Gazdaságmatematika 5. szeminárium

Hozzárendelési feladatok

A hozzárendelési feladat A hozzárendelési feladat egy olyan kiegyensúlyozott szállítási feladat, ahol minden kereslet és kínálat egységnyi. Minden oszlophoz pontosan egy sort rendelünk hozzá. Következmény: minden változó értéke csak 0 vagy 1 lehet, ahol A 0 jelentése: nemleges hozzárendelés Az 1 jelentése: hozzárendelés

Feladat – Winston 6.5 Egy vállalatnak négy gépe van, és négy olyan munka, amelyeket ezeken a gépeken kell elvégezni. Minden egyes gépre egy munkát kell kijelölni, amelyet a gép teljesen elvégez. A következő táblázat mutatja, hogy az egyes gépeknek az egyes munkákra való beállítása mennyi időt igényel. A vállalat minimalizálni szeretné a négy munka elvégzéséhez szükséges összes beállítási időt.

Feladat – Winston 6.5 Idő (órában) 1. munka 2. munka 3. munka 4. munka 1. gép 14 5 8 7 2. gép 2 12 6 3. gép 3 9 4. gép 4 10

Feladat – Winston 6.5 költségmátrix Idő (órában) 1. munka 2. munka 1. gép 14 5 8 7 2. gép 2 12 6 3. gép 3 9 4. gép 4 10 költségmátrix

A hozzárendelési feladat felírása Célfüggvény: min ∑∑ cijxij Korlátozó feltételek: ∑xij = 1 (gép feltételek) ∑xij = 1 (munka feltételek) xij = 0 vagy xij = 1

A hozzárendelési feladat felírása Célfüggvény: min ∑∑ cijxij Korlátozó feltételek: ∑xij = 1 (gép feltételek) ∑xij = 1 (munka feltételek) xij = 0 vagy xij = 1

Feladat – Winston 6.5 Idő (órában) 1. munka 2. munka 3. munka 4. munka 1. gép 14 5 8 7 2. gép 2 12 6 3. gép 3 9 4. gép 4 10

A hozzárendelési feladat felírása Célfüggvény: min 14x11 + 5x12 + 8x13 + 7x14 + 2x21 + 12x22 + 6x23 + 5x24 + 7x31 + 8x32 + 3x33 + 9x34 + 2x31 + 4x32 + 6x33 + 10x34

A hozzárendelési feladat felírása Célfüggvény: min ∑∑ cijxij Korlátozó feltételek: ∑xij = 1 (gép feltételek) ∑xij = 1 (munka feltételek) xij = 0 vagy xij = 1

A hozzárendelési feladat felírása Gép feltételek: x11 + x12 + x13 + x14 = 1 x21 + x22 + x23 + x24 = 1 x31 + x32 + x33 + x34 = 1 x41 + x42 + x43 + x44 = 1

A hozzárendelési feladat felírása Célfüggvény: min ∑∑ cijxij Korlátozó feltételek: ∑xij = 1 (gép feltételek) ∑xij = 1 (munka feltételek) xij = 0 vagy xij = 1

A hozzárendelési feladat felírása Munka feltételek: x11 + x21 + x31 + x41 = 1 x12 + x22 + x32 + x42 = 1 x13 + x23 + x33 + x43 = 1 x14 + x24 + x34 + x44 = 1

A hozzárendelési feladat felírása Célfüggvény: min ∑∑ cijxij Korlátozó feltételek: ∑xij = 1 (gép feltételek) ∑xij = 1 (munka feltételek) xij = 0 vagy xij = 1

A hozzárendelési feladat felírása min 14x11 + 5x12 + 8x13 + 7x14 + 2x21 + 12x22 + 6x23 + 5x24 + 7x31 + 8x32 + 3x33 + 9x34 + 2x31 + 4x32 + 6x33 + 10x34 x11 + x12 + x13 + x14 = 1 x21 + x22 + x23 + x24 = 1 x31 + x32 + x33 + x34 = 1 x41 + x42 + x43 + x44 = 1 x11 + x21 + x31 + x41 = 1 x12 + x22 + x32 + x42 = 1 x13 + x23 + x33 + x43 = 1 x14 + x24 + x34 + x44 = 1 xij = 0 vagy xij = 1 Gép feltételek Munka feltételek

A magyar módszer Keressük meg az mxm-es költségmátrix minden sorában a legkisebb elemet. Képezzünk egy új mátrixot úgy, hogy a sor minden költségeleméből kivonjuk a legkisebb költségelemet. Ebben az új mátrixban keressük meg minden oszlopban a legkisebb költség elemet. Képezzünk egy új mátrixot (ezt redukált költségmátrixnak nevezzük) úgy, hogy az oszlop minden költségeleméből kivonjuk a legkisebb költségelemet.

