Barwise-Etchemendy: Language, Proof and Logic Tananyag: Barwise-Etchemendy: Language, Proof and Logic II. Quantifiers Weblap: http://phil.elte.hu/mate/logea/logea.html Fogadóóra: H 14:00-15:30, i/226 E-mail (házi feladatok és tetszőleges kérdés): mate.andras53@gmail.com

Elsőrendű logika Kvantifikáció Kvantifikáció a természetes nyelv(ek)ben Determináns/kvantor: egyargumentumú predikátum  NP Például: ‘egy’, ‘sok’, ‘néhány’, ‘minden’, ‘három’, ‘huszonöt’, ‘a legtöbb’, ‘egy … sem’ Kvantifikáció-elmélet Predikátum-logika Három A legtöbb Minden medve szereti a mézet Micimackó medve Micimackó szereti a mézet Egy medve sem

Logikai kvantorok:‘minden’, ‘van (olyan)’ Sokszor rejtve vagy álcázva fordulnak elő: Amikor este van, lámpát gyújtok. Láttam a Vezúvot, amikor kitört. minden van olyan Természetes nyelvben: kvantor + egyargumentumú predikátum  NP A FOL-ban technikai és történeti okokból nem így megy.

Kvantorok kezelése FOL-ban Segédeszköz: individuumváltozók Szintaktikailag: individuumnevek Matematikai használat: x+y = y+x Látszólag az általánosság kifejezésére szolgál. De az általánosságot valójában a(z elhallgatott) kvantor(ok) fejezi(k) ki: Minden x-re, y-ra igaz, hogy A változó funkciója az, hogy visszautal a kvantifikáló kifejezésben való előfordulásra. Ilyen funkciója (anaforikus szerep) a természetes nyelv névmásainak szokott lenni: Jancsi integetett Juliskának, de ő/az nem vette észre. Ennyiben a változók mesterséges névmások. De a tulajdonnevekre is hasonlítanak: nincs jelentésük.

FONTOS!! NEM ELFELEJTENI!!! A FOL kvantifikált mondatainak szerkezete eltér a természetes nyelvtől, csak az igazságfeltételek egyeznek meg (nagyjából). A köznyelvben nincs az egyszerű kvantor-alany-állítmány alakú mondatokban igazságkonnektívum (csak kopula – ahol van). FOL-ban ez a természetes nyelvben hiányzó konnektívum egzisztenciális kvantor után ‘és’, de univerzális után ‘ha-akkor’. FONTOS!! NEM ELFELEJTENI!!! Konvenció: változónak az x, y,z, t, u, v betűket, illetve ezek indexezett változatit (x1, stb.) használjuk. FOL-ban végtelen sok individuumváltozó van. Ez csak annyit jelent, hogy mindig elő tudunk venni egy újat.

(új fogalom) Terminusok: az individuumnevek és a változók együtt Terminológiai eltérés, fontos: A könyvben wff-ekről és sentence-ekről van szó; én nyitott és zárt mondatokról beszélek. A nyitott mondatokra ugyanúgy alkalmazhatjuk az igazságkonnektívumokat, mint a zártakra. Részletesebben: 0. Ha egy n-argumentumú predikátum mindegyik argumentumhelyére egy egy terminust írunk, a FOL egy (atomi) mondatát kapjuk (beleértve a “τ1=τ2” alakú, azonossági mondatokat). 1. Ha A mondat, akkor “A” is mondat 2-3. Ha A1, A2, … An mondatok, akkor “(A1  A2  …  An) ”, továbbá “(A1  A2  …  An)” is mondat. 4-5. Ha A és B mondatok, akkor “(A  B)” és “(A  B)” is mondatok. 6-7. Ha A mondat,  pedig változó. akkor “A” és “A” is mondatok. Két új szimbólum, magyarázatuk következik.

Van olyan medve, amelyik biciklizik. Vannak bicikliző medvék. Van valami, ami bicikliző medve. Van olyan x, hogy x bicikliző medve. Van olyan x, hogy (x medve  x biciklizik). ‘Van olyan x, hogy’: kvantifikáló (avagy kvantor-)kifejezés FOL-ban: x : egzisztenciális kvantor Mi ennek a mondatnak a szerkezete? Nincsen rózsa tövis nélkül x(x rózsa   (x tövises)) x (x rózsa  (x tövises)) Azaz: Minden x-re igaz, hogy ha x rózsa, akkor x tövises. Magyarul: minden rózsa tövises. ‘Minden x-re igaz, hogy’ FOL-ban: x : univerzális kvantor

Változók szabad és kötött előfordulásai Az ‘x egy kocka’ avagy ‘Cube(x)’ mondatban az x változó különböző értékeket vehet fel, és a mondat igazságértéke az x értékétől függ. „mondatfüggvény” (Russell) A ‘xCube(x)’ mondat igazságértéke értelemszerűen nem függ x értékétől. Akkor lesz igaz, ha van a világban olyan dolog, amit x értékének véve a ‘Cube(x)’ mondat igaz . Másképp ugyanez: az illető dolog satisfies (kielégíti ) a Cube(x) wff-t (nyitott mondatot). A könyv ezt a terminológiát használja.

Hasonlóképpen a ‘Larger(x, y)’ mondat igazságértéke x és y értékétől is függ. A ‘xLarger(x, y)’ mondat már nem függ az x-től. y egy értékére akkor lesz igaz, ha van olyan dolog, ami nagyobb nála. Tehát annyit jelent, hogy van, ami nagyobb y-nál. A ‘yLarger(x, y)’ értéke meg y-tól nem függ. Jelentése: van, aminél x nagyobb. Tehát a kvantifikáció megszünteti a változó szabad értékelését. Az olyan változó(előfordulás)t, amir e egy kvantor vonatkozik, kötött változó(előfordulás)nak nevezzük. Ha egy változónak egy előfordulása nem kötött, akkor szabad. Szabályokban, pontos definícióval: 0. Atomi mondatokban minden változóelőfordulás szabad. 1-5. Igazságkonnektívumok alkalmazása esetén a kimenetben ugyanazok a változóelőfordulások szabadok, mint az argumentumokban. 6-7. “A”-ban és “A”-ban -nek nincs szabad előfordulása, a többi változónak ugyanazok az előfordulásai szabadok, mint A-ban. Ha egy mondatban van szabad változóelőfordulás, akkor a mondat nyitott. Ha minden változóelőfordulás kötött, akkor a mondat zárt (beleértve azokat a mondatokat, amelyekben nincsenek változók).

Ha egy nyitott mondatban x, y, z fordul elő szabadon, akkor szokás ilyenféle rövidítést alkalmazni: P(x, y, z). Nem tévesztendő össze egy P predikátum alkalmazásával. P(x, b, z) azt a mondatot jelöli, amit P(x, y, z)-ből úgy kapunk, hogy y összes szabad előfordulását a b individuumnévvel helyettesítjük. Fontos példa: ‘x(Cube(x)  Medium(x))’ zárt mondat. ‘xCube(x)  Medium(x)’ nyitott mondat, x utolsó előfordulása szabad. Kvantifikáció hatóköre: -- ha a kvantorkifejezést nem követi zárójel, akkor a következő atomi vagy kvantifikált mondat, -- ha igen, akkor meg a zárójel párjáig tart. A hatókörre vonatkozik az, hogy a kvantorváltozó nem fordul elő benne szabadon. HF: 9.3