhessen. Korai időzítés (Early Event Time) - ET(i) Az a legkorábbi időpont, amikor a csúcshoz tartozó esemény bekövetkezhet. (számítása a projekt kezdeténél kezdődik)

A kritikus út probléma - fogalmak Késői időzítés (Late Event Time) - LT(i) Az a legkésőbbi időpont, amikor a csúcshoz tartozó esemény bekövetkezhet anélkül, hogy a projekt befejezését késleltetné. (számítása a projekt befejezésénél kezdődik)

A korai időzítés algoritmusa Keressük meg az i csúcsba mutató élek kezdő csúcspontjait. Ezek az események az i esemény közvetlen előzményei. Az i esemény mindegyik közvetlen előzményének ET értékéhez adjuk hozzá az előzményből az i-be vezető élhez tartozó tevékenység időtartamát. ET(i) egyenlő az előző lépésben számított értékek maximumával.

Feladat – Korábbi ZH 4 D4 F3 E4 A10 B5 G2 I1 1 2 5 6 7 H5 C2 3

Feladat – Korábbi ZH Határozza meg az egyes események legkorábbi és legkésőbbi bekövetkezési időpontját a táblázat kitöltésével! Események ET LT 1 2 3 4 5 6 7

Feladat – Korábbi ZH Határozza meg az egyes események legkorábbi és legkésőbbi bekövetkezési időpontját a táblázat kitöltésével! Események ET LT 1 2 3 4 5 6 7

Feladat – Korábbi ZH 4 D4 F3 E4 A10 B5 G2 I1 1 2 5 6 7 H5 C2 3

A korai időzítés algoritmusa Keressük meg az i csúcsba mutató élek kezdő csúcspontjait. Ezek az események az i esemény közvetlen előzményei. Az i esemény mindegyik közvetlen előzményének ET értékéhez adjuk hozzá az előzményből az i-be vezető élhez tartozó tevékenység időtartamát. ET(i) egyenlő az előző lépésben számított értékek maximumával.

Feladat – Korábbi ZH 4 D4 F3 E4 A10 B5 G2 I1 1 2 5 6 7 H5 C2 3

A korai időzítés algoritmusa Keressük meg az i csúcsba mutató élek kezdő csúcspontjait. Ezek az események az i esemény közvetlen előzményei. Az i esemény mindegyik közvetlen előzményének ET értékéhez adjuk hozzá az előzményből az i-be vezető élhez tartozó tevékenység időtartamát. ET(i) egyenlő az előző lépésben számított értékek maximumával.

Feladat – Korábbi ZH 0 + 10 = 10 4 D4 F3 E4 A10 B5 G2 I1 1 2 5 6 7 H5 H5 C2 3 0 + 10 = 10

A korai időzítés algoritmusa Keressük meg az i csúcsba mutató élek kezdő csúcspontjait. Ezek az események az i esemény közvetlen előzményei. Az i esemény mindegyik közvetlen előzményének ET értékéhez adjuk hozzá az előzményből az i-be vezető élhez tartozó tevékenység időtartamát. ET(i) egyenlő az előző lépésben számított értékek maximumával.

Feladat – Korábbi ZH Határozza meg az egyes események legkorábbi és legkésőbbi bekövetkezési időpontját a táblázat kitöltésével! Események ET LT 1 2 10 3 4 5 6 7

Feladat – Korábbi ZH 4 D4 F3 E4 A10 B5 G2 I1 1 2 5 6 7 H5 C2 3

Megoldás – Korábbi ZH Határozza meg az egyes események legkorábbi és legkésőbbi bekövetkezési időpontját a táblázat kitöltésével! Események ET LT 1 2 10 3 12 4 14 5 18 6 20 7 21

A késői időzítés algoritmusa Keressük meg azokat a csúcsokat, amelyekbe megy él az i csúcsból. Ezek az események az i esemény közvetlen követői (utódai). Az i esemény mindegyik közvetlen utódjának LT értékéből vonjuk le az i-ből az utódba vezető élhez tartozó tevékenység időtartamát. LT(i) egyenlő az előző lépésben számított értékek minimumával.

