Matematika összefoglaló A középiskolai tananyag vázlatos áttekintése, gyakorló feladatok Összeállította: Deák Ottó mestertanár Általános- és Felsőgeodézia Tanszék Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak A bemutató vázlata Bemutatkozás, a konzultáció célja Tapasztalatok a matematika középiskolai oktatásáról A középiskolai tananyag vázlatos és gyors áttekintés A Matematika Tanszék mintadolgozatának megoldása További mintapéldák megoldása Tanácsok a matematika tanulásához Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Bemutatkozás Deák Ottó mestertanár, BME Építőmérnöki Kar, Általános- és Felsőgeodézia Tanszék ELTE TTK Matematikus diploma 33 év egyetemi oktatói tapasztalat Kb. 40 év matematika korrepetálás középiskolásoknak Az I. évf. 13. tankör osztályfőnöke a 2012/2013. tanévben Segítőim az évfolyam mentorai (diák patrónusai) Letöltés: http://www.agt.bme.hu/staff_h/deak Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Tapasztalatok I. A BME-n a matematika kiemelt fontosságú alaptárgy A felvételin döntő jelentősége van Minden műszaki szaktárgy rá épül Alapkészségeket és gondolkodásmódot tanít Az egyik első szűrő a mérnökké válás folyamatában Szerepe és súlya a középiskolában Megnövekedett tananyag Csökkenő követelmények Az érettségi szerepe a tudás kontrolljában Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Tapasztalatok II. Az elmúlt évek tapasztalata az egyetemi oktatásban: egyre alacsonyabb szintű matematika-ismeretekkel érkeznek a hallgatók az I. évre; a lexikális ismeretek nagy része hiányzik („benne van a függvény-táblában”!); gyenge számolási készség (számológépek használata); a feladat-megoldási rutin hiánya (időhiány, más elfoglaltság miatt); a felvételinél nem követelmény az emelt szintű matematika érettségi. Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Következmények Az előbb felsorolt tényezők hatása az egyetemi oktatásra: az alapozó tárgyakban magas bukási arány; az egyetemen gyakran középiskolai anyagot is tanítani kell; a nem kimondottan matek-alapú tárgyakban is nagy lemorzsolódás (pl. geodézia). Védekezési mechanizmusok az egyetem részéről: matematika-felmérő íratása; felzárkóztató matematika-oktatás (középiskolás anyag megtanítása). Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika összefoglaló Tematikus összeállítás A középiskolai tananyag fontos fejezetei Alapfogalmak, definíciók, főbb képletek, fontos tételek Nem pótolja a tankönyveket! Szerepe: gondolatébresztés, hiány-feltárás, figyelmeztetés Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematikai jelölések az anyagban Szimbolikus jelölések az anyagban: : a megadott értékek közelítően egyenlőek : minden olyan elem, amely… : létezik olyan elem, amely… : az előzőekből következik : eleme a magadott halmaznak : nem eleme a halmaznak : a megadott halmaz részhalmaza (valódi) : halmazok egyesítése (uniója) : halmazok közös része (metszete) : a megadott elemek összege Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Algebrai kifejezések I. Algebrai kifejezés fogalma, elemei Számok Változók Paraméterek Műveleti jelek Zárójelek Számok a kifejezésekben, számítási élesség Természetes számok Egész számok Racionális számok Valós számok (irracionális szám fogalmával) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Algebrai kifejezések II. Műveletek algebrai kifejezésekkel Zárójelek szerepe, felbontása Racionális kifejezések, műveletek törtekkel Kiemelés, összevonás, egynemű kifejezés fogalma Fontosabb algebrai azonosságok Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Hatványozás Ismételt szorzás, egyszerűbb jelölés Azonosságok a definíció alapján, kiterjesztése Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Gyökvonás Négyzetgyök, n-dik gyök fogalma Műveletek gyökös kifejezésekkel Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Törtek gyöktelenítése Azonos átalakítások, a tört értéke nem változik Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Oszthatóság I. Az egész számok körében értelmezzük: Osztandó, osztó, hányados, maradék fogalma Maradék nélküli és maradékos osztás Összetett és prím szám Az algebra alaptétele Minden egész szám (sorrendtől eltekintve) egyértelműen bontható fel prímszámok szorzatára Prímfelbontás előállítása Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Oszthatóság II. Oszthatósági szabályok 2: páros számok 3: számjegyek összege osztható 3-mal 4: utolsó két jegy osztható 4-gyel 5: utolsó számjegy 0 vagy 5 6: páros és osztható 3-mal 7: 3-as csoportok váltakozó előjelű összege osztható 7-tel 8: utolsó három jegye osztható 8-cal 9: számjegyek összege osztható 9-cel 10: utolsó jegye 0 11: páros helyiérték összege – páratlan helyiérték összege osztható 