Térbeli infinitezimális izometriák 11. Előadás Térbeli infinitezimális izometriák

Térbeli Killing mezők Korábban láttuk, hogy egy térbeli infinitezimális izometria Killing mezeje X(x)=Mx+b alakú, ahol 𝑀 𝑇 =-M. Speciális koordináta rendszerben ha M a nulla mátrix akkor egy inifinitezimális eltolás X; különben X(x)= 0 −𝜔 0 𝜔 0 0 0 0 0 x+ 𝟎 𝟎 𝒗 ha v=0, akkor egy z-tengely körüli 𝜔-szögsebességű infinitezimális forgatás, ha v nem 0, akkor még z-tengely körüli infinitezimális csavarmozgás adódik.

Az 1. esetben az infinitezimális forgatás tengelyét momentán tengelynek mondjuk. Egy általános koordináta rendszerben M= 0 −𝑎 −𝑏 𝑎 0 −𝑐 𝑏 𝑐 0 esetén Mx= (-c,b,-a)×(x,y,z). Ha ω:=√(a²+b²+c²) és m= (−𝑐,𝑏−𝑎) 𝜔 , és így ‖m‖=1, akkor Mx=ωm×x. Ekkor X(x)=Mx+b Killing-mező esetén: ha b=0, akkor az origón átmenő m irányvektorú egyenes lesz a momentán tengely; ha b nem 0, akkor b= 𝑏 𝑝 + 𝑏 𝑚 felbontásban 𝑏 𝑝 =0, akkor az m× 𝑏 𝑚 𝜔 ponton átmenő m irányú egyenes lesz a tengely; ha 𝑏 𝑝 nem 0, akkor nincs momentán tengely.

Térbeli folytonos mozgásoknál Sík Tér momentán centrum momentán tengely álló\mozgó pólusgörbe álló\mozgó pólusfelület Definíció Egy felületet vonalfelületnek nevezünk, ha r(u,v)=j(u)+vδ(u) alakban paraméterezhető, ahol j, δ vektor értékű függvények és ‖δ‖=1. Definíció Legyen r(u,v) és 𝑟 (u,v) két vonalfelület fenti alakú paraméterezése. Ekkor azt mondjuk, hogy 𝑟 (u,v) legördül az r(u,v) felületen, ha létezik egy olyan φ 𝑢 , u-tól függő folytonos izometria, melyre v↦ φ 𝑢 ( 𝑟 (u,v)) egyenese megegyezik a v↦ r(u,v) egyenessel és az ( 𝑢 , 𝑣 )↦ φ 𝑢 ( 𝑟 ( 𝑢 , 𝑣 )) felület érinti az r felületet ezen egyenes mentén. Továbbá a t↦ r(u(t),v(t)) és t↦ φ 𝑢(𝑡) ( 𝑟 (u(t),v(t))) görbék azonos hosszúak tetszőleges (u(t),v(t)) görbére.

Ha a 𝜑 𝑡 ¹, 𝜑 𝑡 ² folytonos izometriák a Σ₀ rögzített koordináta rendszert a Σ 𝑡 ¹, Σ 𝑡 ² koordináta rendszerekbe viszi és 𝑋 𝑖 (t) jelöli a 𝜑 𝑡 𝑖 -hez tartozó Killing-mezőt, akkor: Állítás Ha a Σ 𝑡 ¹ mint álló koordináta rendszerben leírjuk Σ 𝑡 ² mozgásának t időpillanatban vett momentán tengelyét, az az X₂(t)-X₁(t) vektormező momentán tengelye lesz.

Robot geometria A robotkarok típusok: Merev szegmensek (vagy link, a kar merev része) Csukló (hajlítható összekötő rész) A robot keze (robot keze lehet szerszám, fogókar...) Nyílt láncú robotkar egy olyan robot, melynek az alaptestéhez kapcsolódik egy csukló 0. csukó, majd egy szegmens 1. szegmens majd 1. csukló, 2. szegmens, 2. csukló ... n. csukló, ami a robot keze. A csuklók lehetnek forgók vagy eltoló csukló (prismative), teleszkópikus csukló . A robot munkatere azok a térbeli / síkbeli pontok, ahova eljuttatható a robot keze.

Az elemi csuklók állapota 1 paraméterrel leírható: a szegmensek szögével, csavarodási szöggel, hosszal Az RRR jelölés azt jelenti, hogy három forgatható csuklója van egy nyílt láncú robot karnak. Az RPP típusban forgó-teleszkópikus-teleszkópikus csuklók vannak egymás után stb.