A magyar módszer Rajzoljuk be a lehető legkevesebb olyan vonalat (vízszintes és/vagy függőleges), amelyek segítségével a redukált költségmátrixban található összes nulla lefedhető. Ha ehhez m fedővonal szükséges, akkor a mátrixban lévő lefedett nullák között rendelkezésünkre áll az optimális megoldás. Ha m-nél kevesebb vonallal fedtük le az összes nullát, akkor a következő lépéssel folytatjuk.

A magyar módszer Keressük meg a redukált költségmátrixban azt a legkisebb nemnulla elemet (nevezzük k- nak), amelyiket az előző lépésben nem fedtünk le. Most vonjuk ki k-t a redukált költségmátrix minden nem lefedett eleméből, valamint adjunk hozzá k-t a kétszer lefedett elemekhez. Térjünk vissza az előző lépéshez.

Feladat – Winston 6.5 Idő (órában) 1. munka 2. munka 3. munka 4. munka 1. gép 14 5 8 7 2. gép 2 12 6 3. gép 3 9 4. gép 4 10

Feladat – Winston 6.5 14 5 8 7 2 12 6 3 9 4 10

A magyar módszer Keressük meg az mxm-es költségmátrix minden sorában a legkisebb elemet. Képezzünk egy új mátrixot úgy, hogy a sor minden költségeleméből kivonjuk a legkisebb költségelemet. Ebben az új mátrixban keressük meg minden oszlopban a legkisebb költség elemet. Képezzünk egy új mátrixot (ezt redukált költségmátrixnak nevezzük) úgy, hogy az oszlop minden költségeleméből kivonjuk a legkisebb költségelemet.

Feladat – Winston 6.5 Sorminimum 14 5 8 7 2 12 6 3 9 4 10

A magyar módszer Keressük meg az mxm-es költségmátrix minden sorában a legkisebb elemet. Képezzünk egy új mátrixot úgy, hogy a sor minden költségeleméből kivonjuk a legkisebb költségelemet. Ebben az új mátrixban keressük meg minden oszlopban a legkisebb költség elemet. Képezzünk egy új mátrixot (ezt redukált költségmátrixnak nevezzük) úgy, hogy az oszlop minden költségeleméből kivonjuk a legkisebb költségelemet.

Feladat – Winston 6.5 Sorminimum 9 3 2 5 10 4 6 8

A magyar módszer Keressük meg az mxm-es költségmátrix minden sorában a legkisebb elemet. Képezzünk egy új mátrixot úgy, hogy a sor minden költségeleméből kivonjuk a legkisebb költségelemet. Ebben az új mátrixban keressük meg minden oszlopban a legkisebb költség elemet. Képezzünk egy új mátrixot (ezt redukált költségmátrixnak nevezzük) úgy, hogy az oszlop minden költségeleméből kivonjuk a legkisebb költségelemet.

Feladat – Winston 6.5 9 3 2 10 4 5 6 8 Oszlop-minimum

A magyar módszer Keressük meg az mxm-es költségmátrix minden sorában a legkisebb elemet. Képezzünk egy új mátrixot úgy, hogy a sor minden költségeleméből kivonjuk a legkisebb költségelemet. Ebben az új mátrixban keressük meg minden oszlopban a legkisebb költség elemet. Képezzünk egy új mátrixot (ezt redukált költségmátrixnak nevezzük) úgy, hogy az oszlop minden költségeleméből kivonjuk a legkisebb költségelemet.

Feladat – Winston 6.5 9 3 10 4 1 5 2 6 Oszlop-minimum

A magyar módszer Rajzoljuk be a lehető legkevesebb olyan vonalat (vízszintes és/vagy függőleges), amelyek segítségével a redukált költségmátrixban található összes nulla lefedhető. Ha ehhez m fedővonal szükséges, akkor a mátrixban lévő lefedett nullák között rendelkezésünkre áll az optimális megoldás. Ha m-nél kevesebb vonallal fedtük le az összes nullát, akkor a következő lépéssel folytatjuk.