11-gyel Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Függvények I. Kapcsolat 2 halmaz elemei között Általában számhalmazok közötti művelet Alaphalmaz, képhalmaz Értelmezési tartomány Df  A, azon A-beli pontok halmaza, ahol az f értelmezhető Értékkészlet Rf B, azon B-beli pontok halmaza, amelyeket az f az Rf-beli pontokban felvesz értékként Függvény inverze (megfordítása) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Függvények II. Függvények tulajdonságai Monotonitás Szigorúan monoton növő, monoton növő Szigorúan monoton fogyó, monoton fogyó Korlátosság Felülről korlátos Alulról korlátos Korlátos Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Függvények III. Függvények tulajdonságai Paritás Páros Páratlan Határérték Folytonosság Az függvény folytonos az pontban, ha , Periodikusság Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Függvények IV. Függvények megjelenítése, grafikonja Függvények megadása táblázattal kifejezéssel egyenlettel grafikonnal Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Függvények V. Függvények transzformációja f(λ·x) - széthúzás λ-szorosra az X tengely irányába f(x+a) - eltolás balra a-val az X tengely irányába c·f(x) - széthúzás c-szeresre az Y tengely irányába f(x) + t - eltolás t-vel az Y tengely irányába Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Elemi függvények Tulajdonságok ismerete: a korábbi fogalmak értelmezése az adott függvényre Fontosabb függvények: Konstans függvény; Lineáris függvény; Abszolutérték függvény; Másodfokú (parabola) függvény; Egészrész, törtrész függvény; Lineáris törtfüggvény; Logaritmikus, exponenciális függvények; Trigonometrikus függvények. Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Elsőfokú (lineáris) egyenletek Olyan algebrai kifejezések, amelyeket = jel kapcsol össze, és benne betűvel jelzett mennyiségek is szerepelnek. Ezek lehetnek paraméterek és ismeretlenek is. Az egyenlet megoldása az ismeretlen(ek) azon értékének meghatározása, amelyeket az egyenletbe helyettesítve, az egyenlőség két oldala azonosságot fejez ki. A megoldást a mérleg-elv segítségével kapjuk meg (mi az?). Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Lineáris egyenlőtlenségek Megoldásuk: mint az egyenleteknél Eltérés: ha negatív számmal osztunk vagy szorzunk, az egyenlőtlenség iránya megváltozik A megoldás általában egy halmaz (intervallum) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Többismeretlenes egyenletek Megoldási módszerek: kiküszöböléssel helyettesítéssel Lehetnek ellentmondásosak (nincs megoldásuk) vagy összefüggőek (végtelen sok megoldásuk van). Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Másodfokú egyenletek Általános alakjuk: Megoldásukhoz a mérleg-elv nem elegendő Megoldóképlet: Összefüggések (Viéte-formulák, gyöktényező): Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Exponenciális egyenletek Az ismeretlen a kitevőben található Azonosságok használatával: átalakítás alakra, amiből az fv szigorúan monoton tulajdonsága miatt következik, ami megoldható; új ismeretlen bevezetésével visszavezetés másodfokú egyenletre, aminek megoldása után kapjuk meg az eredeti egyenlet gyökeit. Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Logaritmikus egyenletek Az ismeretlen a logaritmus alatt található Azonosságok használatával: átalakítás alakra, amiből a fv szigorúan monoton tulajdonsága miatt következik, ami megoldható; új ismeretlen bevezetésével visszavezetés első- vagy másodfokú egyenletre, aminek megoldása után kapjuk meg az eredeti egyenlet gyökeit. Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Szögfüggvények I. Derékszögű háromszögekben értelmezzük Néhány elemi összefüggés: Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Szögfüggvények II. Addíciós azonosságok: Kétszeres szögek: Egyszerű átalakítások: Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Szögfüggvények III. További összefüggések: Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Trigonometrikus egyenletek Megoldásukhoz használni kell a trigonometrikus azonosságokat! Az egyenletet átalakítjuk, hogy csak egy szögfüggvény szerepeljen benne. A kapott egyenletet megoldjuk vagy visszavezetjük új ismeretlen bevezetésével másodfokú egyenletre. A megoldás értelmezése: periódikusság miatti additív konstansok alkalmazása; a megoldás általában párban jelenik meg (két szögnegyedben is azonos a szögfüggvény értéke). Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Sorozatok I. Számok rendezett (sorszámozott) halmaza, más szóval egy leképezés a természetes számok halmazáról a valós számok halmazára: Jellemző mennyiségei: : a sorozat első tagja : a sorozat n-dik tagja : az első n tag összege Definiálása explicit képlettel implicit (rekurzióval) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Sorozatok II. Fontosabb számsorozatok: Számtani a szomszédos tagok különbsége állandó Mértani a szomszédos tagok hányadosa állandó Fibonacci minden tag az előző kettő összege Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Vektorok Irányított szakasz a síkban vagy a térben Jellemzői: állása (melyik egyenessel párhuzamos); iránya (merre mutat); hossza (távolság a kezdő- és a végpont között). Nem jellemző: kezdő- vagy támadási pontjának helye Műveletek vektorokkal Számmal való szorzás Összeadás, kivonás Skaláris szorzás (két vektor szorzata egy szám) Vektoriális szorzás (két vektor szorzata egy újabb vektor) Ábrázolása koordinátarendszerben helyvektor (kezdőpontja az origóI Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Geometria I. Fontosabb geometriai témák és fogalmak: Síkidomok osztályozása Háromszögek tulajdonságai, fontosabb tételei: Thalesz tétel, Pithagorasz tétel Számítási módszerek: sinus- és cosinus tétel Szögfelező tétel Derékszögű háromszögben befogó- és magasság tétel Súlypont, magasságpont, oldalfelező, szögfelező tulajdon-ságai Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Geometria II. A kör és fontosabb tulajdonságai: A kör részei: középpont, sugár, átmérő, körív, körszelet, körcikk Középponti- és kerületi szögek tétele Külső pontból körhöz húzott érintőszakaszok tétele Húrnégyszög, érintőnégyszög tétele Háromszögbe, háromszög köré írt kör Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Geometria III. További fontosabb fogalmak és tételek: Párhuzamos szelők tételei és megfordításuk Síkidomok, háromszögek hasonlósága és egybevágósága Síkidomok, háromszögek kerülete, területe Szabályos sokszögek tulajdonságai Síkbeli transzformációk Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Koordinátageometria I. A geometria számszerűsítése, geometriai alakzatok egyenletekkel történő megadása Alkalmazásával a geometriai feladatok analitikus megoldást nyernek (egyenletek használata, megoldása) Egy geometriai objektum egyenlete egy olyan azonosság, amelyet csak az objektum pontjai elégítenek ki (a koordinátájukat az egyenletbe helyettesítve azonosságot kapunk) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Koordinátageometria II. Az egyenes egyenletei: Irány vektoros egyenlet Adott: Egyenlet: Normál vektoros egyenlet Két pontos átmenő egyenes egyenlete Meredekségével adott egyenes egyenlete Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Koordinátageometria III. A kör egyenlete Adott: Egyenlete: A kör egyenletének általános alakja Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Polinomok I. A polinom (vagy többtagú algebrai kifejezés) egy olyan kifejezés, melyben csak számok és változók egész kitevőjű hatványainak szorzatai illetve ilyenek összegei szerepelnek. A polinomban a számokkal szorzott hatvány-szorzatokat monomoknak (vagy egytagoknak) nevezzük. A monomokban lévő számszorzókat a polinom együtthatóinak hívjuk. A polinomokkal műveletek végezhetők összeadás, kivonás, szorzás, osztás Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Polinomok II. Polinomok (maradékos) osztása: Az osztandó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának és az osztó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának a hányadosát képezzük Ezzel a hányadossal megszorozzuk az osztót és az eredményt levonjuk az osztandóból A kapott új polinommal megismételjük az előbbi eljárást A fenti lépéseket addig ismételjük, amíg az osztandó alacsonyabb fokszámú lesz, mint az osztó Ha a megmaradó osztandó nem nulla, akkor maradékos osztásról beszélünk Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Polinomok III. Polinomok (maradékos) osztása: Az osztandó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának és az osztó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának a hányadosát képezzük Ezzel a hányadossal megszorozzuk az osztót és az eredményt levonjuk az osztandóból A kapott új polinommal megismételjük az előbbi eljárást A fenti lépéseket addig ismételjük, amíg az osztandó alacsonyabb fokszámú lesz, mint az osztó Ha a megmaradó osztandó nem nulla, akkor maradékos osztásról beszélünk Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Mintazárthelyi A feladatlapon csak egy helyes választ lehet megadni A feladat szövegét figyelmesen olvassák el! Csak a biztos megoldásokat írják be, ne tippeljenek! A részszámításokat minden esetben el kell végezni, de külön lapon. A megoldás sorrendje nem feltétlenül a számsorrend. Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Mintazárthelyi feladatlap Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 1. feladat Megoldás: Helyes válasz: B Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 2. feladat Megoldás: Helyes válasz: D Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 3. feladat Megoldás: Helyes válasz: C Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 4. feladat Megoldás: Helyes válasz: D Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 5. feladat Megoldás: Helyes válasz: C Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 6. feladat Megoldás: Helyes válasz: C Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 7. feladat Megoldás: f(x) g(x) h(x) Helyes válasz: C Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 8. feladat Megoldás: Helyes válasz: B Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 9. feladat Megoldás: Helyes válasz: A Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 10. feladat Megoldás: Helyes válasz: B Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 11. feladat Megoldás: Helyes válasz: D Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 12. feladat Megoldás: Helyes válasz: A Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 13. feladat Megoldás: Helyes válasz: E Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 14. feladat Megoldás: Helyes válasz: A Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 15. feladat Megoldás: Helyes válasz: B Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak További mintapéldák Az alábbi feladatok megoldását külön oldalon közöljük A példák önálló megoldását javasoljuk, a kidolgozott megoldást ellenőrzésre használják További feladatok megoldása segít a felkészülésben Ajánlott segédlet: Egységes érettségi feladatgyűjtemény – Matematika (Konsept-H Könyvkiadó, 2002) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Példák I. Egy matematika versenyen két feladatot tűztek ki. Az elsőt az indulók 70 %-a, a másodikat pedig az indulók 60 %-a oldotta meg. Minden induló megoldott legalább egy feladatot, és kilencen mindkét feladatot megoldották. Hányan indultak a versenyen? Számológép használata nélkül állapítsa meg, melyik nagyobb a következő számok közül: vagy Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Példák II. Fejezze ki c-vel az alábbi kifejezéseket, ha . Tegye meg a szükséges kikötéseket is! Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket: Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Példák III. Végezze el az alábbi polinomos osztást. Mennyi lesz a művelet maradéka? Egy háromszög egyik szöge a másik két szög számtani közepe. A két nagyobbik szög együttvéve akkora, mint a legkisebb szög háromszorosa. Mekkorák a háromszög szögei? Melyik az az ötjegyű szám, amely után egy 1-est írva, háromszor akkora számot kapunk, mintha az elejére írnánk egy 1-est? Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Példák IV. 8) Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget: 9) Melyik az a legbővebb halmaz, amelyen az alábbi f(x) függvény értelmezhető? 10) Három szám összege 114. Lehetnek egy mértani sorozat első három tagja, vagy egy számtani sorozat 1., 4. és 25. tagja is. Mely számokról van szó? Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Példák V. 11) Vízszintes sík talajon álló 100 m magas felhőkarcolóból megmérjük egy egyenes útszakasz két végpontjának depressziószögét és az útszakasz látószögét. A mért értékek rendre 4,5º; 5,5 º és 75 º. Mekkora az útszakasz hossza? 12) Adja meg annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja a C(0;5) pont és érinti a egyenest. Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Megoldások Az egyik feladatot 60%, a másodikat 70% oldotta meg, ezért mindkét feladattal 30% foglalkozott. Tudjuk, hogy ez 9 főt jelent, így a teljes létszám 30 tanuló. Ennyien indultak a versenyen. Azonos átalakításokkal kapjuk: Vagyis a ?? helyére = írható! Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Megoldások 3) 4) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Megoldások 4) (folytatás) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Megoldások 5) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Megoldások 6) 7) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Megoldások 8) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Megoldások 9) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Megoldások 10) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Megoldások 11) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak Megoldások 12) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak

Tanácsok a matematika tanulásához Részvétel az előadásokon Jegyzet készítése – ha nem ért valamit, akkor is! Óra után az anyag átnézése és megértése Problémás részekről konzultálás évfolyam-társsal, felsőbb évessel A gyakorlaton aktív részvétel (kérdezés!) A feladatok önálló megoldása az óra után Mintapéldák megoldása (begyakorlás) Zárthelyire készülés (csoportos feladat-megoldás) Matematika konzultáció az I. évfolyamnak