Egy RRR típusú robotkar

Direkt kinematikai probléma: Ismerjük az elöbbi paramétereit a csuklóknak (elfordulási szög eltolási hossz), adjuk meg, hogy hol van a robot keze! Inverz kinematikai probléma: Tudjuk hol a kar végpozíciója mik a csukló paraméterek, melyekre a kar „úgy és oda” mozog ahova akarjuk Sebesség kinematika: Kontrolálni szeretnénk a mozgás közben a csukló sebességét Útkeresési probléma: vannak akadályok, amiket ki kell kerülni mozgás közben a robotkar minden részének …

Denavit-Hartenbherg konvenció Olyan koordinátarendszereket keresünk, melyek kielégítik a kövezkező feltételeket: Minden linkhez mereven hozzá rögzítünk egy Descartes féle koordináta rendszert (azaz ebben a koordináta rendszerben ennek a linknek a pontjai végig fixen maradnak a robot kar mozgása közben). Az i-edik link koordináta rendszere ( 𝑂 𝑖 , 𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 , 𝑧 𝑖 ). A 𝑧 𝑖 -tengely egybeesik az i-edik csukló "hatástengelyével„ Az 𝑥 𝑖 -tengely merőlegesen metszi a 𝑧 𝑖−1 -tengelyt (és természetesen a 𝑧 𝑖 -tengelyt is, hiszen ( 𝑂 𝑖 , 𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 , 𝑧 𝑖 ) ortonormált).

Állítás: Mindig lehetséges a DH-konvenció szerint megválasztani a koordináta rendszereket.

Állítás: Az i és i+1 koordináta rendszerek közötti áttérést 4 adat írja le ( 𝑑 𝑖 , 𝜗 𝑖 , 𝑎 𝑖 , 𝛼 𝑖 ) ezek közül: 𝑎 𝑖 nem változik a robotkar mozgásánál; ha az i. csukló forgató, akkor 𝑑 𝑖 nem változik; ha az i. csukló eltoló, akkor az eltolás mértékét adja meg 𝑑 𝑖 ; az 𝛼 𝑖 konstans, mivel ez csak az i. link geometriájától függ; A 𝜗 𝑖 a forgó ízületek változója. Azaz minden ízületnél a 4 változó közül 3 konstans és 𝜗 𝑖 vagy 𝑑 𝑖 változhat csak attól függően, hogy forgó vagy csúszó ízületről van-e szó.

Nézzük meg hogyan adható meg az egyik koordinátarendszerbeli pont a másikban. Használjuk a 4-dimeziós homogén koordinátáit a pontoknak. Ekkor egy 4×4-es mátrixal megadhatóak a lineáris transzformációk. Vegyünk az i+1. koordináta rendszerben egy ( 𝑢 𝑖+1 , 𝑣 𝑖+1 , 𝑤 𝑖+1 ) koordinátájú pontot. Ekkor ennek a ( 𝑢 𝑖+1 , 𝑣 𝑖+1 , 𝑤 𝑖+1 , 1) 𝑇 homogén koordináta felel meg. Írjuk fel ennek homogén koordinátáit az ( 𝑂′ 𝑖 , 𝑥′ 𝑖 , 𝑦′ 𝑖 , 𝑧′ 𝑖 ) koordinátarendszerben. Ennek a mátrixa:

Az ( 𝑂′ 𝑖 , 𝑥′ 𝑖 , 𝑦′ 𝑖 , 𝑧′ 𝑖 ) és az ( 𝑂 𝑖 , 𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 , 𝑧 𝑖 ) koordináta rendszerek közötti áttérés mátrixa pedig: Azaz az ( 𝑂 𝑖+1 , 𝑥 𝑖+1 , 𝑦 𝑖+1 , 𝑧 𝑖+1 ) és az ( 𝑂 𝑖 , 𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 , 𝑧 𝑖 ) koordináta rendszerek közötti áttérés mátrixa:

Ezt a mátrixot jelölje 𝑀 𝑖 amit 𝑀 𝑖 ( 𝑑 𝑖 , 𝜗 𝑖 , 𝑎 𝑖 , 𝛼 𝑖 ) alakban is jelölhetünk, hiszen ezektől a mennyiségektől függ.