Feladat – Winston 6.5 9 3 10 4 1 5 2 6

Feladat – Winston 6.5 9 3 10 4 1 5 2 6

A magyar módszer Rajzoljuk be a lehető legkevesebb olyan vonalat (vízszintes és/vagy függőleges), amelyek segítségével a redukált költségmátrixban található összes nulla lefedhető. Ha ehhez m fedővonal szükséges, akkor a mátrixban lévő lefedett nullák között rendelkezésünkre áll az optimális megoldás. Ha m-nél kevesebb vonallal fedtük le az összes nullát, akkor a következő lépéssel folytatjuk.

A magyar módszer Keressük meg a redukált költségmátrixban azt a legkisebb nemnulla elemet (nevezzük k- nak), amelyiket az előző lépésben nem fedtünk le. Most vonjuk ki k-t a redukált költségmátrix minden nem lefedett eleméből, valamint adjunk hozzá k-t a kétszer lefedett elemekhez. Térjünk vissza az előző lépéshez.

Feladat – Winston 6.5 9 3 10 4 1 5 2 6

Feladat – Winston 6.5 9 3 10 4 1 5 2 6

A magyar módszer Keressük meg a redukált költségmátrixban azt a legkisebb nemnulla elemet (nevezzük k- nak), amelyiket az előző lépésben nem fedtünk le. Most vonjuk ki k-t a redukált költségmátrix minden nem lefedett eleméből, valamint adjunk hozzá k-t a kétszer lefedett elemekhez. Térjünk vissza az előző lépéshez.

Feladat – Winston 6.5 10 3 9 5 4 1

A magyar módszer Keressük meg a redukált költségmátrixban azt a legkisebb nemnulla elemet (nevezzük k- nak), amelyiket az előző lépésben nem fedtünk le. Most vonjuk ki k-t a redukált költségmátrix minden nem lefedett eleméből, valamint adjunk hozzá k-t a kétszer lefedett elemekhez. Térjünk vissza az előző lépéshez.

A magyar módszer Rajzoljuk be a lehető legkevesebb olyan vonalat (vízszintes és/vagy függőleges), amelyek segítségével a redukált költségmátrixban található összes nulla lefedhető. Ha ehhez m fedővonal szükséges, akkor a mátrixban lévő lefedett nullák között rendelkezésünkre áll az optimális megoldás. Ha m-nél kevesebb vonallal fedtük le az összes nullát, akkor a következő lépéssel folytatjuk.

Feladat – Winston 6.5 10 3 9 5 4 1

A magyar módszer Rajzoljuk be a lehető legkevesebb olyan vonalat (vízszintes és/vagy függőleges), amelyek segítségével a redukált költségmátrixban található összes nulla lefedhető. Ha ehhez m fedővonal szükséges, akkor a mátrixban lévő lefedett nullák között rendelkezésünkre áll az optimális megoldás. Ha m-nél kevesebb vonallal fedtük le az összes nullát, akkor a következő lépéssel folytatjuk.

Feladat – Winston 6.5 10 3 9 5 4 1

Feladat – Winston 6.5 10 3 9 5 4 1

Feladat – Winston 6.5 x11 = 0 x12 = 1 x21 = 0 x22 = 0 x31 = 0 x32 = 0

Speciális hozzárendelési feladatok Maximalizáló hozzárendelési feladat Minden költséget megszorzunk -1-gyel, és így végezzük el a szükséges lépéseket Tiltótarifás hozzárendelési feladat Valamely hozzárendelés tiltása esetén Megoldás: az adott költség helyére M-t (∞-t) írunk

Feladat – Winston 6.5 – 2. variáció Egy vállalatnak négy gépe van, és négy olyan munka, amelyeket ezeken a gépeken kell elvégezni. Minden egyes gépre egy munkát kell kijelölni, amelyet a gép teljesen elvégez. A következő táblázat mutatja, hogy az egyes gépek egy óra alatt hány terméket képesek előállítani. A vállalat maximalizálni szeretné az egy óra alatt előállítható termékek számát.

