A waveletek és néhány alkalmazásuk Tóth Gyula BME Általános- és Felsőgeodézia Tanszék Speciálkurzus 2009 tavasz

A kurzus áttekintése Bevezetés a waveletekhez A wavelet transzformáció (WT) Matematikai előkészítés Folytonos wavelet transzformáció (CWT) Matematikai alapok Alkalmazások Diszkrét wavelet transzformáció (DWT) Sokskálás analízis (MRA) Esettanulmányok, további alkalmazások Összefoglalás

A kurzus célja A waveletek mint matematikai eszköz megismerése olyan mélységig, hogy képesek legyünk ezt az eszközt a saját adataink elemzésére felhasználni Meg tudjuk ítélni milyen eljárást célszerű alkalmazni az adott feladathoz Képesek legyünk a kapott eredményeket helyesen értékelni, elemezni El tudjuk kerülni a gyakori csapdákat és buktatókat

A szükséges (elő)ismeretek Lineáris algebra, vektortér Függvényterek, ortogonalitás Fourier transzformáció, DFT, FFT Lineáris rendszerek, konvolúció Sztochasztikus jelek spektrálanalízise, PSD

1. Bevezetés a waveletekhez Speciálkurzus 2009 tavasz

Meghatározás A wavelet analízis vagy wavelet transzformáció egy olyan matematikai eszköz, amely képessé tesz minket arra, hogy egy adott jelet vagy függvényt: helyzet lépték (skála) irány szempontjából is analizáljunk.

Mi a wavelet analízis (WT)? A „wavelet” szó jelentése: kis hullám, hullámocska A wavelet időben/térben és frekvencia szempontjából is lokalizált ψ(t) elemző függvény (t: idő/tér változó) A Fourier transzformáció elemző függvénye, eiωt = cos(ωt) + i•sin(ωt) térben nem lokalizált A lépték (skála) szerinti felbontást a kiválasztott elemző wavelet nyújtásával/zsugorításával érjük el Ezután a waveletet konvolváljuk a jellel, ami megadja a hasonlóság mértékét Eredmény: a jel helyzet és skála szerinti felbontása

Idő/tér és frekvencia lokalizáció

Idő – frekvencia határozatlansági elv f(t) – jel, F(ω) – az f(t) Fourier transzformáltja t0 és ω0 jelölje az idő/frekvencia tartományban a súlyozott négyzetátlagot Azt mondjuk, hogy az f(t) jel az idő-frekvencia tartományban (t0, ω0)-ban lokalizált Ekkor az s, S szórások mérik az f jel (t0, ω0) körüli eloszlásának szélességét. Ezek az s2, S2 varianciák négyzetgyökei Idő – frekvencia határozatlansági elv: s2 · S2 ≥ ¼ idő-frekvencia sík δ(t-tk) bázis eiωkt bázis wavelet bázis WFT (STFT) bázis

Wavelet analízis

Előnyök Gyorsan változó jelek, tranziensek jobban elemezhetők waveletek segítségével mint sin/cos függvényekkel A jel frekvenciaösszetevőinek, energiájának helyfüggő változásai a térben lokalizált waveletekkel jól leírhatók (ún. nem stacionárius jelek - sin/cos erre alkalmatlan) A wavelet analízis a Fourier analízisnek, azaz a jel frekvenciaösszetevőkre bontásának egy-fajta kibővítéseként sokfajta jel teljesebb elemzését adja

Hátrányok Az elemző wavelet megválasztása némiképpen tetszőleges A wavelet analízis erőforrás igényesebb a Fourier analízisnél (2 változó: helyzet, skála) A folytonos wavelet transzformáció (CWT) nem ortogonális felbontást ad Nehezebb számszerűsíteni és standardizálni az analízis eredményeit Kevésbé kiforrott eljárás, mint a jel Fourier analízise

Alkalmazások A waveletek alkalmazása igen szerteágazó és folyamatosan bővül. Néhány terület: Adat és képtömörítés (JPEG2000, FBI) Lineáris egyenletrendszer átalakítása ritkán kitöltött mátrixú egyenletrendszerré Fraktálok, káosz, turbulencia modellezése Szűrés, zajszűrés Időben változó tulajdonságú jelek analízise (EKG, El Niño, szeizmikus hullámok, stb…)

JPEG2000 veszteséges képtömörítés eredeti kép wavelet transzformált rekonstruált kép a tárigény 236%-al csökkent

Ujjlenyomatok tárolása Egy digitalizált nagyfelbontású ujjlenyomat tárigénye 0.5 MB Egy teljes ujjlenyomat kártya kb. 10 MB tárhelyet igényel 200 millió ember ujjlenyomatának tárolása 2000 terabájt (TB) tárhelyet igényel Wavelet tömörítéssel ez legalább 1/15-ödére csökkenthető egy ujjlenyomat wavelet transzformáltja

Turbulencia Örvénymezők és wavelet transzformáltak (Schneider et al. 2003)

EKG EKG és wavelet transzformáltja (Addison, 2005)