Összefoglalva a két koordináta rendszer közötti áttérés: Mivel a robot kezének koordinátája az ( 𝑂 𝑛 , 𝑥 𝑛 , 𝑦 𝑛 , 𝑧 𝑛 ) koordináta rendszerben konstans lesz végig, ha ezek ( 𝑢 𝑛 , 𝑣 𝑛 , 𝑤 𝑛 ) akkor a direkt feladat megoldása:

Két dimenziós RR robatkar Egy egyszerű példán nézzük meg a direkt és inverz kinematikai problémát:

Ha az előző 3-dimenziós leírást használjuk, akkor a z-tengely a síkra merőleges lez, így a z-tengelyek 𝛼 𝑖 csavarodási szöge 0, ami a 4x4-es mátrix 3. sorát és oszlopát kinullázza (a 3. koordináta végig 0 erre is gondolhatunk). Vagy 2-dimenzóban az előző módszer alapján az áttérési mátrixokra a következő adódik:

Ekkor a kéz koordinátái: Ez a direkt feladat megoldása. Az inverzhez tekintsük a következő ábrát:

Ha egy konkrét robotkarunk van és egy-egy adott ponthoz véges sok olyan paraméter sorozat van, melyekre a robotkar keze a megfelelő pozícióban van, akkor kiszámolható az inverz függvény „elemien”. Ha (x,y) a kéz koordinátája a 0. koordináta rendszerben, akkor a Pithagorasz tételből és a cosinus tételből az 𝑂 2 𝑂 0 és az x tengely szöge 𝛼 és az 𝑂 1 𝑂 0 𝑂 2 szög 𝛽: Innen 𝜃 0 =α±𝛽 cosinus tételből:

Direkt és inverz sebességkinematikai probléma Legyenek adottak a ( 𝑑 𝑖 , 𝜗 𝑖 , 𝑎 𝑖 , 𝛼 𝑖 ) paraméterek a t időpillanatban és a deriváltjaik ( 𝑑′ 𝑖 , 𝜗′ 𝑖 , 𝑎′ 𝑖 , 𝛼′ 𝑖 ). A direkt sebességkinematika feladata, hogy megmondja milyen sebesség vektorral mozdul el a robotkar. A kar mozgását: Amit deriválva kapjuk a következő egyenletet:

Amit deriválva pl. az első sorban: Másként felírva arra is gondohatunk, ha a mátrixokat összeszorozzuk, hogy a 4n változótól függő módon felírva: Amit deriválva pl. az első sorban: Ezek a föggvények az 𝑀 𝑖 mátrixokból számíthatóak ki. Így a 4n változótól függő 3x4n-es Jacobi Mátrix J (előző ismert függvényekből áll) és a 4n db ismert paraméter változás adja a sebesség vektort. Ez a direkt feladat megoldása.

Az inverz sebességkinematikai feladat a következő Az inverz sebességkinematikai feladat a következő. Ismert a kéz helyzete és adott sebességgel szeretnénk a kezet mozgatni. Milyen sebességgel változtassuk a D-H paramétereket? Ehhez az előző egyenlet bal oldalát adjuk meg és a J Jacobi mátrix is ismert lesz a 4n dimenzós jobb oldali oszlop vektort keressük. Egyrészt egy korábbi állítás miatt tudjuk, hogy nem minden paraméter fog változni, azaz a 4n ismeretlenből 3n biztosan 0 lesz. Tudjuk, hogy ekkor a Gauss elimináció akkor ad megoldást, ha a nem nulla ismeretlenekhez tartozó oszlopvektorok által kifeszített térben van a sebesség vektor. Hogy kezelni tudjuk azokat a helyzeteket, ahol nem megoldható a feladat bevezetjük a következő definíciót: Definíció Szinguláris konfigurációnak olyan konfigurációt nevezünk, ahonnan a robotkar keze nem mozgatható el akármilyen sebességvektorral.

A szinguláris pozíciók megtalálása nem lineáris algebrai feladat A szinguláris pozíciók megtalálása nem lineáris algebrai feladat. Azért izgalmasak a szinguláris pozíciók, mert, ha ismerjük ezeket és adott a kéz helyzete és egy másik célpozíció (azaz egy inverz kinematikai feladatot akarunk megoldani), akkor keresünk egy olyan γ(t) görbét, melyen a kéz fog haladni úgy, hogy elkerüli a szinguláris pozíciókat (vagy azokon alkalmas irányban halad keresztül). Ekkor az előbbi egyenlet bal oldala ismert lesz, jobb oldalának pedig kezdeti értéke lesz ismert. Azaz egy differenciál egyenletet kapunk, melyet numerikus módszerekkel megpróbálhatunk megoldani (sikekrül is ).

Szinguláris pozíció a 2-dimenziós RR robotkarra Korábban leírtuk a kar mozgását a következő módon: Amiből azt kapjuk a Jacobi mátrixra, hogy:

Ez akkor nem megoldható ebben az esetben, ha a Jacobi mátrix determinánsa 0, azaz a két oszlop vektora összefüggő, azaz ebben az esetben, ha párhuzamosak: Ami akkor teljesül, ha: Azaz szinguláris egy pozíció, ha: Geometriailag akkor, ha teljesen ki van nyújtva, vagy vissza van hajlítva az 1. indexű csukló.