Feladat – Winston 6.5 – 2. variáció Termék (db-ban) 1. munka 2. munka 3. munka 4. munka 1. gép 14 5 8 7 2. gép 2 12 6 3. gép 3 9 4. gép 4 10

Feladat – Winston 6.5 – 2. variáció -14 -5 -8 -7 -2 -12 -6 -3 -9 -4 -10 A feladat innentől hasonlóan folytatódik.

Feladat – Winston 6.5 – 3. variáció Egy vállalatnak négy gépe van, és négy olyan munka, amelyeket ezeken a gépeken kell elvégezni. Minden egyes gépre egy munkát kell kijelölni, amelyet a gép teljesen elvégez. A következő táblázat mutatja, hogy az egyes gépeknek az egyes munkákra való beállítása mennyi időt igényel. Tudjuk azt is, hogy a 2. gép nem állítható be a 4. munka végzésére. A vállalat minimalizálni szeretné a négy munka elvégzéséhez szükséges összes beállítási időt.

Feladat – Winston 6.5 – 3. variáció Idő (órában) 1. munka 2. munka 3. munka 4. munka 1. gép 14 5 8 7 2. gép 2 12 6 - 3. gép 3 9 4. gép 4 10

Feladat – Winston 6.5– 3. variáció 14 5 8 7 2 12 6 M 3 9 4 10 A feladat innentől hasonlóan folytatódik.

WinQSB…

Szállítási feladat

Szállítási feladat

Szállítási feladat

Szállítási feladat

Szállítási feladat

Szállítási feladat

Hozzárendelési feladat

Hálózati problémák Minimális feszítő fa Legrövidebb út Maximális folyam, minimális vágás Kritikus út

Alapfogalmak Gráf, hálózat Csúcs (V) Él (A) Élek és csúcsok (csúcspontok) halmaza Csúcs (V) Olyan halmaz, aminek az elemei a gráf vagy hálózat csúcspontjai Él (A) Egy csúcspontokból álló rendezett pár, amely megadja a két csúcspont közötti mozgás vagy áramlás lehetséges irányát

Alapfogalmak Lánc Út Kezdőpont, végpont Élek egy olyan sorozata, amelyben az egymást követő bármely két élnek egyetlen közös csúcsa van Út Olyan lánc, amelyben (az utolsó él kivételével) mindegyik él végpontja azonos a sorozatban következő él kezdőpontjával Kezdőpont, végpont (j,k) él esetében j a kezdőpont, k a végpont

Alapfogalmak – egy példa Csúcsok: V= {1, 2, 3, 4} Élek: A = {(1,2), (2,3), (3,4), (4,3), (4,1)} Egy lánc: (1,2)-(2,3)-(4,3) Egy út: (1,2)-(2,3)-(3,4) 1 4 2 3

Minimális feszítő fa

A feszítőfa definíciója Egy n csúcsponttal rendelkező hálózatban a feszítőfa az éleknek egy olyan n-1 elemű halmaza, amely összeköttetést teremt bármely két csúcs között és nem tartalmaz kört. (Körnek nevezünk minden olyan utat, amelyben az út kezdőpontja megegyezik a végpontjával.)

Minimális feszítő fa probléma Hogyan lehet az élek minimális összhosszúságú halmazával az összes csúcsot összekötni? Feltételek A hálózat minden éle irányítatlan (csak azt jelzi, hogy van összeköttetés két csúcs között) Mindegyik élnek adott a (nemnegatív) hossza

Minimális feszítő fa – algoritmus Válasszuk ki a hálózat egy tetszőleges i csúcsát. Keressük meg az i-hez legközelebbi csúcsot (j). Az i és j csúcsok egy összefüggő C={i,j} halmazt alkotnak, az (i,j) él pedig a minimális feszítőfa eleme lesz. A hálózat többi csúcsainak halmazát jelöljük C’-vel.

Minimális feszítő fa – algoritmus Válasszuk ki a C’ egy olyan n elemét, amelyik a legközelebb van a C valamelyik m eleméhez. Ekkor az (m,n) él a minimális feszítőfa eleme lesz. Az n csúcsot áttesszük C’-ből C-be, majd visszatérünk az előző lépéshez.

Feladat – korábbi ZH Rajzolja be a minimális feszítő fát! 6 12 7 2 5 10 6 1 9 13 3 11 14 8 4

Minimális feszítő fa – algoritmus Válasszuk ki a hálózat egy tetszőleges i csúcsát. Keressük meg az i-hez legközelebbi csúcsot (j). Az i és j csúcsok egy összefüggő C={i,j} halmazt alkotnak, az (i,j) él pedig a minimális feszítőfa eleme lesz. A hálózat többi csúcsainak halmazát jelöljük C’-vel.

