Anyagmodellek II

Anyagok Mesterséges anyagok: Természetes anyagok Fémek Kerámiák Műanyagok (polimerek) Szálerősítésű anyagok (kompozitok) Természetes anyagok Közetek Növényi anyagok Állati és humán anyagok

Biológiai anyagok (Állati és humán) Csontgerendák Izom

Modellek Anyagi Gondolati Geometria tervezés Geometriai Kísérleti természetes mesterséges matematikai fizikai oktatási kutatási folytonos diszktét Csizmadia B nyomán

Térfogati, felületi, koncentrált erők (f, Fi) Anyagmodell Anyagmodell: általános kifejezésként választ jelent, az anyag válaszát az őt ért külső hatásokra Mechanikai anyagmodell: anyagnak a külső hatásokra (erők, hőmérséklet- változások, idő) adott mechanikai válasza Térfogati, felületi, koncentrált erők (f, Fi) Elmozdulások (ui) Kompatibilitási (geometriai egyenletek Egyensúlyi egyenletek Feszültségek (sij) Alakváltozások (eij) Anyagtörvények (anyagegyenletek)

Ortotrop anyagok (fa, kompozit, szalag?, izom?) 𝜎 𝑥 𝜎 𝑦 𝜎 𝑧 𝜏 𝑦𝑧 𝜏 𝑧𝑥 𝜏 𝑥𝑦 = 1− 𝜈 𝑦𝑧 𝜈 𝑧𝑦 𝐸 𝑦 𝐸 𝑧 𝐶 𝜈 𝑦𝑧 − 𝜈 𝑧𝑥 𝜈 𝑦𝑧 𝐸 𝑦 𝐸 𝑧 𝐶 𝜈 𝑧𝑥 − 𝜈 𝑦𝑥 𝜈 𝑧𝑦 𝐸 𝑦 𝐸 𝑧 𝐶 𝜈 𝑥𝑦 − 𝜈 𝑥𝑧 𝜈 𝑧𝑦 𝐸 𝑧 𝐸 𝑥 𝐶 1− 𝜈 𝑧𝑥 𝜈 𝑥𝑧 𝐸 𝑧 𝐸 𝑥 𝐶 𝜈 𝑧𝑦 − 𝜈 𝑧𝑥 𝜈 𝑥𝑦 𝐸 𝑧 𝐸 𝑥 𝐶 𝜈 𝑥𝑧 − 𝜈 𝑥𝑦 𝜈 𝑦𝑧 𝐸 𝑥 𝐸 𝑦 𝐶 𝜈 𝑦𝑧 − 𝜈 𝑥𝑧 𝜈 𝑦𝑥 𝐸 𝑥 𝐸 𝑦 𝐶 1− 𝜈 𝑥𝑦 𝜈 𝑦𝑧 𝐸 𝑥 𝐸 𝑦 𝐶 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐺 𝑦𝑧 0 0 0 𝐺 𝑧𝑥 0 0 0 𝐺 𝑥𝑦 𝜀 𝑥 𝜀 𝑦 𝜀 𝑧 𝛾 𝑦𝑧 𝛾 𝑧𝑥 𝛾 𝑥𝑦 𝐶= 1− 𝜈 𝑥𝑦 𝜈 𝑦𝑥 − 𝜈 𝑦𝑧 𝜈 𝑧𝑦 − 𝜈 𝑧𝑥 𝜈 𝑥𝑧 −2 𝜈 𝑥𝑦 𝜈 𝑦𝑥 𝜈 𝑧𝑥 𝐸 𝑥 𝐸 𝑦 𝐸 𝑧

Nemlineáris rugalmas anyagok modellje Feltételezések: A rugalmas állandókat a feszültség/alakváltozási tenzor főértékeinek vagy invariánsainak skalár függvényeként adjuk meg. I1: teljes feszültségtenzor invariánsa, J2, J3: deviátoros rész invaránsa Poisson-tényező (n) konstans 𝜀 𝑖𝑗 = 1+𝜈 𝐸 𝜎 𝑖𝑗 − 𝜈 𝐸 𝜎 𝑘𝑘 𝛿 𝑖𝑗 helyett 𝜀 𝑖𝑗 = 1+𝜈 𝐹 𝐼 1 , 𝐽 2 , 𝐽 3 𝜎 𝑖𝑗 − 𝜈𝐹 𝐼 1 , 𝐽 2 , 𝐽 3 𝜎 𝑘𝑘 𝛿 𝑖𝑗 Deviátoros rész 𝐽= 𝐹 , 𝐹 𝑑𝑒𝑣𝑖á𝑡𝑜𝑟𝑜𝑠 = 𝐽 −1/3 𝐹 Invariáns 𝐽 2 = 1 2 𝑒 𝑖𝑗 𝑒 𝑖𝑗