Feladat – Korábbi ZH Határozza meg az egyes események legkorábbi és legkésőbbi bekövetkezési időpontját a táblázat kitöltésével! Események ET LT 1 2 10 3 12 4 14 5 18 6 20 7 21

A késői időzítés algoritmusa Keressük meg azokat a csúcsokat, amelyekbe megy él az i csúcsból. Ezek az események az i esemény közvetlen követői (utódai). Az i esemény mindegyik közvetlen utódjának LT értékéből vonjuk le az i-ből az utódba vezető élhez tartozó tevékenység időtartamát. LT(i) egyenlő az előző lépésben számított értékek minimumával.

Feladat – Korábbi ZH 4 D4 F3 E4 A10 B5 G2 I1 1 2 5 6 7 H5 C2 3

A késői időzítés algoritmusa Keressük meg azokat a csúcsokat, amelyekbe megy él az i csúcsból. Ezek az események az i esemény közvetlen követői (utódai). Az i esemény mindegyik közvetlen utódjának LT értékéből vonjuk le az i-ből az utódba vezető élhez tartozó tevékenység időtartamát. LT(i) egyenlő az előző lépésben számított értékek minimumával.

Feladat – Korábbi ZH 21 – 1 = 20 4 D4 F3 E4 A10 B5 G2 I1 1 2 5 6 7 H5 H5 C2 3 21 – 1 = 20

A késői időzítés algoritmusa Keressük meg azokat a csúcsokat, amelyekbe megy él az i csúcsból. Ezek az események az i esemény közvetlen követői (utódai). Az i esemény mindegyik közvetlen utódjának LT értékéből vonjuk le az i-ből az utódba vezető élhez tartozó tevékenység időtartamát. LT(i) egyenlő az előző lépésben számított értékek minimumával.

Feladat – Korábbi ZH Határozza meg az egyes események legkorábbi és legkésőbbi bekövetkezési időpontját a táblázat kitöltésével! Események ET LT 1 2 10 3 12 4 14 5 18 6 20 7 21

Feladat – Korábbi ZH 4 D4 F3 E4 A10 B5 G2 I1 1 2 5 6 7 H5 C2 3

Megoldás – Korábbi ZH Határozza meg az egyes események legkorábbi és legkésőbbi bekövetkezési időpontját a táblázat kitöltésével! Események ET LT 1 2 10 3 12 15 4 14 5 18 6 20 7 21

A kritikus út probléma - fogalmak Tevékenység tűréshatára - TH(i,j) Az a szám, amennyivel a tevékenység elkezdése a legkorábbi kezdési időpontjától eltolódhat anélkül, hogy a projekt befejezése késedelmet szenvedne. (Feltétel: a többi tevékenység nem csúszik.) TH(i,j) = LT(j) – ET(i) – tij

A kritikus út probléma - fogalmak Kritikus tevékenység Egy nulla tűréshatárral rendelkező tevékenységet kritikus tevékenységnek nevezünk. Kritikus út Egy csupa kritikus tevékenységből álló, a kezdés csúcsból a befejezés csúcsba vezető utat kritikus útnak hívunk.

Feladat – Korábbi ZH 4 D4 F3 E4 A10 B5 G2 I1 1 2 5 6 7 H5 C2 3

Feladat – Korábbi ZH Adja meg az egyes tevékenységek tűréshatárát! Él (i,j) TH(i,j) A B C D E F G H I

Feladat – Korábbi ZH 4 D4 F3 E4 A10 B5 G2 I1 1 2 5 6 7 H5 C2 3

Feladat – Korábbi ZH Adja meg az egyes tevékenységek tűréshatárát! Él (i,j) TH(i,j) A (1,2) B (2,5) C (2,3) D (2,4) E (4,5) F (4,6) G (5,6) H (3,6) I (6,7)

Feladat – Korábbi ZH Adja meg az egyes tevékenységek tűréshatárát! Él (i,j) TH(i,j) A (1,2) B (2,5) C (2,3) D (2,4) E (4,5) F (4,6) G (5,6) H (3,6) I (6,7)