Feladat – korábbi ZH 6 12 7 2 5 10 6 1 9 13 3 11 14 8 4

Feladat – korábbi ZH 6 12 7 2 5 10 6 1 9 13 3 11 14 8 4

Feladat – korábbi ZH 6 12 7 2 5 10 6 1 9 13 3 11 14 8 4

Minimális feszítő fa – algoritmus Válasszuk ki a C’ egy olyan n elemét, amelyik a legközelebb van a C valamelyik m eleméhez. Ekkor az (m,n) él a minimális feszítőfa eleme lesz. Az n csúcsot áttesszük C’-ből C-be, majd visszatérünk az előző lépéshez.

Feladat – korábbi ZH 6 12 7 2 5 10 6 1 9 13 3 11 14 8 4

Feladat – korábbi ZH 6 12 7 2 5 10 6 1 9 13 3 11 14 8 4

Feladat – korábbi ZH 6 12 7 2 5 10 6 1 9 13 3 11 14 8 4

Feladat – korábbi ZH 6 12 7 2 5 10 6 1 9 13 3 11 14 8 4

Feladat – korábbi ZH 6 12 7 2 5 10 6 1 9 13 3 11 14 8 4

Feladat – korábbi ZH 6 12 7 2 5 10 6 1 9 13 3 11 14 8 4

Feladat – korábbi ZH 6 12 7 2 5 10 6 1 9 13 3 11 14 8 4

Feladat – korábbi ZH 6 12 7 2 5 10 6 1 9 13 3 11 14 8 4

Feladat – korábbi ZH 6 12 7 2 5 10 6 1 9 13 3 11 14 8 4

Feladat – Winston 7.6 Rajzolja be a minimális feszítő fát! 1 1 2 4 2 3 5 5

Feladat – Winston 7.6 Rajzolja be a minimális feszítő fát! 1 1 2 4 2 3 5 5

A legrövidebb út

A legrövidebb út probléma A probléma Hogyan lehet egy adott csúcsból egy adott csúcsba a lehető legrövidebb úton eljutni? Feltételek A hálózat minden éle lehet irányított vagy irányítatlan Mindegyik élnek adott a (nemnegatív) hossza

Dijkstra algoritmusa Az első csúcsot ellátjuk az állandó 0 címkével Minden olyan csúcsot amelybe az első csúcsból megy él, ideiglenesen megcímkézzük az (1,i) él hosszával, minden más csúcs a ∞ címkét kapja Kiválasztjuk a legkisebb ideiglenes címkével rendelkező csúcsot (ha több van, akkor az egyiket), és címkéjét állandónak minősítjük

Dijkstra algoritmusa Új ideiglenes címkét számítunk azokra a csúcsokra, amelyekbe az új állandó címkéjű csúcsból megy él. Az új ideiglenes címkét úgy állítjuk elő, hogy az új állandó címkéhez hozzáadjuk az ide vezető utat, és megvizsgáljuk, hogy ez kisebb-e a korábbi ideiglenes címkénél. Ha igen, akkor lecseréljük a korábbi ideiglenes címkét.

Dijkstra algoritmusa Miután minden csúcs állandó címkét kapott meghatározzuk a legrövidebb utat. Ezt visszafelé haladva tesszük úgy, hogy minden esetben megvizsgáljuk, hogy az adott él hossza megegyezik-e az állandó címkék különbségével. Ha igen, akkor az az él a legrövidebb út egyik éle.

Feladat – korábbi ZH Adja meg az 1-es csúcsból a többi csúcsba vezető legrövidebb utakat! 6 12 7 2 5 10 6 1 9 13 3 11 14 8 4

Dijkstra algoritmusa Az első csúcsot ellátjuk az állandó 0 címkével Minden olyan csúcsot amelybe az első csúcsból megy él, ideiglenesen megcímkézzük az (1,i) él hosszával, minden más csúcs a ∞ címkét kapja Kiválasztjuk a legkisebb ideiglenes címkével rendelkező csúcsot (ha több van, akkor az egyiket), és címkéjét állandónak minősítjük