Hiperelasztikus (Green-féle) modellek Levezetés kulcs a virtuális munkaegyenlet 𝜎 𝑖𝑗 = 𝛿 𝜋 𝑏 𝜕 𝜀 𝑖𝑗 𝜀 𝑖𝑗 = 𝛿 𝜋 𝑏 𝜕 𝜀 𝑖𝑗 Nemlineáris rugalmas hiperelasztikus modellek Π 𝑏 = Π 𝑏 ( 𝐼 1 ′ , 𝐼 2 ′ , 𝐼 3 ′ ), ahol 𝐼 1 ′ = 𝜀 𝑘𝑘 , 𝐼 2 ′ = 1 2 𝜀 𝑘𝑚 𝜀 𝑘𝑚 , 𝐼 3 ′ = 1 3 𝜀 𝑘𝑚 𝜀 𝑘𝑛 𝜀 𝑚𝑛 𝜎 𝑖𝑗 = 𝛼 1 𝛿 𝑖𝑗 + 𝛼 2 𝜀 𝑖𝑗 + 𝛼 3 𝜀 𝑖𝑘 𝜀 𝑘𝑗 , ahol 𝛼 𝑖 = 𝜕 Π 𝑏 𝜕 𝐼 𝑖 ′

Hiperelasztikus modell nagy alakváltozásra Alapegyenlet Green-Lagrange-féle alakváltozási tenzorral: 𝑆= 𝜕 Π 𝑏 (𝑬) 𝜕𝑬 Jobb Cauchy-Green deformációs tenzorral: 𝑆=2 𝜕 Π 𝑏 (𝑪) 𝜕𝑪 Fizikai Cauchy –féle feszültségtenzor: 𝜎= 𝐽 −1 𝑭𝑺 𝑭 𝑻 , ahol 𝐽=𝑑𝑒𝑡𝑭, 𝑭= 𝑥 𝑦 𝑧 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 , összevontan 𝜎= 2 𝐽 −1 𝑭 𝜕 Π 𝑏 (𝑪) 𝜕𝑪 𝑭 𝑻

Hogyan állítsuk elő a 𝜕 Π 𝑏 (𝑬) tagot? Mooney-Rivlin-modell ötparaméteres: Π 𝑏 = 𝑐 1 𝐼 1 −3 + 𝑐 2 𝐼 2 −3 + 𝑐 3 𝐼 1 −3 3 + 𝑐 4 𝐼 1 −3 𝐼 2 −3 + 𝑐 5 𝐼 1 −3 2 + 1 𝑑 (𝐽−1) 2 háromparaméteres: Π 𝑏 = 𝑐 1 𝐼 1 −3 + 𝑐 2 𝐼 2 −3 + 𝑐 3 𝐼 1 −3 𝐼 2 −3 + 1 𝑑 (𝐽−1) 2 kétparaméteres: Π 𝑏 = 𝑐 1 𝐼 1 −3 + 𝑐 2 𝐼 2 −3 + 1 𝑑 (𝐽−1) 2 , ahol 𝑑= 2 𝐾 , 𝐾=𝜆+ 2 3 𝜇 (d: összenyomhatatlansági változó, K térfogatváltozási modulus) Neo-Hook anyagmodell Π 𝑏 𝑪 = 1 2 𝜆 (ln𝐽) 2 −𝜇ln𝐽+ 1 2 𝜇(tr𝐶−3), ahol tr𝐶=𝑰:𝑪= 𝐼 𝑖𝑗 ∗ 𝐶 𝑖𝑗 , 𝐼=𝐹 𝐶 −1 𝐹 𝑇 l Lamé állandó (nyúlás), m Lamé állandó (nyírás)

Modellek Anyagi Gondolati Geometria tervezés Geometriai Kísérleti természetes mesterséges matematikai fizikai oktatási kutatási folytonos diszktét Csizmadia B nyomán

Verifikálás Szakály F

Görbék Szakály F

Artériák modellezése Tóth Brigitta Többrétegű, rétegenként kettős, spirális szálerősítéssel Kétrétegű, rétegenként kettős, spirális szálerősítéssel