Megoldás – Korábbi ZH Határozza meg az egyes események legkorábbi és legkésőbbi bekövetkezési időpontját a táblázat kitöltésével! Események ET LT 1 2 10 3 12 15 4 14 5 18 6 20 7 21

Feladat – Korábbi ZH 4 D4 F3 E4 A10 B5 G2 I1 1 2 5 6 7 H5 C2 3

Feladat – Korábbi ZH Adja meg az egyes tevékenységek tűréshatárát! Él (i,j) TH(i,j) A (1,2) B (2,5) C (2,3) D (2,4) E (4,5) 18-14-4=0 F (4,6) G (5,6) H (3,6) I (6,7)

Megoldás – Korábbi ZH Adja meg az egyes tevékenységek tűréshatárát! Él (i,j) TH(i,j) A (1,2) 10-0-10=0 B (2,5) 18-10-5=1 C (2,3) 15-10-2=3 D (2,4) 14-10-4=0 E (4,5) 18-14-4=0 F (4,6) 20-14-3=3 G (5,6) 20-18-2=0 H (3,6) 20-12-5=3 I (6,7) 21-20-1=0

Feladat – Korábbi ZH Adjon meg egy kritikus utat (az érintett tevékenységek sorozatát! Tevékenységek Él (i,j) TH(i,j) A (1,2) 10-0-10=0 B (2,5) 18-10-5=1 C (2,3) 15-10-2=3 D (2,4) 14-10-4=0 E (4,5) 18-14-4=0 F (4,6) 20-14-3=3 G (5,6) 20-18-2=0 H (3,6) 20-12-5=3 I (6,7) 21-20-1=0 Kritikus út: A,D,E,G,I

A kritikus út probléma - fogalmak Tevékenység mozgáshatára – MH(i,j) Egy tevékenység mozgáshatára az a szám, amennyivel a tevékenység elkezdése (vagy időtartama) elhúzódhat anélkül, hogy ezzel bármelyik későbbi tevékenység kezdési időpontja a legkorábbi kezdési időpontjánál későbbre tolódna. MH(i,j) = ET(j) – ET(i) – tij

Feladat – Korábbi ZH Adja meg az egyes tevékenységek mozgáshatárát! Él (i,j) MH(i,j) A (1,2) B (2,5) C (2,3) D (2,4) E (4,5) F (4,6) G (5,6) H (3,6) I (6,7)

Feladat – Korábbi ZH Adja meg az egyes tevékenységek mozgáshatárát! Él (i,j) MH(i,j) A (1,2) B (2,5) C (2,3) D (2,4) E (4,5) F (4,6) G (5,6) H (3,6) I (6,7)

Megoldás – Korábbi ZH Határozza meg az egyes események legkorábbi és legkésőbbi bekövetkezési időpontját a táblázat kitöltésével! Események ET LT 1 2 10 3 12 15 4 14 5 18 6 20 7 21

Feladat – Korábbi ZH 4 D4 F3 E4 A10 B5 G2 I1 1 2 5 6 7 H5 C2 3

Feladat – Korábbi ZH Adja meg az egyes tevékenységek mozgáshatárát! Él (i,j) MH(i,j) A (1,2) B (2,5) C (2,3) D (2,4) E (4,5) 18-14-4=0 F (4,6) G (5,6) H (3,6) I (6,7)

Megoldás – Korábbi ZH Adja meg az egyes tevékenységek mozgáshatárát! Él (i,j) MH(i,j) A (1,2) 10-0-10=0 B (2,5) 18-10-5=3 C (2,3) 12-10-2=0 D (2,4) 14-10-4=0 E (4,5) 18-14-4=0 F (4,6) 20-14-3=3 G (5,6) 20-18-2=0 H (3,6) 20-15-5=0 I (6,7) 21-20-1=0

Feladat (2) – Korábbi ZH 4 J8 F3 D4 E4 A7 B7 G2 I1 1 2 5 6 7 H5 C4 3

Feladat (2) – Korábbi ZH Határozza meg az egyes események legkorábbi és legkésőbbi bekövetkezési időpontját! Adjon meg egy kritikus utat (az érintett tevékenységek sorozatát)! Mekkora a H tevékenység tűréshatára? Mekkora a H tevékenység mozgáshatára?