El Niño SST Évszakos El Niño tengerfelszín hőmérséklet anomáliák és wavelet spektrum (Torrence and Compo 1998)

Szűrés (inverz WT)

Nemstacionárius jel analízise 1. 250, 500, 750 és 1000 Hz-es szinusz jelek 10% normál eloszlású zaj mintavételi frekvencia 2·2500 Hz

Nemstacionárius jel analízise 2. TISA: Time-integral squared amplitude

Történet Haar Alfréd Haar wavelet (1909) Gábor Dénes Ablakolt (Short-Time) Fourier Transzformáció, STFT (1946) Jean Morlet Folytonos wavelet transzformáció, CWT (1984) Stephane Mallat, Yves Meyer Diszkrét wavelet transzformáció, DWT Sokskálás analízis, MRA (1988)

Matematikai alapok Lineáris algebra, lineáris tér Függvényterek, ortogonalitás Fourier transzformáció, DFT, FFT Lineáris rendszerek, konvolúció Sztochasztikus jelek spektrálanalízise, PSD

Lineáris algebra, vektortér Vektortér: Az E vektor halmaz a valós/komplex R/C számok teste felett akkor vektortér, ha tetszőleges x, y  E vektorra két művelet, az összeadás és α  R/C skalárral való szorzás értelmezett: x + y, αx a vektorokat gyakran szám n-esekkel jellemezzük (n dimenziós vektortér): x=(x1, x2, … xn) E-nek egy M részhalmaza E-nek lineáris altere, ha minden x, y  M vektorra x + y, illetve tetszőleges α  R/C skalárra αx is M-ben van Ha S  E, akkor az S által kifeszített altér az S vektorainak összes lineáris kombinációja: span(S) = { Σi αixi | αi  R/C , xi  S } Az x1, x2, … xn vektorok lineárisan függetlenek, ha Σi αixi = 0 csak akkor igaz, ha az összes αi zérus Egy {x1, x2, … xn} vektorrendszer E-nek bázisa, ha E=span(x1, x2, … xn) és x1, x2, … xn lineárisan függetlenek E végtelen dimenziós vektortér, ha végtelen sok lineárisan független vektort tartalmaz

Függvényterek, ortogonalitás Az E vektortéren értelmezett < . , . > skalárszorzat (inner product) egy valós/komplex értékű függvény, amely E × E-n (vektor párok halmaza) értelmezett és teljesít bizonyos tulajdonságokat (pl. <x+y,z> = <x,z> + <y,z>; <x,αy> = α<x,y>; <x,x> ≥ 0) Példa: R feletti komplex értékű függvények ill. szám n-esek vektorterében A skalárszorzattal ellátott vektorteret, ha teljes, Hilbert-térnek nevezzük. Az x vektorról azt mondjuk, hogy ortogonális (merőleges) az y-ra, ha <x,y> = 0 Az x vektor normája az ||x|| = <x,x> skalárszorzat. Vektorok egy {x1, x2, … xn} halmaza ortogonális, ha bármely két vektora ortogonális Ha minden vektor egységnyi normájú, akkor ortonormális vektorrendszer Ha az ortonormális vektorrendszer kifeszíti E-t, akkor E-nek ortonormális bázisa D. Hilbert

Ortogonális komplementer, Fourier-sor Ha adott egy E Hilbert-tér és ennek egy S altere, akkor S┴ a jele az S-nek E-ben vett ortogonális kompementerének. Ez a halmaz az {x  E | x ┴ S} elemekből áll. Ha S zárt, vagyis az S-ben levő minden vektor sorozatának határértékét is tartalmazza, akkor van egy egyértelműen meghatározott olyan v  S és egy egyértelműen meghatározott olyan w S┴ , hogy y = v + w. Ekkor azt írhatjuk, hogy E = S  S┴ azaz E az alterének és az altér ortogonális komplementerének a direkt összege. Példa Hilbert-térre: négyzetesen integrálható függvények L2(R) tere, vagyis |f(t)|2 integrálható (nem végtelen). Ekkor a skalárszorzat <f, g> = ∫ f(t)* g(t) dt és a norma ||f||2 = ∫ f(t)2 dt . Az {xi} ortonormális rendszer E-nek bázisa, ha minden y  E vektor felírható y = Σk αkxk Fourier-sor alakban. Az αk számok az y Fourier együtthatói, és αk = <xk ,y>

Ortogonális projekció és LKN közelítés Egy vektort az E Hilbert-térben gyakran közelítenünk kell egy zárt S altérben fekvő másik vektorral Feltételezzük, hogy E szétválasztható, vagyis S-ben létezik az {x1, x2, …} ortonormált bázis. Ekkor y  E -nek az S-re vett ortogonális projekciója A d különbség vektor merőleges S-re Ennek a közelítésnek fontos tulajdonsága az, hogy legkisebb négyzetek (LKN) értelmében a legjobb közelítés, vagyis min||y – x|| az S-ben fekvő x-re akkor teljesül, ha x az y S-re vett ortogonális projekciója.