Holzapfel (2000) modellje Π 𝑏 𝑪 , 𝑨 𝟏 , 𝑨 𝟐 = Π 𝑏 𝑖𝑠𝑜 𝐼 1 , 𝐼 2 + Π 𝑏 𝑎𝑛𝑖𝑠𝑜 𝐼 1 , 𝐼 2, …. 𝐼 9 C: jobb Cauchy tenzor, A1, A2: szálak irányultságát leíró tenzor 𝐼 1 𝑪 =𝑡𝑟𝑪 𝐼 2 𝑪 = 1 2 𝑡𝑟 𝑪 2 −𝑡𝑟 𝑪 2 𝐼 31 𝑪 =1 𝐼 4 = 𝑪 : 𝑨 𝟏 𝐼 5 = 𝑪 2 : 𝑨 𝟏 𝐼 8 = 𝒂 𝟎𝟏 ⋅ 𝒂 𝟎𝟐 𝒂 𝟎𝟏 𝑪 𝒂 𝟎𝟐 𝐼 9 = 𝒂 𝟎𝟏 ⋅ 𝒂 𝟎𝟐 2

Holzapfel modellje artériákra Π 𝑏 𝑪 , 𝑨 𝟏 , 𝑨 𝟐 = Π 𝑏 𝑖𝑠𝑜 𝐼 1 + Π 𝑏 𝑎𝑛𝑖𝑠𝑜 𝐼 4 , 𝐼 6 Π 𝑏 𝑖𝑠𝑜 𝐼 1 = 𝑐 2 𝐼 1 −3 Π 𝑏 𝑎𝑛𝑖𝑠𝑜 𝐼 4 , 𝐼 6 = 𝑘 1 2 𝑘 2 𝑘=4,6 𝑒𝑥𝑝 𝑘 2 ( 𝐼 𝑖 −1) 2 −1 c: feszültségjellegű anyagi paraméter, k1: feszültségjellegű anyagi paraméter, k2: dimenzió nélküli paraméter alacsony nyomás esetén a kollagén rostok nem befolyásolják a mechanikai választ.

Képlékenyedés Nem rugalmas, nem visszafordítható (irreverzibilis) alakváltozások Ideálisan képlékeny: alakváltozást egy meghatározott nagyságú feszültség idézi elő és a feszültség megszűnésekor is az alakváltozás nagysága változatlan Modellek: deformáció: teljes alakváltozás-feszültség tenzor között van kapcsolat (integrálható) növekmény: csak a növekmények között vankapcsolat (nem-integrálható) s e

Folyási feltétel (Huber-Mises-Hencky-modell) Izotróp anyag 𝜎 1 2 + 𝜎 2 2 +2 𝜎 1 𝜎 2 ≤ 𝜎 ℎ Ortotróp anyag 𝑎 1 𝜎 11 − 𝜎 22 2 + 𝑎 2 𝜎 11 − 𝜎 33 2 + 𝑎 3 𝜎 22 − 𝜎 33 2 +6 𝑏 1 𝜎 12 2 + 𝑏 2 𝜎 13 2 + 𝑏 3 𝜎 23 2 −2 𝜎 ℎ 2 =0 𝑎 1 ⋯ 𝑏 3 anyagállandó Bojtár I

Keményedés a már képlékeny állapotba került, de további feszültségek felvételére képes, vagyis határteherbírását még el nem vesztett anyag izotróp kinematikus vegyes 𝐹 𝐼 1 , 𝐼 2 , 𝐼 3 − 𝐻 𝐾 𝐼 1 , 𝐼 2 , 𝐼 3 =0 Bojtár I

Ideálisan viszkózus anyagmodell A feszültség és az alakváltozás közötti kapcsolat az időnek is a függvénye, amiatt a feszültség és az alakváltozás-sebessége között keresünk összefüggést. Lineáris (Newton test): 𝜎=𝜂 𝜀 , ahol 𝜂 viszkozitási tényező Nemlineáris Csizmadia

Összetett anyagmodellek Általános modell: elasztoviszkoplasztikus modellek (reológiai modellek)

Előélet Szerkezeti anyagok: Követhető előélet: Tökéletesen rugalmas (terhelés megszűnése után visszanyeri eredeti alakját) terhelés története közömbös Maradó feszültségek korlátozott alakváltozás miatt Anyagszerkezeti viselkedés Technológiai folyamat következménye Követhető előélet: Maradó alakváltozás, mely szuperponálható (linárisan rugalmas-tökéletesen képlékeny anyagok s e

Előélet Nehezen leírható előélet Visszaterhelés nem tökéletesen rugalmas (hiszterézis-csillapítás) Felterhelés azonos, felterhelés meredeksége eltérő Technológiai maradó feszültségek (görgőzés, felületi ridegalakítás) Melegítés és visszahűlés eltérő sebessége (Hegesztés) s e s e s e