Feladat – korábbi ZH 6 12 7 2 5 10 6 1 9 13 3 11 14 8 4

Dijkstra algoritmusa Az első csúcsot ellátjuk az állandó 0 címkével Minden olyan csúcsot amelybe az első csúcsból megy él, ideiglenesen megcímkézzük az (1,i) él hosszával, minden más csúcs a ∞ címkét kapja Kiválasztjuk a legkisebb ideiglenes címkével rendelkező csúcsot (ha több van, akkor az egyiket), és címkéjét állandónak minősítjük

Feladat – korábbi ZH ∞ 6 12 7 6 10 2 5 10 6 1 9 13 3 11 11 14 8 4 ∞

Dijkstra algoritmusa Az első csúcsot ellátjuk az állandó 0 címkével Minden olyan csúcsot amelybe az első csúcsból megy él, ideiglenesen megcímkézzük az (1,i) él hosszával, minden más csúcs a ∞ címkét kapja Kiválasztjuk a legkisebb ideiglenes címkével rendelkező csúcsot (ha több van, akkor az egyiket), és címkéjét állandónak minősítjük

Feladat – korábbi ZH ∞ 6 12 7 6 10 2 5 10 6 1 9 13 3 11 11 14 8 4 ∞

Dijkstra algoritmusa Új ideiglenes címkét számítunk azokra a csúcsokra, amelyekbe az új állandó címkéjű csúcsból megy él. Az új ideiglenes címkét úgy állítjuk elő, hogy az új állandó címkéhez hozzáadjuk az ide vezető utat, és megvizsgáljuk, hogy ez kisebb-e a korábbi ideiglenes címkénél. Ha igen, akkor lecseréljük a korábbi ideiglenes címkét.

Feladat – korábbi ZH 18 6 12 7 6 10 2 5 10 6 1 9 13 3 11 11 14 8 4 20

Feladat – korábbi ZH 18 6 12 7 6 10 2 5 10 6 1 9 13 3 11 11 14 8 4 20

Feladat – korábbi ZH 17 6 12 7 6 10 2 5 10 6 1 9 13 3 11 11 14 8 4 20

Feladat – korábbi ZH 17 6 12 7 6 10 2 5 10 6 1 9 13 3 11 11 14 8 4 20

Feladat – korábbi ZH 17 6 12 7 6 10 2 5 10 6 1 9 13 3 11 11 14 8 4 19

Feladat – korábbi ZH 17 6 12 7 6 10 2 5 10 6 1 9 13 3 11 11 14 8 4 19

Feladat – korábbi ZH 17 6 12 7 6 10 2 5 10 6 1 9 13 3 11 11 14 8 4 19

Dijkstra algoritmusa Miután minden csúcs állandó címkét kapott meghatározzuk a legrövidebb utat. Ezt visszafelé haladva tesszük úgy, hogy minden esetben megvizsgáljuk, hogy az adott él hossza megegyezik-e az állandó címkék különbségével. Ha igen, akkor az az él a legrövidebb út egyik éle.

Feladat – korábbi ZH Példa: a 6-os csúcsba vezető legrövidebb út 17 19 12 7 6 10 2 5 10 6 1 9 13 3 11 11 14 8 4 19

Feladat – korábbi ZH Példa: a 6-os csúcsba vezető legrövidebb út 17 19 12 7 6 10 2 5 10 6 1 9 13 3 11 11 14 8 4 19

Feladat – korábbi ZH Példa: a 6-os csúcsba vezető legrövidebb út 17 19 12 7 6 10 2 5 10 6 1 9 13 3 11 11 14 8 4 19

Feladat – korábbi ZH Csúcs A legrövidebb út Hossza 2 1-2 10 3 1-3 11 4 1-3-4 19 5 1-5 6 1-2-6 17

Feladat – Winston 7.2 Adja meg az 1-es csúcsból a 6-os csúcsba vezető legrövidebb utat! 2 3 4 4 2 2 1 6 3 2 3 3 5

Feladat – Winston 7.2 Adja meg az 1-es csúcsból a 6-os csúcsba vezető legrövidebb utat! 2 3 4 4 2 2 1 6 3 2 3 3 5

Feladat – Winston 7.2 Adja meg az 1-es csúcsból a 6-os csúcsba vezető legrövidebb utat! 2 3 4 4 2 2 1 6 3 2 3 3 5