Szimuláció Modellezett kontrollváltozók (f) Feltételezett anyagtulajdonságok (k) Állapotváltozók a modellből 𝑢 ≈𝑢 Kontroll változók: mechanikai terhek hőterhek Állapotváltozók: elmozdulás hőmérsékletváltozás repedésnövekedés

Anyagmodell előállítása Bojtár szerint Modellkoncepció meghatározása előzetes mechanikai elemzéssel Laboratóriumi mérések Anyagmodell matematikai egyenleteinek felépítése Anyagi paraméterek azonosítása (identifikálás) A modell verifikálása laboratóriumi mérésekkel meghatározott értékekkel Modell minőségének ellenőrzése az azonosításban be nem vont feladatokon (validálás) Szimbólum rendszer F kontrollváltozók U állapotváltozók D kísérleti adatok K anyagállandók

Modellkoncepció Alkalmazási terület meghatározása (rugalmas-nem rugalmas; ideálisan képlékeny-felkeményedően képlékeny) Terhelési szintek és módok (statikus, dinamikus) meghatározása Anyagi viselkedés megközelítési szintje (mezo, mikro, makroszint) Termodinamikai alapkövetelmények kielégítésének feltétele (Cauchy- hiperelsztikus) Gazdaságossági kérdések (futás idő)

Laboratóriumi mérések Kontroll változók ( 𝑓 ) és a fizikailag mérhető állapotváltozók ( 𝑢 ) közötti kapcsolat tanulmányozása előre rögzített módon Bizonytalanságok mérési hibák 𝑒=𝑀 𝑢 − 𝑑 ∈𝐷 (megfigyelési operátor: állapotváltozók illesztése a kísérleti adatokhoz) adatok szórása (megismételhetetlen jelleg) adatbázis hiányossága (megközelíti, de nem fedi le a teljes valós körülményt)

Modell matematikai egyenleteinek a felállítása, identifikálás, verifikálás, validálás Kapcsolati egyenletek összeállítása Keressük az állapotváltozók azon halmazát 𝑢 𝜅,𝑓 ∈𝑈, amelynél adott 𝑓 ∈𝐹 és 𝜅∈𝐾 esetén létezik egy 𝑔 ( 𝜅 , 𝑢 , 𝑓 )=0 egyensúly i egyenlet Hiba 𝑒 𝑚ó𝑑 = 𝑢 𝜅 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 − 𝑢 ∈𝑈 Identifikálás Kísérleti adatok alapján a 𝜅 anyagi paraméterhalmaz meghatározása Verifikálás Kísérleti és modellezett állapotjellemzők összevetése Validálás Extrapolálás, olyan szerkezetek vizsgálata, amelyet eddig nem vontunk be a vizsgálatba

Identifikálás gyakorlati módszerei Kézi számítás: anyagi paraméterek meghatározása a kísérleti görbéből közvetlenül Próbák és hibák módszere f kontroll változók felvétel, kezdeti becslés felvétele a anyagi paraméterre (k) eredeti feladat megoldás 𝑑 ( 𝜅) meghatározása összehasonlítás a mért értékkel elfogadás vagy újabb iteráció Neurális hálózatok Legkisebb négyzetek módszere 𝑓 𝜅 = 1 2 𝑑 𝜅 − 𝑑 2 → min 𝜅𝜖𝐾

Jövő kutatások Mikroszerkezeti vizsgálatok Számítógépes anyagtudomány Számítógépes anyagtervezés

Irodalom Bojtár Imre: Mechanikai anyagmodellek BME Építőmérnöki Kar Tartószerkezetek Mechanikája https://www.me.bme.hu/hu/kurzus/mechanikai-anyagmodellek Szakály Ferenc: Emberi inak, ínszalagok numerikus modellezése TDK dolgozat BME Építőmérnöki Kar, Tartószerkezetek Mechanikája Tóth Brigitta: A vérben áramló vörösvértestek és az érfal mechanikai kölcsönhatása. PhD dolgozat BME Építőmérnöki Kar http://www.omikk.bme.hu/collections/phd/Epitomernoki_Kar/2011/Toth_Brigitta/ ertekezes.pdf Holzapfel GA: Nonlinear Solid Mechanics, Wiley 2000 M. Csizmadia Béla, Nándori Ernő (szerk): Mechanika mérnököknek IV. Modellalkotás. Nemzeti Tankönyvkiadó, 2003. 11-98. Bojtár Imre: Mechanikai anyagmodellek. Műegyetemi Kiadó, 2005.